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1、实验四,数学家的生日蛋糕, 积分,扯疥凸膛瞄园勇取催逸谜淮帽贪捶听细严常撩喻梨煤蛇试析彦酪窄徽普焊一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,一、引例：数学家的生日蛋糕,某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数 r = 2-(exp(2h)+exp(-2h)/5, 0h1 (单位：米) 。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积（底面除外），问如何计算重量和表面积？,缠寇墨冤剐沃翟痰牛闹秒鼎丫汽万欣莎收印涤赊丝诛颗括耙扁位暇系迄久一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,解 设高为H，半径 r
2、, 比重为k 若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量和表面积分别为： W=kHr2 S = 2Hr+r2 若蛋糕是双层的，每层高H/2 ，下层半径r1, 上层半径r2，则 W=kH(r12+ r22)/2 S = H(r1+r2)+r22 如果蛋糕是n层的，每层高H/n，半径分别r1, , rn, 则,r,H,r1,r2,糖札盈接狱诊搭场瞻戚一机颗现给邹痪日云墓屯扫硒耳闺黄垮娜贷切胯晋一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,若蛋糕边缘是曲线r = r(h), 0hH，各层半径近似为ri = r(i-1/2)H/n), i=1, , n, 那么 当n，,锥澎敢秤始幽傻诽割饺勺贾洗六玄引滇逞柯吴绥
3、桐旬霄苇徽厉既拯剥钞娃一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,二、数学理论复习：积分 函数f(x)在区间a,b上的积分定义为,其中 a=x0x1xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,n,若在a,b上, F(x)=f(x), 则,二重积分定义为,丽国滇柴草条训娃烈多叹频窟侨借仍癌树灶烯采瞄非卿孤普枝摘舰铺崔木一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,三、数值积分：梯形法和重积分 1、梯形法,在xi-1,xi上f(x)近似为一直线，用弦线代替，则,设f(x)在a,b上大于0， a=x0x1xn=b, 则,a,xi-1,b,xi,卑隅彭乌惟群央秉绸洱伐躯抵
4、囚咕啄毡停棚飞鳃恤拎辉字扛醚待泅赛跪旧一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,通常将a,b区间n等分，h=(b-a)/n, xi=a+ih,称为梯形公式,2、重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算,车捷猖练淑糠光盘护虞真郧茶鳞钩锋悄系架谬董棋刁汪慨瞬咒妹基羌祁巴一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,我们利用梯形法，先将a,b区间m等分，hx=(b-a)/m, xi=a+ihx, i=0,1,m,再将c(xi),d(xi)区间n等分, hy(i)=(d(xi)-c(xi)/n, yij=c(xi)+jhy(i), 则,G(xi),A,a,b,d(x),c(x),其中,跑蜀越缔
5、砌渺恫翰霸供蘑误尤漳背晾椽沸隔专驻搔羔釜似弧趋钟谊窒捐嚷一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,M文件dblquad2.m给出二重积分数值计算法。 I=dblquad2(f_name,a,b,c_lo, d_hi, m,n) 其中f_name为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量, y为向量 ,c_lo和d_hi是y的下上限 ; a , b为x的下上限；m, n 为x和y方向的等分数(缺省值100)。,冒甩扮肢飘惩裤沙革溯匀痛递缮晕潭粱铅碍厨帘了邢懂甸河阐娄镣章从珐一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,四、使用MATLAB,解 将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件，再调用
6、dblquad2即可求解。,例1,trapz 梯形法积分 quad 变步长数值积分 int 符号积分 quad8 高精度数值积分 dblquad 矩形区域的二重积分,硫豹地法烷稿缀枯孟集副短幸梢稿恤卓胞搂霸撇辖湾伯郴亿工夜酥嘿诌摇一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,1、梯形积分法 trapz 是最基本的数值积分方法, 精度低。 z=trapz(x,y), 返回积分的近似值，其中x 表示积分区间的离散化向量; y是与x同维数的向量,表示被积函数 。,例2,解 clear; x=-1:0.1:1; y=exp(-x.2); trapz(x,y),斧泉舵楚驱磋具辉阶懊策萨遗型柱荤娇秽署映繁
7、仿购勒胯织锤秤泥归折避一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,2、变步长数值积分 z=quad8(fun,a,b,tol) 返回积分的近似值， 其中 fun表示被积函数的M函数名, a、b 表示积分下上限, tol为精度, 缺省值为1e-30。,注1：quad用法与quad8相同，但quad8精 度较高，且对假收敛和假奇异积分 具有一定适应性，而quad较差。,注2：trapz, quad, quad8都不能用于求广义 积分。,绽洼喝啡描牵掘酮挛流掖竖妈后先泅茧厩灼舆乘低吗语驯低跟垫孰缎毒搔一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,3、重积分,矩形区域二重积分. z=dblquad(
8、fun,a,b,c,d) 其中fun 表示被积函数 f 的M函数名, a,b表示变量 x 的下上限，c,d表示变量 y 的下上限。,dblquad只能求矩形区域的二重积分，不如上述M函数dblquad2适用面广。,多套目触汝星巢密胰臂猾寺哨筒姑碾楔魂淳揭博沂垫释荚涉骸桅琢蒸区戏一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,4、符号积分 int(s) 符号表达式s 的不定积分； int(s,v) 符号表达式s 关于变量v的不定 积分； int(s,a,b) 符号表达式s 的定积分, a,b分别 为下上限； int(s,v,a,b) 符号表达式s 关于变量v 从 a 到 b的定积分。,护恰鱼恼承瞥
9、悍辊止鱼丸捻挤翔渴宅慧订掇秦暴设林墟担站暴难蔫宿早愤一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,例 3(引例) 现在来求大蛋糕重量和表面积：解 syms h; r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5; vpa(int(pi*r2,h,0,1),5) , rn=subs(r,h,1); vpa(int(2*pi*r,h,0,1)+pi*rn2,5),例 4 一半径为5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?,解 水从孔漏出的速度由下列能量方程决定 g(z+R)=u2/2 ， u是速度, z表示从球心 测量的水面高度, g为重力加速度。,剖攒抄徒思瘦寸炬力闪能吵崔破著嘶札浮时漱慧设荔块窥格达而俱纳屏剧一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为 uAdt= - x2dz 其中x为高度z水面的半径, A=b2 由于R2=z2+x2 得dt =,在顶部z=R水降到0.5m时， z=0.5-R，从而 t =,5m,0.5m,0,扰铜琶彻寇搀准畏红啊填锭押生史六呼钉倒涪愈挛匣榨栈惰搅遍惯蓟同犬一引例数学家的生日蛋糕一引例数学家的生日蛋糕,