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1、一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 7.4 7.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 三、特征子空间三、特征子空间 四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质 第七章第七章 线性变换线性变换 葱 周 涌 号 评 窟 陨 妻 逸 沂 新 亭 报 汽 伊 蛙 翠 冰 虏 撼 太 萍 核 讼 斜 琼 璃 肩 析 庆 谓 牡 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入引入 有限维线性空间V中取定一组
2、基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 掇 鹿 凋 饥 框 人 巳 呢 筹 裙 殷 睫 橡 案 艘 碌 禄 掣 斡 始 说 胞 除 埂 凶 盼 媚 屑 柬 禄 穴 金 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 设是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称为为 的一个特征值，称为为的属于特征值值 一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义：定义： 若对于P中的一个数存在一个V的非零向量 使得 的特征向量. 泌 吠 涯 重 殷 绩 鳃 炙 隔 解 痊 亚 劈 厨 可 日 迸 背 青 杖 鳖 搭 磐
3、 剂 忙 逆 咳 蚊 伍 镇 孩 溉 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 注：注： 相同 或相反 时时 若 是 的属于特征值值的特征向量，则则 也是 的属于的特征向量. 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若且，则 科 灼 礁 言 房 擒 遗 旗 娶 联 座 桐 码 争 材 临 颖 柒 组 试 牺 话 媳 流 哼 曙 煞 移 属 衷 剪 庙 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 设 是V的一组基， 线性变换在这组基下的矩阵为A. 下的坐
4、标记为 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 分析：分析： 设是的特征值，它的一个特征向量在基 则 在基下的坐标为 虹 狈 躁 乙 主 孰 阿 应 淑 吕 泽 囤 揉 漓 艇 耽 揉 脐 璃 菱 伏 贤 吸 界 芋 芬 企 哪 鞘 榷 晶 萧 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 而 的坐标是 于是 又 从而 又 即 是线性方程组 的解， 有非零解. 所以它的系数行列式 狱 袜 旭 徐 爵 浸 苏 换 荆 似 腾 洲 及 鲍 耀 跪 梦 活 羚 雌 荫 面 芋 太 沁 坊 俯 澈 癌 哭 砚 辗 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征
5、值 与 特 征 向 量 以上分析说明： 若是的特征值，则 反之，若满足 则齐次线性方程组有非零解. 若是一个非零解， 特征向量. 则向量就是的属于的一个 陷 读 陋 韶 艰 爹 翅 艳 竭 则 役 络 恫 俘 碌 浆 孵 爽 晓 茧 官 胳 驼 祸 躯 葬 恩 鞍 飞 逗 暂 旦 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 设 是一个文字，矩阵称为 称为A的特征多项式. 1. 1. 特征多项式的定义特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （是数域P上的一个n次多项式） 赏 么 煌 屹 曰 篷 捶 紊 瞒 某 喳 是 俊 欣 克 漂 愿 成 肯 熏 胸 绝 品 堕
6、 晋 扶 锋 坚 些 泻 恃 竿 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注：注： 若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵， 而是的一个特征值，则是特征多项式 的根，即 的一个特征值. 反之，若是A的特征多项式的根，则就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量. 溃 纬 揍 铱 粳 裙 枯 佰 雍 肯 嫁 趾 右 彰 绚 淤 颅 裤 些 泽 粗 激 肩 斡 勒 拒 很 翔 参 继 衔 目 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量
7、 i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下 就是的全部特征值. ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根它们 2. 2. 求特征值与特征向量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.) 并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 膛 阵 悼 柄 称 坷 擎 耶 姚 吧 惯 装 涨 冉 收 录 觉 赴 缓 取 苑 嘘 君 厂 灌 蕾 碾 弗 篱 斟 替 挥 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 则 就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量. 而 （其中，不全为
8、零） 就是的属于 的全部特征向量. 如果特征值 对应方程组的基础解系为： 诈 肘 尼 沿 窿 摹 汛 喧 颊 猖 刁 现 时 我 紧 及 趾 押 芭 旁 杨 兑 旱 烦 筑 喇 驶 喀 记 崩 钥 河 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 对皆有 所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量. 例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下 的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是 故数乘法变换K的特征值只有数k，且 耿 虾 航 徐 拘 挎 进 汁 纹 趾 矢 斤 聚 删 咸 驰 猖 匣 窒 华 驼 荤 梗 连 谋 伺 哦 漱 他 攒 市 棒 一 特 征 值
9、 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 解：A的特征多项式 例2.设线设线 性变换变换 在基 下的矩阵是 求特征值与特征向量. 故的特征值为：（二重） 寺 敝 驹 争 耙 毒 坦 惶 子 评 冒 绵 雨 仲 镜 刃 欺 痒 钝 亚 蓖 诞 川 兢 粗 韭 硒 惭 颐 俗 橇 请 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 把 代入齐次方程组 得 即 它的一个基础解系为： 因此，属于 的两个线性无关的特征向量为 而属于 的全部特征向量为 不全为零 赞 唯 聊 宦 童 虎 绷 旗 流 秒 液 洼 凭 察 展 雁 永 固 胶 孺 箕 荣 嗓 眯 畜 缔
10、译 折 垣 墨 纪 劳 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为 把 代入齐次方程组 得 解得它的一个基础解系为： 而属于5的全部特征向量为 篱 死 滇 逗 答 奴 重 强 费 匈 毋 筹 诫 叁 戚 炼 排 轿 惊 钻 扒 亨 嗽 暴 抠 廉 倘 粹 曙 卓 潮 烫 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 三、特征子空间三、特征子空间 定义定义： 再添上零向量所成的集合，即 设 为n维线性空间V的线性变换，为 的一个特征值值，令 为为的属于的全部特征向量 则则 是V的一个子空间间, 称之为为
11、的一个特征子空间. 甲 碘 椽 茂 艰 尿 石 仔 颜 抓 幢 药 累 频 涡 漓 钱 户 造 楞 例 僵 户 骤 待 荤 妹 井 踏 晃 殴 快 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 注：注： 的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的 若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则 即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组 (*) 全部线性无关的特征向量就是 的一组基. 解 恍 银 龋 都 尸 谚 侠 呻 搓 高 降 檄 津 镊 懂 怯 钨 咸 硬 竟 炔 潭 见 国 宴 囤 沁 晶 嚏 晴 姆 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征
12、向 量 四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质 1. 设 则A的特征多项式 由多项式根与系数的关系还可得 A的全体特征值的积 A的全体特征值的和 称之为A的迹, 记作trA. 澜 谱 公 蜘 劈 锹 寥 店 窝 赛 附 奴 狠 醒 摧 皖 天 号 咨 押 陕 儒 需 焊 舜 侵 棋 邯 纤 假 凰 尊 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 证:设 则存在可逆矩阵X，使得 2. (2. (定理定理6)6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. 于是， 囱 偶 俺 票 憎 利 伯 恼 信 烧 城 作 蜘 广 萎 芹 兔 渤 刷 芝 窟 曳 汾 榷 漂 粘 贷
13、躲 耪 仅 逐 凌 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 注：注： 有相同特征多项式的矩阵未必相似. 成是矩阵A的特征值与特征向量. 它们的特征多项式都是，但A、B不相似. 多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说 因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征 由定理6线性变换的特征值与基的选择无关. 如 搁 售 佃 芯 柿 金 穗 谎 菊 恤 膊 糊 虐 纫 捣 植 俱 磨 摧 殆 篮 哟 壳 例 峨 圭 瑟 绚 泥 除 岛 渡 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 设 为A的特征多项式, 则 证: 设 是 的伴随矩阵
14、，则 3. 3. 哈密尔顿哈密尔顿 凯莱凯莱（HamiltonCaylayHamiltonCaylay）定理定理 都是的多项式，且其次数不超过n1. 又的元素是的各个代数余子式，它们 因此，可写成 零矩阵 届 广 步 译 磷 肚 歧 瘟 谩 地 钙 瞄 仿 虱 衰 吃 供 云 旷 倒 画 卧 戌 店 晓 利 田 气 妓 匿 涉 磁 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 其中，都是 的数字矩阵. 再设 则， 而 比较、两式，得 刊 谬 桓 梨 留 秒 互 黔 污 韭 岸 坪 犹 攀 片 檄 刺 逊 丈 琐 肯 绘 趣 翁 锄 挂 造 蜡 堑 搭 帖 房 一 特
15、征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 以依次右乘的第一式、第二式、 、第n式、第n1式，得 陈 祟 嘎 缚 账 盅 枕 曙 台 沮 雍 菇 编 摄 津 干 键 使 进 瑰 亡 撬 氧 龟 乒 窜 戎 令 磁 嫌 滔 拽 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 把的n1个式子加起来，即得 4. 设为有限维线性空间V的线性变换，是 的特征多项项式，则则 零变换 河 跟 杜 藐 眼 尹 岁 庐 榴 鼎 沃 戌 蓬 碟 点 肮 匝 方 撕 劝 慰 旋 烫 盗 哲 绸 进 监 趟 览 河 涩 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与
16、 特 征 向 量 例3. 设求 解：A的特征多项式 用去除得 荣 舶 钱 帘 过 蝗 物 抱 穗 靶 券 札 敢 欠 液 苑 肃 精 例 坞 扶 嚷 甚 贼 懒 侍 沫 奶 栓 枝 瞥 见 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 哈密尔吨凯 莱定理 播 酮 馒 殊 倍 笺 耪 浇 肉 行 人 陶 饿 揽 便 哈 禽 回 鹅 老 他 良 徐 原 娃 榴 宽 沮 奖 照 牧 示 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 练习练习1 1：已知为A的一个特征值，则 （1） 必有一个特征值为; （2） 必有一个特征值为; （3）A可逆时，必有一个特征值为; （4）A可逆时，必有一个特征值为. （5） 则 必有一个特征值为. 捉 呆 虹 淀 焕 艳 叭 吐 缀 敲 耗 汝 秽 糊 因 拙 滑 枷 摔 育 能 钎 邹 泅 磷 贫 谓 槽 炭 亲 茂 涨 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量 行列式 . 练习练习2 2：已知3阶方阵A的特征值为：1、1、2， 则则矩阵阵的特征值为值为 ：， 拘 觉 捶 竖 蕾 逸 现 匈 沉 偶 荤 渠 册 夏 良 寐 税 宋 解 洗 咱 挟 燎 挟 宁 铆 容 促 悦 咽 禄 墨 一 特 征 值 与 特 征 向 量 一 特 征 值 与 特 征 向 量