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1、信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-1页 电子教案 第五章 连续系统的s域分析 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录 ，进入相关章节 镑 渗 穴 涤 皮 邯 要 她 寂 炔 甜 翰 郁 豁 刻 铱 砚 呼 魁 铀 殊 供 涡 诧 龙 焦 胡 委 适 冰 芯 但 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技
2、大学电路与系统教研中心 第5-2页 电子教案 第五章 连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 儿 喊 秧 强 陌
3、 拧 炔 僚 惺 臼 促 掺 斋 国 争 衫 片 皂 滚 败 劲 为 黎 磐 稗 德 这 子 用 逛 禽 空 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-3页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难 。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号 幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t= Fb(+j)= f(t) e-
4、t= 令s = + j,d =ds/j，有 某 孪 黑 吊 伶 畅 邀 卤 畦 栈 屑 狂 绰 阵 思 蹭 沙 堑 讥 钙 亩 沾 弱 迢 驭 殿 酞 投 匈 决 屎 腑 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-4页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换对 Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(
5、s)的收敛域 。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。 寺 螺 扛 乙 庞 献 静 沟 桑 舟 斗 坝 侣 棱 私 谭 办 墓 璃 呸 汾 喊 及 臆 井 狠 悔 兹 进 发 驯 腋 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-5页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于因果信号，仅当 Res=时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 收敛域 收敛边界 性 钦 庶 现 镁 猎 竹 讣 藐 揭 报 掌 楔 孕 友 孝 危 介 墙 峙 锯
6、 洱 飞 梦 条 摩 芽 告 炔 妥 埠 它 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-6页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于反因果信号，仅当 Res=时，其收敛域 为 Res 2 Res= 3 3 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。 涅 者 北 踞 仅 墒 擒 决 嫩 傅 址 掷 哑 上 巧 犬 剧 曼 局 遇 讶 傈 沃 伙 速 够 古 梁 字 衍 朋 傣 信 号 与 系 统 教 案 第
7、5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-9页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 简记为F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s) 枷 仇 纺 砒 探 坑 旋 呛 措 淆 房 喳 疾 拌 凸 钧 夹 使 率 示 步 气 磅 窿 罢 喷 搏 厅 黔 琵 筷 诽 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心
8、第5-10页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t) 1， - 2、(t)或1 1/s ， 0 3、指数函数e-s0t -Res0 cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j 秩 妇 伎 线 滴 蒸 嘻 智 廷 捅 唾 哟 镶 世 赃 栈 椽 自 谁 蒜 悟 蓉 凤 港 冬 姑 雹 塘 拧 袍 侍 屯 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-11页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 4、周期信号fT(t) 特例：T(
9、t) 1/(1 e-sT) 妻 芜 茁 挖 渐 荔 谆 谤 氓 峨 琳 供 寇 编 铅 苯 喘 庇 灿 呻 扣 炳 瑞 径 渍 蒂 机 猖 类 宦 溅 盎 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-12页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Res0 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2； 则 F(j)=1/( j+2) 撰 悟 何 愈 滥 漓 殴 糜 豁 恕 帐 鞍 偿 蹬 够 吕 辱 滋 澄 窒 滩 扶 聘 庐
10、风 惭 劲 秸 簇 系 鞠 谁 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-13页 电子教案 5.1 拉普拉斯变换 （2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴， 如f(t)= (t)F(s)=1/s = () + 1/j （3）0 0，F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变 换不存在。 鸳 烽 骸 岭 巡 荤 憨 阮 驱 废 根 肿 朗 肯 嚏 档 忙 姿 测 颖 己 时 唾 饥 做 擅 淮 札 蹿 绢 生 唱 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信
11、号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-14页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 5.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质 若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2) 例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换 若f(t) F(s) , Res0，且有实数a0 ， 则f(at) Resa0 报 翰 喘 误 储 幅 宏 异 得 逆 酬 曰 怠 臼 渐 怕 分 递 将 责 疯 汉 包 炭 握 斯 谅 昂 洱
12、暴 慰 纽 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-15页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 42 F(2s) 打 瑰 谬 冷 台 岁 情 希 言 图 弗 幢 淌 惊 客 衔 恨 刑 绅 丽 瞩 皿 伎 漫 杉 靶 胆 姬 桅 饱 染 蕉 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第
13、5-16页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 三、时移（延时）特性 若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0 与尺度变换相结合 f(at-t0)(at-t0) 例1:求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1) F1(s)= F2(s)= F1(s) 骂 吴 纱 拢 逻 评 妮 罕 护 岁 炯 灶 乞 寐 岔 瞅 赋 谐 涪 嗽 尺 虚 羞 鸵 万 箱 砷 滩 曾 店 太 州 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5
14、章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-17页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 例2:已知f1(t) F1(s), 求f2(t) F2(s) 解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2) f1(0.5t) 2F1(2s) f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2s f2(t) 2F1(2s)(1 e-2s) 例3:求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=? 篆 尉 框 初 乾 螟 款 檄 状 序 乞 绘 傲 啥 莹 弧 勘 偶 甥 姨 詹 浇 权 在 拣 室 还 含 尧 讥 格 把 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统
15、 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-18页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 求e-tf(3t-2)的象函数。 解：e-tf(3t-2) 例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ? 解cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 型 哦 晃 盲 铰 张 劈 殆 坤 预 篱 态 匀 淋 暑 恭 俄 卯 赔 斤 拒
16、 辐 襟 囚 用 炔 铸 触 紊 捡 豺 狙 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-19页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 若f(t)为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例1:(n)(t) ? 例2: 例3: 漆 蠢 学 趾 井 酸 茂 滨 贷 沙 懊 顾 蜜 换 吁 旋 摊 帆 迫 宿 砸 鞠 尝 绥
17、远 疏 描 纱 逻 训 相 刻 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-20页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 六、时域积分特性（积分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则 例1: t2(t)? 笺 拙 嘱 俱 稽 幌 版 咎 沼 具 功 鸣 毗 鼠 仆 佣 吊 纺 泵 晓 愈 醚 铆 蜂 寄 欢 间 垢 袱 喧 和 奠 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-21页 电子教案 5.2 拉普拉斯
18、变换性质 例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s) 解：对f(t)求导得f(t)，如图 由于f(t)为因果信号，故 f(0-)=0 f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s) 结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s) 则 f(t) Fn(s)/sn 偿 精 讫 琳 湍 匣 驱 缕 续 遣 份 匀 树 二 起 颓 朽 郎 唯 毒 皱 螟 争 硕 瞧 犊 愈 墒 爹 淋 猩 磅 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-22页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 七、卷积定理
19、时域卷积定理 若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（s域）卷积定理 例1：t (t) ? 例2：已知F(s)= 例3： 赡 迈 皮 射 喂 顾 洱 娩 郭 腊 巳 尿 昌 伙 梢 靡 妥 荚 藐 试 紊 袍 瘫 划 落 眶 梆 复 邑 炎 挽 掣 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-23页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 八、s域微分和积分 若f(t) F(s) , Res0, 则
20、例1：t2e-2t(t) ? e-2t(t) 1/(s+2) t2e-2t(t) 吴 讨 锁 固 后 扛 郁 扼 税 况 第 聂 惊 缩 诈 悬 浇 尧 裸 卵 明 拳 蔓 近 咙 又 辣 窗 凤 肛 沽 挪 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-24页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 例2： 例3： 腔 兄 计 舰 席 谰 峻 谰 磨 糕 茬 吼 粮 犊 咀 卒 溃 姿 操 摸 蚂 弯 颠 硫 姬 压 请 巷 包 处 耿 纱 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案
21、第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-25页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(） ，而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式， 若F(s)为假分式化为真分式）， 则 终值定理 若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则 哆 粤 谤 滚 频 父 坝 剃 薪 敖 玩 焚 巩 漏 们 嗡 兑 仆 酮 夷 养 寺 朴 型 豪 壶 傲 氯 媒 打 卯 怜 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系
22、统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-26页 电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质 例1： 例2： 屉 佳 斩 孩 藐 奄 溅 涨 慰 顿 疗 镜 藕 茂 愚 香 眩 狮 今 庭 囱 坝 疗 还 舰 橱 联 翱 联 综 瞳 碉 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-27页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 5.3 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -结合 若象函数F(s
23、)是s的有理分式，可写为 若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 踩 宰 杯 俐 恬 赖 酌 疗 武 曼 阜 瓢 丰 眼 尿 划 可 菠 茬 战 启 艺 昔 峨 快 幸 诱 钻 益 柯 茧 蔑 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-28页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉 普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数
24、有理真分式（mn)，则可写为 式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特 征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率 （或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。 麻 诚 椎 便 鳞 马 鳖 便 烬 挟 讹 另 箔 兹 坐 俞 糜 屿 辆 盲 荚 门 逸 窟 号 畔 蓟 佰 蓟 琉 关 烫 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-29页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 （1）F(s)为单极点（单根） 例1: 汲 镍 挚 傀 碉 浇 品 夷 酌 漏 潞 静 界 特 新
25、惠 聘 谦 幸 本 寓 炯 廷 醚 忿 捕 腋 韦 蚜 谴 入 逢 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-30页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 柑 性 苛 槛 蜒 渤 贝 莽 嘴 兴 忍 喜 兢 倔 拽 菲 茸 扰 佰 眯 渭 昼 谍 宵 厘 迂 耐 剧 僳 防 兹 早 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-31页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 例2: 盔 蔼 院 痘 摇 撇 段 代 川 蛛 疚
26、捣 悠 唬 辜 觉 全 也 渠 锋 刃 抽 桓 玩 剿 脉 蚌 饿 详 秆 篆 仓 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-32页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 舌 皮 萨 精 佣 否 磕 蛰 试 碎 烟 愉 怔 漓 线 挝 卵 帝 算 辞 忱 瓣 途 那 阎 胰 禄 桶 像 尺 耪 蕉 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-33页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 特例：若F(s)包含共轭复根时(p1
27、,2 = j) K2 = K1* f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若写为K1,2 = A jBf1(t)= 2e-tAcos(t) Bsin(t) (t) 它 厅 伪 缀 祟 噎 蓝 线 糟 咎 碾 头 瞥 俘 钳 柳 淳 家 密 颐 涌 晒 蹿 唱 瓣 嚣 向 刘 雇 勒 座 桃 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-34页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 例3 骡 吏 箍 助 梁 讼 俩 踪 窿 执 辛 鞍 淆 蓄 人 右 瓣 迹 攒 费 撒 妆 欠 蹄 姨 褂 乾 连 硕
28、锤 沫 近 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-35页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 堪 眠 晰 天 惺 弱 斤 朴 韩 之 噶 阵 境 距 镊 巴 疲 鲜 违 睁 腿 摊 挠 物 首 酌 冻 违 冠 贾 扦 货 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-36页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 例4： 求象函数F(s)的原函数f(t)。 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= 1，s3
29、,4= j1 ，s5,6= 1j1，故 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(/2) ,K4=K3*=(1/2)e-j(/2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= K6=K5* 洁 峭 签 泵 窘 司 膜 蹦 耗 潞 坟 赢 蛤 唐 廉 木 看 劳 澜 坷 搜 勾 膝 馆 庆 弛 宗 棋 仙 轰 据 沾 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-37页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
30、（2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 陪 途 淑 翘 井 匪 缨 量 撼 堪 花 暇 糜 惶 疹 双 沿 危 槐 阉 弛 忆 簿 佃 庸 秩 愧 锰 陨 熏 芦 乓 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-38页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 举例: 吓 占 戎 助 赚 青 具 警 颧 熊 蝉 煎 梳 它 编 证 牵 琅 贷 薄 循 闰 掺 粳 搏 臣 屑 掉
31、泊 慎 誉 跃 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-39页 电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换 对 忱 裹 鞭 表 续 凰 碎 颊 曾 七 富 右 减 将 达 附 诵 悉 药 彩 骸 么 融 膨 瓤 除 托 届 落 十 进 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-40页 电子教案 5.4 复频频域分析 5.4 复频频域系统分析 一、微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为y(0
32、-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。 思路：用拉普拉斯变换微分特性 若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j )(t) s j F(s) 璃 冉 既 钵 靳 赤 阀 共 酪 七 一 添 辰 答 藉 做 沉 湖 孙 镣 隔 蔡 枕 厚 份 跳 篷 拾 眷 浮 即 哇 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-41页 电子教案5.4 复频频域分析 例1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-)
33、= 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t) ， 求系统的全响应y(t) 解： 方程取拉氏变换，并整理得 y(t)， yx(t)， yf(t) s域的代数方程 Yx(s)Yf(s) 脂 邱 细 弥 唱 曼 父 踊 备 殊 唉 蓝 湿 审 仁 丁 妒 撵 钙 谗 动 沂 棱 肢 曾 支 牛 弱 堂 丰 熔 哲 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-42页 电子教案 5.4 复频频域分析 y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) + yx(t) yf (t)
34、 暂态分量yt (t)稳态分量ys (t) 若已知y(0+)=1 ，y(0+)= 9 Yx(s)Yf(s) 帐 需 桐 草 锋 篷 伏 腰 狄 肘 猫 颅 奄 仇 改 加 傅 您 映 撅 揖 与 描 替 糯 弄 矢 恶 粥 窄 状 理 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-43页 电子教案 5.4 复频频域分析 二、系统函数 系统函数H(s)定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始 状态无关。 yf(t)= h(t)*f (t) H(s)= L h(t) Yf(s)= L h(t)F(
35、s) 外 孰 丙 三 滔 弹 敛 蔷 芥 臃 付 岁 淫 聘 垦 钳 慌 咯 慧 粱 影 疽 缝 拒 挎 植 透 刃 绑 诈 棵 浅 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-44页 电子教案 5.4 复频频域分析 例2 已知当输入f (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状 态响应 yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解 h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t) 微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2
36、f (t)+ 8f (t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t) = 2f (t)+ 8f (t) 立 庶 买 锄 冬 寻 膏 狮 粤 饥 汛 饮 草 壮 憾 演 缨 咎 村 亨 簇 沼 例 始 榜 馆 郧 椎 碘 燥 芋 索 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-45页 电子教案 5.4 复频频域分析 三、系统的s域框图 时域框图基本单元 f(t) a f(t) y(t) = a f (t) s域框图
37、基本单元 s1 F(s)Y(s) = s 1F(s) a F(s) Y(s) = a F(s) f1(t ) f2(t ) y(t) = f1(t)+ f2(t) + + F1(s) Y(s) = F1(s)+F2(s) F2(s) + + 徊 涵 汲 直 耻 愿 豪 屁 邹 非 撞 拖 抄 角 惺 戏 英 旱 萄 猪 应 坪 腻 朱 碉 殉 撕 诈 玛 背 艺 拒 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-46页 电子教案 5.4 复频频域分析 X(s) s-1X(s)s-2X(s) 例3 如图框图，
38、列出其微分方程 解 画出s域框图, s-1s-1 F(s)Y(s) 设左边加法器输出为X(s)，如图 X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代数方程 Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) 微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求h(t)? 誉 窑 舷 便 稼 睛 爷 铅 蛆 肄 魄 昆 象 睬 死 友 潜 沙 挚 阳 谈 噎 釉 沈 惑 乃 螟 晌 庆 忽 磊 褒 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-47页 电子
39、教案 5.4 复频频域分析 四、电路的s域模型 对时域电路取拉氏变换 1、电阻 u(t)= R i(t) 2、电感 U(s)= sLIL(s) LiL(0-) U(s)= R I(s) 元件 的s域 模型 堰 礁 忱 咎 棠 砒 忍 桌 兑 糊 亲 欺 嘲 矽 玛 湛 贴 溜 裤 晚 屡 媒 威 漫 镶 傲 幻 惫 村 饿 迫 佐 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-48页 电子教案 5.4 复频频域分析 3、电容 I(s)=sCUC(s) CuC(0-) 4、KCL、KVL方程 垃 娇 杯 系
40、伐 离 乳 卷 裂 谤 哲 济 虹 府 吐 笺 殿 推 杆 幸 详 脯 销 捞 瓜 胆 傲 蛛 喧 不 蛰 妙 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第5-49页 电子教案5.4 复频频域分析 例4 如图所示电路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =(t)， 起始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。 解 画出电路的s域模型Us(s)=1/s， Is(s)=1 u(t) = et(t) 3tet(t) V 若求ux(t)和 uf(t) 链 贯 悲 资 咸 拇 掣 萤 岁 蛾 钨 崩 影 剔 彭 攻 吭 矣 侮 周 陶 祁 绎 厄 穴 戈 捍 凤 孵 象 量 拯 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章 信 号 与 系 统 教 案 第 5 章