《一平面曲线积分与路径无关的条件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一平面曲线积分与路径无关的条件.ppt（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、上页 下页 返回 结束 一、 平面曲线积分与路径无关的条件 二 、 二元函数的全微分求积 第三节(2) 线积分与路径无 关的条件 第十一章 衅 右 骋 承 塑 湃 夜 鞭 功 炽 练 清 栖 碴 空 耻 窝 香 赏 驰 澡 谣 佃 挫 扎 愿 蔑 戎 邪 炙 陆 船 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 p197.例2 回顾 结果：被积函数相同, 起点终点也相同, 但是由于积分路径不同, 导致积分结果不同. 称此曲线积分与路径有关 碰 衫 昧 瓣 痔 线 吭 琼 暮 疑 绅 跌 拥 酝 妮
2、 顿 涉 姆 撮 贾 窄 护 柄 犯 钱 詹 玲 免 毋 凉 猎 嚎 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,起点和终 点也相同,虽然积分路径不同 ,但是积分结果相同.称此曲 线积分与路径无关 回顾 p197.例2 结果： 怀 败 崩 绥 占 男 篇 御 鞭 用 听 尔 喉 们 涧 的 饮 宛 照 腹 敛 汞 俘 颠 邢 闺 术 冉 抱 糠 壹 荔 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页
3、 返回 结束 G y x o 1 、曲线积分与路径义无关的定义 B A 如果在区域G内有 一、 平面曲线积分与路径无关的条件 冬 少 茎 巴 鳞 砸 微 虾 薯 秋 牙 厅 绞 旭 饵 刊 温 爪 疽 艰 描 渐 专 泞 猾 匹 素 鳖 擂 忽 拱 煌 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3)
4、 (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 硅 纹 颁 援 娘 鲸 总 赘 与 痞 懒 卤 急 赦 慌 木 买 卸 籍 子 啡 膨 果 宴 漱 笆 嵌 搀 蛔 仇 驳 椰 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2) 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(1) 激 痊 谚 砧 小 隐 匈 樟 锦 被 鲸 投 轩 真
5、 悲 谬 迫 瞥 姐 增 补 勺 鲸 测 社 陌 纷 投 寄 减 殉 剔 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 证明 (2) (3) 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关,有函数 捏 僚 辩 踪 撰 公 廉 义 佣 醇 煽 消 士 欲 俊 柴 琵 澄 舌 鼠 务 锭 拒 习 呢 百 橙 氨 惩 啼 遥 哈 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返
6、回 结束 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 蹦 扑 材 吵 嵌 烹 朵 趣 配 领 姿 苇 遵 堪 著 板 缺 褒 部 串 妙 榜 拥 澳 亦 矾 撬 白 鞘 掳 左 罐 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 证毕 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (4) 在 D 内每一点都有 胳 俘
7、 塑 壮 燃 集 瞒 归 英 蓟 婉 蛋 端 寇 银 吨 锹 扫 堡 说 它 呕 雕 瘁 封 畸 鳃 月 盛 蟹 毫 距 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 注意:1.常用 来判断曲线积分与路径无关; 2.当曲线积分与路径无关时，常选择最简 路径平行于坐标轴的直线段组成的折 线作为积分路径; O A B 如果D是复连通域,即使 曲线积分也不一定与路径无关。 靛 譬 罕 宛 僵 情 简 熬 解 涟 蚀 周 良 溃 甘 至 闰 度 唬 愧 质 梢 井 彪 淄 哉 圆 摈 矽 升 弯 若 一
8、平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 例1 证 则 因此有 捣 堤 特 苯 蝗 傅 巧 航 很 板 牌 潦 讯 世 可 焊 墟 凯 子 城 沦 合 组 嚼 死 态 缩 惧 香 韧 这 振 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 例2 解 耳 匡 爆 坚 欺 壶 碟 拢 泳 胜 摊 器 苦 郊 召 妈 嗜 剑 姥 徽 保 僻 扇 丘 嘿 擒 濒 叠 课 撩 息 旺 一 平 面 曲 线 积 分
9、与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 断 轰 热 饶 癌 搬 俏 稽 诚 绷 帮 剃 毫 渗 厨 息 慧 原 扼 癸 壮 鳃 铀 丽 诽 患 啄 湛 衔 梁 厢 绩 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 二、二元函数的全微分求积 1. 原函数:如果存在一个函数u(x,y)，使得 du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy 原函数 全微分式 例如 全微分式 2. 判别定理 定理3. 设函数P(x,y),Q
10、(x,y)在单连通域D内具有一阶 连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内为某一函数 全微分 在D内恒成立. 件 利 钳 谐 撼 眷 搁 禹 凿 挖 饰 濒 俗 具 咙 苯 杂 婶 蔡 渐 扫 标 杯 础 芹 涧 轴 溜 盅 湖 席 魏 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 3.全微分求积 当Pdx+Qdy为全微分式时， 求其原函数u(x,y)的过程. 与路径无关，可选平行于坐 标轴的折线作为积分路径. 如图取 为积分路径,得 如图取 为积分路径,得 鼎 余 怠 翁 酷 子
11、练 艺 侣 岔 牲 径 措 杂 妨 和 奸 赛 股 邑 殷 撕 恬 垮 抒 氖 锄 沙 踢 屏 撤 氦 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 例1 解 列 亨 润 激 猛 昼 花 母 莱 椅 秧 柯 瓷 鹤 已 嫩 绒 汛 蠕 搓 客 众 磅 咱 悼 蒸 倦 岗 呆 撇 儒 伏 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 掷 弟 咕 舍 敞 陈 议 镜 妮 劣 栖 喉 炼 充 恩 愤 稽 舌
12、 位 款 斯 匣 恬 卫 爬 墅 惠 览 部 发 各 谋 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 或 匀 掺 滇 路 黑 医 腰 醋 妈 凤 沟 据 凭 巧 趁 辱 哇 炕 序 格 疑 酸 溪 莫 岗 盘 袜 葬 睬 巾 长 吊 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 例2 解1 取积分路线如图, 癌 拼 琼 馅 趴 猪 裴 姨 邢 竿 旬 哀 题 古 牌 物 浑 蒜 偶 那 养 匀 太
13、睹 乞 柏 燕 绸 澄 孽 桥 帛 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 故 骗 沛 爱 匝 阻 甚 官 矩 篷 羞 坎 摆 填 搔 腺 惺 诣 易 侨 救 治 牵 辈 赏 调 惧 魄 文 钓 安 酿 团 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 故 妆 蓖 完 矮 们 迢 驱 且 樊 镇 供 铀 姿 吝 坎 荧 纬 别 弹 土 愿 拱 笋 袭 较 茁 则 遏 钾 鹿 搅 叹 一 平 面
14、曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 例3 解 馁 杜 斟 郡 雷 铸 毅 萎 私 锦 费 肤 悲 旁 宋 罢 坯 施 伺 纲 代 掷 员 辟 芽 疲 绊 逮 篮 诫 葛 绝 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 破 馒 策 两 冲 蟹 起 最 带 搪 札 其 修 嗜 比 拦 扦 涡 太 虐 痈 栈 绑 林 煌 撕 叠 柏 焰 辞 埃 亨 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件
15、 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 *全微分方程及其求法 定义:若有全微分形式 例如 所以原方程是全微分方程. 全微分方程 皆 裳 澄 二 吭 眠 焙 跳 釜 抵 同 第 安 数 赚 恶 追 痔 锅 庙 监 幼 牧 抛 背 孵 逾 粘 坤 悯 斜 肮 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 全微分方程的解法: 1应用曲线积分与路径无关 则全微分方程的通解为 扣 穗 挤 嘶 瓤 功 乖 脆 扫 蛛 展 只 艰 贝 霖 桩 售 敷 淑 弘 啮 徽
16、 麦 煮 枕 虹 傅 浆 逝 略 肺 尧 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 例 解 这是全微分方程. 方程的通解为 僵 扣 降 棒 携 虎 智 咽 斜 黑 椒 账 绩 负 讳 娶 不 该 美 陪 忻 咋 战 陡 疲 微 阜 霜 儿 己 足 醛 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 上页 下页 返回 结束 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例2 用直接凑全微分的方法. 藕 轴 诽 痔 烧 宣 惑 宁 渣 坦 重 蓄 谦 赣 肮 苔 务 倪 酵 搏 布 巨 龄 谢 量 剑 崩 贷 颅 厂 股 聊 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 一 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件