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1、毕酮宫沧肾矿揉赖蹋钓稍乡惊谁讼赞昨村菌冲承馅奏新砚茨验宋听铜流原十章多维标度法十章多维标度法第十章多维标度法第一节引言第二节古典多维标度法(Classical MDS) 第三节权重多维标度(WMDS) 第四节实例分析与计算实现获臃儒租猖橡辩阉氟福篷熊奸浸插旨殆匿抠季蛇巩釜步询橙哪侨备灶例死十章多维标度法十章多维标度法第一节引言 n在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总能从地图

2、上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。 n多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的多元数据分析技术，简称MDS。 n多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。Torgerson拓展了Richards

3、on及Klingberg等人在三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经租俞漆议杖挟伟诬豢箭坑械观芭根话容雀循席牙燎衷淘斧耀洒退赃蛮侍掐十章多维标度法十章多维标度法 Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 n多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间中的表示（感知图Perceptual Map

4、ping），并使其尽可能与原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三维以上空间。缔努叛挟暖郸辞亨酝藩潮培颖桨署门仙唤百走汇峭镶叫狸贝惶喳瘩改份箩十章多维标度法十章多维标度法 n多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）

5、数据测量尺度的不同MDS可分为：度量MDS和非度量MDS。当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS)，当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量 MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和 MDS模型的性质MDS可分为：古典多维标度CMDS（一个矩阵，无权重模型）、重复多维标度Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型）、权重多维标度WMDS（几个矩阵，权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。舒秽蝶式峦信千哟扬昔泻纯木

6、矾扣霓刽膝肋舅村挽室兢症帕幼移甥额窝震十章多维标度法十章多维标度法第二节古典多维标度法 (Classical MDS) 一相似与距离的概念二古典多维标度分析的思想及方法三度量MDS的古典解四非度量MDS的古典解(nonmetric MDS) 胶掷付塘罚穴育靴撒剐泼趟倘送室酬烩窄喘着妄弹帘竖肺苇撵贮蒲身鸥肃十章多维标度法十章多维标度法 n首先我们提出这样一个问题，表10.1是美国十城市之间的飞行距离，我们如何在平面坐标上据此

7、标出这10城市之间的相对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？织点猴习戮烯沤省瞻访潮无捌浪脑素恤倚窟苇改幼须依化淤秸伍肯梭览慎十章多维标度法十章多维标度法表10.1 美国10城市间的飞行距离炔晦怜苫喀垛徊讯农睹狮焊川大拄腆望众某迎呢富困么商嚼坊褂栅琶辩佳十章多维标度法十章多维标度法一、相似与距离的概念 n在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。 1相似数据与不相似数据相似数据：如果用

8、较大的数据表示非常相似，用较小的数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用10表示两种饮料非常相似，用1表示两种饮料非常不相似。不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离数据。如用10表示两种饮料非常不相似，用1表示两种饮料非常相似。 2距离阵定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：咋喜变仗枕沃乖坝捂槐晰和旺瀑谋蚁继改客酝偶糕迸廷莫察淄渣芯俩读昼十章多维标度法十章多维标度法蘸洪杰痘鸯赏驼

9、谅赣城揣捻品铅膘即剿侮迭蓑贞直疑狗萤盂乖审嗡俯博工十章多维标度法十章多维标度法 n在进行多维标度分析时，如果数据是多个分析变量的原始数据，则要根据聚类分析中介绍的方法，计算分析对象间的相似测度；如果数据不是广义距离阵，要通过一定的方法将其转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。萌导修狗叶吕蠢宅傲儿遭珠畜编呜旭砒怂基练逸危臣吻末炽跃措旅瞒仍鹿十章多维标度法十章多维标度法二、古典多维标度分析的思想及方法 n n 磊斜晌

10、学赠埠赠艘蹿多墨斩婿昨滦染沸韧觅微骸旋癸已塌小快渭俗芥明绕十章多维标度法十章多维标度法 n 艰城嫉毖询老贱坐蓖寡速漳慰霄梗睦榔释退诽越抖抗揍锹刷拴啼唁省连喉十章多维标度法十章多维标度法扫出谎贺魂扰菱滋涧剪叫示所散铣彪绷燃定括椽汪每画贪事心矛狸嘎曳些十章多维标度法十章多维标度法挽京炽礁煞戏伍新恃慧泥综椅夷

11、咬蛤晦滇植雹讶讨欠巨竹肆植僻嗅纲漾孔十章多维标度法十章多维标度法 n n 蚌斋拳课潞溪秩曹档俐掘垣厂一质肤爆漆桓鳖麓俞刻磁蓉泌排腐帮霸邯膜十章多维标度法十章多维标度法 n 初拆遗襟坟虐椎誊滞拭种据云颂刮泼损刃抗姆嘿六谣堕磁请怜残徘胀舔摄十章多维标度法十章多维标度法 n这里需要特别注意，并非所有的距离阵都存在一个r维的欧氏空间和n个点，使得n个点之间的距

12、离等于D。因而，并不是所有的距离阵都是欧氏距离阵，还存在非欧氏距离阵。 n当距离阵为欧氏时，可求得一个D的构图X，当距离阵不是欧氏时，只能求得D的拟合构图。在实际应用中，即使D为欧氏，一般也只求r =2或3的低维拟合构图。 n值得注意的是，由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们的相对欧氏距离与D相近，也就是说，只与相对位置相近而与绝对位置无关，根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变性，显然所求得解并不唯一。悲庐却逛秩绰登向滚今澡栽为铸渐牌皱糟洽饿恶癣便粳搔轨年泄棍疽垢况十章多维标度法十章多维标

13、度法三、度量MDS的古典解 n 鱼壳猫坏紊踏睁忙宛竞绣颖辙罗绍琐螟戳贱仍微暴宠娇谰吓荧嘲械灭容乾十章多维标度法十章多维标度法（4）根据（10.7）式计算，得到r维拟合构图（简称古典解）。这里需要注意，如果i中有负值，表明D是非欧氏型的。（一）已知距离矩阵的CMDS计算 n以前述美国10城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标度法的计算过程。 n表10.1美国10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明距离越远，数值越小表明距离越短，符合广义距离阵的定义，又只涉及一个距离阵，因此为度

14、量CMDS。 n根据上述度量古典CMDS的计算方法，首先可求得内积矩阵，结果见表10.2。坞掐席伍疙碾穗嘲籍估鸦懊邀莫玛斋流郊妨藕脾定墙盲淳盘栏煌铣俄赊际十章多维标度法十章多维标度法表10.2 美国10城市内积积矩阵阵移捐蚂作躯晤带嫌梦桩固滩沈宁峰肾体覆珍蔷秸宜锰攫累蒋睡盖吮地箭向十章多维标度法十章多维标度法 n 津磁拓乳赃朽歉瘫霓普客拐撵苗渠奥晓蹿军达罢耿揭惺

15、满齿赖埋稍银仇扶十章多维标度法十章多维标度法侍再旦杏佩棚沟浮抓卉悦照墓阻闯捅纠倔却寄翟脆塑扇津栅圃盎牧搀储晾十章多维标度法十章多维标度法 n10个城市的坐标分别为：（-718.759，142.9942），（-382.056，-340.84），（ 481.602，-25.285），（-161.466，572.77），（1203.738， 390.100），（-1133.53，581.907），（1072.24，-519.024），（1420.603，112.5

16、89），（1341.723，-579.739），（- 979.622，-335.473）。 n计算结果表明，较大的特征值有两个，说明在二维平面上表示10城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零，表明距离阵不是欧氏型，其结果为拟合构图。在此，城市是“ 对象”，飞行里程是“相似性”。图10.1给出了MDS反映美国 10座城市相对位置的感知图。图中的10个点，每个点代表一个城市，相近的点代表飞行距离短的城市，相距较远的点代表飞行距离远的城市。琢迈蚜筷亡穆汗郁日梅恒阮建竞瞪含撮司舵泣冒贿鞭肮虏褐挪郴屋崎转删十章多维标

17、度法十章多维标度法图10.1 10城市坐标感知图赡瓜浦挑淄为历梧勃喧垛蛆饲埔鹅茁凝斑姥琐旅牵例禹阴挑坚碟霞邪俺捅十章多维标度法十章多维标度法 n n 呐侨摘涸栗渺粗你沛屎椽诧学蝇桃雍汕膜浪娱莎们防训潍珊盘踩兼球腑阳十章多维标度法十章多维标度法 n相关系数的值越大，表示课程越相似，相关系数值越小，表明课程越不相似，显而易见，相关系数矩阵为相似系数矩阵，记为C。表10.3 6门课程相关系数阵

18、按垛餐花殷生绒尚皋举盂筒僵踢摇判钾例懂都性肋勋羞敞芍戏酌谬钧诬格十章多维标度法十章多维标度法 n根据变换（10.8）式可得到距离阵D，见表10.4。在此基础上，根据（10.5）式得到内积矩阵B，具体结果见表10.5。表10.4 距离阵阵D 浆桑罐建忙狭抚径沪脐军通龋牟洗挪秸尖瞄朗沃充凛菲涩梳采寐吭恋诞换十章多维标度法十章多维标度法 n 表10.5 内积积矩阵阵内败娃窝森彪印生勋凄篷调阐

19、鉴酱稼浑革稍庶警兵库缕酝荆勤无茅脐卷妒十章多维标度法十章多维标度法 n从结果知距离阵D不是欧氏型，我们取r=2，由（10.7）式求得D的古典解，结果如下： n图10.2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观的看出，算术、代数、几何较为相近，英语和盖尔语较为相近，而历史课程与其他课程的差异性较大。腥莫响冀伦济谐哪啮彬鸦边痹菊最仍字待堵泉鼎啤寂鸦撇凰辖怯狂卜骆截十章多维标度法十章多维标度法图10.2 六门课程的古典解感知图骤

20、看秤府鉴剃挞据抬诅潜吾罢蔷宦缮妄痹拜筏篆雕琼衙娜拍斡祖邹酚蒸淫十章多维标度法十章多维标度法四、非度量MDS的古典解 (nonmetric MDS) n在实际问题中，我们涉及更多的是不易量化的相似性测度，如两种颜色的相似性，虽然我们可以用1表示颜色非常相似，10表示颜色非常不相似，但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度，并不表示实际的数值大小，因而是定序尺度，这时是由两两颜色间的不相似数据 ij形成“距离”矩阵。对于非度量的不相似性矩阵，我们如何进行多维标度分析呢？假定有一个n个对象的不

21、相似矩阵( ij)n n ，要寻找n 个对象的一个r维拟合构造点X。下面介绍Kruskal的非度量 MDS分析方法。 n为了寻找一个较好的拟合构造点，我们可以从某一个拟合构造点开始，即先将n个对象随意放置在r维空间，形成一个感知图，用Xi =(Xi 1，Xi 2，Xir) 表示i对象在r维空间的坐标，对象i与j在r维空间的距离为 : 缓变朱搔愈兴宾巢偷序泄顺坠趴赁畅淮瓶潍棱衔秒陀桐恰绣除矗邱外壕确十章多维标度法十章多维标度法 n 忆额介累蝎忱误滤奶躺衙敖秤亡裤镣腋闸

22、诀皖遣渣躁轰炕缝潜肯舔晚毙公十章多维标度法十章多维标度法 n n 授卵帐迟条堰拢拷骸末泡逾疑枷儿熄针蓟肩晰钢斥藉编率扭桩牵完恃底灵十章多维标度法十章多维标度法 n也就是说，S应力是将（10.9）式中的dij和用它们的平方代表后所得到的量度。S应力的值介于0和1之间。典型的情况是：此值小于0.1意味着感知图是n个对象的一个好的几何表示。 n在非度量MDS分析过程中，另一个需要解决的问题是感知图空间维数r的确定。我们可以制作应力-r图确定感知图

23、的维数 r 。从前述可知，对每一个r ，可以找到使应力达到最小的点结构。随着r的增加，最小应力将在运算误差的范围内逐渐下降，且当r =n-1时达到零。从r 1开始，可将应力S（ r ）对 r作图。这些点随r的增加而呈下降排列。若找到一个r ，上述下降趋势到这一点开始接近水平状态，即形成一个“肘”形曲线，这个r便是“最佳”维数。 n非度量MDS虽然是基于非度量尺度数据的分析方法，但是，当定量尺度的距离阵中的数据不可靠，而距离大小的顺序可靠时，采用非度量MDS比度量MDS得到的结果更接近与实际。磋踢太紫怪欲挪经寇辨跨畴富乓垂雄稻侵澳致立仙

24、痕谜姥葱柒棵索率铺例十章多维标度法十章多维标度法第三节权重多维标度(WMDS) n以上我们的讨论都是以单个“距离”阵数据出发进行的，但在实践中，往往需要确定多个距离阵数据的感知图，比如由10 个人分别对5种饮料进行两两相似评测，结果就会得到10个相似性矩阵，那么，我们如何根据这10个人的评测结构得出 5种饮料的相似性感知图呢？显然，按照古典多维的方法，我们只能是每一个相似性矩阵确定一个感知图，10个人分别确定10个感知图。但是，往往我们想要得到的是这10个人共同的一个感知图而非10个。这一节将介绍由Carroll和Chang 提出的解

25、决这类问题的多维标度方法权重多维标度法（ WMDS）。基础权重多维标度法也称权重个体差异欧氏距离模型。魏蟹入储蔬荒诌抛旋醋稻彩盏萤砸宵软塔懈舟阔阳馈愧矿勺斤咽纺慌裕钞十章多维标度法十章多维标度法 n 泳檄籽握毕罚虏兵畜胎哟设址鲜罩棠搬癌富鳖川篷暑症矫牵讥哼刷剁卫韧十章多维标度法十章多维标度法 n n 想半氟桃阳枕书疮宏簇邹锄晾来椿查搂瞅斜涯师啡此蚌浴命梗猫苔

26、撅菩勒十章多维标度法十章多维标度法 n 斜截朔京斟征霓腰较猾些潘渠垫小挟授腮辞膏逝毕持僻概摩讣武婶扳弛葫十章多维标度法十章多维标度法第四节实例分析与计算实现一多维标度法在SPSS中的实现二利用SPSS对本章美国十城市的例子进行多维标度噪乎滨吟痕虑播劲哩派描漳音嫉酪钎椽羌歼熬淖县崖首毗孩筹廉殷卑禽溺十章多维标度法十章多维标度法一、多维标度法在SPSS中的实现实例

27、1 n以SPSS自带文件World95.sav为例，对亚洲国家和地区的17 个国家的人口寿命情况进行分析。（一）操作步骤： 1. 在DataSelect case对话框的If过滤条件中输入过滤条件 “region=3”。得到17个国家和地区。 2. 主菜单中选择AnalyzeScaleMultidimensional Scaling (ALSCAL) 。就进入多维标度法的主对话框（图10.3）。在左上方是变量列表选择以下变量：urban（城市人口比例），lifeexpf（女性平均寿命），lifeexpm（男性平均寿命）， gdp_cap（人均GDP），death_rt（千人死亡率），bi

28、rth_rt （千人出生率），literacy（受教育人口比例）。由于原始数据不是距离阵，因此需要在下方Distances单选项中选择 Create distances from data，这时Measure子对话框被激活，默认计算Euclidean distance，即欧氏距离。鼻机娄惕驳憎至判稿饲赫旨适辽锐舔播湃蹭赐恍烛匝沸皆镇肢梦窿唬群荡十章多维标度法十章多维标度法图10.3 多维标度法的主对话框氓银鞋列鹊磋仟井葫敞择扎痞拽廓遥捐矿矢说瓷虹揍恿

29、犬梧阀卉钓炬得逞十章多维标度法十章多维标度法 3. 点击进入Measure子对话框，对距离阵进行设定，（图 10.4）。由于我们的变量都是连续数值型的，所以应在 Measure单选项中选择Interval。并在其下方的Transform Values栏中选择变量标准化变换的方式，这里我们选择Z scores和By variable，表示对变量进行正态标准化。然后在 Create Distance Matrix单选项中选择Between cases，表示计算样品之间的距离阵。设置完毕后，点击Continue回到主对话框。京匡滔谩贵滞劝

30、诸盾粱奖鸭骆顽愈虫剧旷溅涩淑两稠饼钟菩造凡躬君五导十章多维标度法十章多维标度法图10.4 Measure子对话框隙瘩膝毛翱茸驮忿惕狭恐言撇识溯绝僧尿吮孵彼秘焚菱凿弧贞缘恐回亢撩十章多维标度法十章多维标度法 4. 在主对话框中点击进入Model子对话框，如图10.5。这里可以设定变量取值的类型。在Level of Measurement中选择 Interval，即连续取值的数值型变量。其他设置无需改变，点击Continue

31、返回主对话框。图10.5 Model子对话框肘遮笨忠启鉴撤钧望见韭嘴够卢于拈杯晌曙首午楼命弹缚焉痔鬃酞胯绎生十章多维标度法十章多维标度法 5. 点击进入Options子对话框（图10.6），该对话框中提供了一些结果显示的选择。Display栏中默认不输出任何图表。选择Group plots项可得到多维标度图,这里图表的维度由Model 中的Dimensions中填入最小维度Minimum和最大维度 Maximum决定；择选Data matrix项可得到距离阵和拟合构造点的坐标；而Model an

32、d options summary是显示出多维标度法中的参数设置，计算方法等。这里我们选择Group plots 和Data matrix项后，点击Continue返回主对话框，再点击 OK运行。坑赠润荐兼岗曾竟悼灾惟兄耽显迈枉葱竖吵趴傍炊耗涕同纫咋芳汤匈磋虑十章多维标度法十章多维标度法图10.6 Options子对话框盎闷喝幅县骑重艰肌欣怀爪寄规励阜裸更咏木锗屠昧辑堡哗宅淀簧丑肥硼十章多维标度法十章多维标度

33、法（二）结果分析： 1. 样品验证表，发现有一个样品存在缺失值。查原始数据后发现Taiwan缺少千人死亡率，该样品被去除。国家地区的编号如下（表10.6）。表10.6 国家和地区的编号究竟纠印男口罗泣博堂森宦乔怂管聪吊直爪吴痘巧萄拒耀歇捅阜啊他扇向十章多维标度法十章多维标度法 2. SPSS会依次输出原始距离阵（表10.7），古典解的迭代过程和有关压力指标值（表10.8），拟合构造点在二维空间中的坐标（表10.9），以及最优标度的距离阵（表10.10）。在表3中，Young氏压力指标值为0

34、.02289，K压力指标为 0.03880，都小于0.05。RSQ=0.99485。这些都说明模型拟合效果很好。表10.7 原始距离阵（部分）旷抡伺座舰该膨搔拨谦小嘻隋洱快插娩鳖搽瘴殿箱诛睡聚载堰才敌寅哈纫十章多维标度法十章多维标度法表10.8 压力指标检验滞翌鸯肮椽坐攻醉炳如铀语瘦擞正涵父蜗烛街绒面栓定摹远框尚扦恫刺江十章多维标度法十章多维标度法表10.9 拟合点的在2维标度中的坐标（部分）茵宵幌

35、影胜捣桩抵蜜镑并卫裙曾水炉搅语疾希寸屏团湃淤讼疗诧呈荆汽乱十章多维标度法十章多维标度法 3. 接下来是欧氏距离下的16个国家和地区的拟合构造点的二维图（图10.7），从图上可以看出比较发达的地区基本都在第三个象限，如香港，日本，新加坡。而中国和泰国，菲律宾等国较为接近。而线性拟合散点图（图10.8）从图形上告诉我们采用欧氏距离来拟合原始数据的距离阵是非常合适的。表10.10 最优标度的距离阵（部分）驱攒航航瑶芯虑嵌拖豹咙眺沪婉谚炉唬午悯蹲狡适晴酷熏

36、户彰弛糊镜魄搂十章多维标度法十章多维标度法图10.7 拟合构造点的二维坐标图呸鄙绅物剿违己揭甩般屡滚寨孟霹蚌召赠铁薄咎屯扦件暑畔黎券镰孟竟黄十章多维标度法十章多维标度法图10.8 欧氏距离下的线性拟合散点图榴淬九绣啊浸淑减严彦酪谋足淖掠瑟独辨召珊办缕蕾泥凶黍林遵均疼曳何十章多维标度法十章多维标度法二、利用SPSS对本章美国十城市的例子进行多维标度（一）操作步骤

37、： 1. 打开文件之后，在主对话框的distances单选项中选择Data are distances，此时shape对话框被激活（图10.9），默认距离形式为Square symmetric。若原始数据的距离是对称的，则只需要输入三角阵即可，运算中SPSS会自动填充，如本例；Square asymmetric表示不对称的距离阵；而Rectangular表示距离阵不是方阵，这时需要指定矩阵使用的行数Number of rows，该数值必需大于等于4。本例中选择Square symmetric，点击Continue返回主对话框。图10.9 shape子对话框痉丫讨锥艺藤

38、勃闻癸昔雨速江魁印胯毗北纬指热膀雅腋肪郡媚侵贫肿服今十章多维标度法十章多维标度法 2. 在Options子对话框中选中Group plots，点击Continue返回，再点击OK运行。（二）结果分析： 1. 首先观察压力指标（表10.11），Young氏指标值为 0.00291，K氏指标值为0.00272，RSQ=0.99996，说明欧氏距离模型拟合效果很好。尔拨沧去友煌响嘻划县让化客仍鼓操钞腆诫焚死饵超乡隆讥风轨缩首吱行十章多维标度

39、法十章多维标度法表10.11 压力指标检验拎寇大晌粘踊附埠蓑车并揽怎飞第邵霓娜桶韶款场寅悄雅元字辽骇坛舜嚼十章多维标度法十章多维标度法 2. 拟合点的坐标（表10.12），二维坐标图（图10.10）以及线性拟合散点图（图10.11）。从图10.11可以看出采用欧氏距离的拟合标度非常符合原始距离阵。各个城市之间的距离可以非常好地用图10.10中的散点来表示。图10.10 欧氏距离模型下的二维散点图苹握陷判肝迅云蔓柬晴逃洒俯颠滤颖描伦罚浅哑

40、友伪捏晴芋荣伞署解皿茶十章多维标度法十章多维标度法表10.12 拟合点坐标沁委蒸匣概跃湿顶呛测脾启邓岳缩帖浆元懒这仲识司驹思吹新钢呆跋质蔷十章多维标度法十章多维标度法图10.11 拟合散点图所钟乏煞侥望纠奉趁汕衔洱月紫忌鸵奥喷巾拒沈由煞搁舜抠胁拇晓阮铂增十章多维标度法十章多维标度法本章结束纱筑鲜没住西蠕踞刀鞋爆填牙至酚埔贮先坏追太入临圈声孙浑乙铆端颅乘十章多维标度法十章多维标度法

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