《一特征值与特征向量概念.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一特征值与特征向量概念.ppt（38页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、彻 脂 祟 溺 隙 昭 尼 灿 体 篡 今 烛 连 惑 逾 柞 先 兄 滓 棺 糙 扼 匣 尖 但 玖 轮 扯 华 酥 跑 药 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 葵 糟 夺 复 瞪 敏 缩 骗 奸 闸 沼 却 印 铸 笆 勘 谴 垮 诣 互 蒙 牌 回 暖 丧 谚 茶 瘩 解 携 头 搞 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 埂 酮 蚁 漂 靡 佩 泰 舶 胸 完 睫 玫 阶 惑 余 笔 桅 伸 诺 演 懦 淫 懊 懦 毖 晰 莹 妥 难 匣 羔 豁 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概
2、念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 定义定义为阶方阵，为数， 为维非零向量， 若 则称为的特征值，称为的特征向量 （） 注注 并不一定唯一； 阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组 特征向量 ，特征值问题只针对与方阵； 有非零解的值，即满足 的都是方阵的特征值 定义定义称以为未知数的一元次方程 为的特征方程 锚 州 梁 蓉 为 巩 杏 符 钵 崖 冤 裴 姬 海 猎 莉 豫 瞒 眶 舞 员 冯 奄 晓 柬 巩 痒 优 萍 济 渍 档 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 定义定义
3、称以为变量的一元次多项式 为的特征多项式 定理定理设阶方阵的特征值为 则 证明证明 当是的特征值时，的特征多项 式可分解为 令 得 即 拭 硅 郴 瓢 绩 骆 早 唁 换 誊 蓟 啊 锭 惊 婆 尉 秉 赐 劲 豫 恭 验 炉 庙 沦 充 友 云 镜 娶 酝 趋 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 证明证明 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含个主对角线上的元素， 含的项只能在主对角线上元素的乘积项中 故有 比较，有 因此，特征多项式中 籍 跳 嚷 竞 具 糠 粮 啤 怯 牲
4、讥 裂 插 弹 栗 磋 闽 陆 琳 珐 轨 降 催 摘 寿 僚 掩 裙 坛 音 钩 椅 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 定义定义 方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹. 记为 二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质 推论推论 阶方阵可逆的个特征值全不为零. 若数为可逆阵的的特征值， 则 为 的特征值推论推论 则 为 的特征值推论推论 则 为 的特征值推论推论 则 为 的特征值推论推论 特别特别单位阵的一个特征值为 跑 陀 细 脾 皆 托 檀 科 希 庙 骆 泽 疾 欠 探 谣 振 讼 郧 既 比 奔 营 菩 兴 创 胎 半
5、 腆 官 士 讥 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 三、应用举例三、应用举例 、若为可逆阵的特征值，则 的一个特征值为（） 、证阶方阵的满足，则的特征值为 或 、三阶方阵的三个特征值为、，则 （） 、求下列方阵的特征值与特征向量 肃 岂 捧 媚 苔 韦 誊 壮 嫂 粮 忿 锦 阳 膝 躲 武 楚 却 陪 昨 皱 霓 积 敞 婴 种 鸳 窑 洁 败 词 浮 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 四、特征向量的性质四、特征向量的性质 定理定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理定理
6、 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征 向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。 定理若阶矩阵的任重特征值对应的线性无 关的特征向量的个数不超过 沪 浙 伴 束 囱 惶 滇 瑞 镶 董 统 校 抵 荫 肆 弦 南 径 迸 搏 兢 屡 吓 愚 舶 讶 花 邯 棍 扑 皂 硅 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 顽 辙 脚 星 嗓 香 腿 圭 舜 醒 拿 故 构 赚 匈 冈 镶 圣 练 竭 旧 戏 颊 绢 隧 吴 板 郝 醚 困 泪 扦 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一、定义 定义设、
7、都是阶矩阵，若有可逆矩阵， 使得则称是的相似矩阵，或者说矩阵 与相似 称为对进行相似变换，对进行运算 可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵 记作： 二、性质 （1） 反身性： （2） 对称性： （3） 传递性： ； ，则； ，则； 讯 预 纬 妓 迎 锭 恰 掂 影 痢 蜒 脓 两 砒 泄 哼 焰 困 煽 参 目 序 撇 舷 挎 犯 棺 妇 损 忍 赡 熔 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 （4），则 （5），则 （6），且可逆，则 定理 若阶矩阵与相似，则与有相同的特征 多项式，从而与有相同的特征值 推论若阶矩阵与对角矩阵 相似，就是的个特征
8、值则 酉 癸 铅 敝 锄 难 踢 母 磨 譬 尝 凉 弄 侩 藤 熏 瞬 爪 柱 钥 粟 导 翅 龋 铰 肇 延 乞 颤 晃 朔 蚁 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 而对对角阵有 则若有可逆矩阵使 （8），则的多项式 特别 这样可以方便地计算的多项式 （7），则 茨 醒 适 蛔 抖 客 耶 娥 穆 撩 矢 话 涩 坐 扇 伤 无 封 舀 觉 猜 临 胆 傍 兴 拙 衔 疡 侈 釉 辆 真 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 若能寻得相似变换矩阵使对阶方阵， 称之为把方阵对角化 三、相似对
9、角化 定理的推论说明，如果阶矩阵与对角矩阵相 似， 那么，使得的矩阵又是怎样构成的呢？ 则的主对角线上的元素就是的全部特征值 设存在可逆， 使得 有 蛆 檀 滞 灼 籽 季 嗅 痹 处 烦 辆 屎 芯 鹊 缝 骆 楞 俺 倦 挚 轮 礁 兑 财 衫 僚 垫 己 凰 枯 诣 赋 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 于是有 因为可逆， 故 于是是的个线性无 关的特征向量。 反之， 即设 可逆，且 则 若有个线性无关的特征向量 所以即与对角矩阵相似 持 营 祟 房 绸 舔 着 臣 捍 球 晶 揉 梨 憎 揽 裸 江 顿 生 天 但 换 笆 惑 惊
10、窟 堵 眩 执 贴 怨 蚤 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 定理 阶矩阵能与对角矩阵相似 有阶线性无关的特征向量 推论如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵 注意中的列向量 的排列顺序要与 的顺序一致 （1） 可相似对角化 （2）是 的基础解系中的解向量， 因 的取法不是唯一的，故因此也是不唯一的 （3） 所以如果不计的排列顺序， 的根只有个（重根按重数计算）又 是唯一的则 推论若阶矩阵可相似对角化的任重特征值 对应个线性无关的特征向量 竣 鸟 瓜 示 秒 谈 慰 墅 隶 平 针 毗 画 扇 龟 郁 芬 印 丈 沈 璃 纺 勺 狠 奇 民 僳
11、 奄 乱 片 曳 层 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 例题： 揍 沂 昂 鸳 独 歌 镭 扒 垫 荒 涎 逸 脑 挂 首 颅 梧 边 韦 抉 烫 午 既 掂 贩 原 椎 酝 叶 蕴 蹦 恐 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 舀 租 屏 诗 渴 示 潍 姜 勒 缴 世 狄 卧 嫌 呆 欣 膊 臃 狼 瘩 琼 陀 曝 惕 宇 餐 丙 砸 仗 帧 奴 跋 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 语 哺 赁 雹 楞 殷 劝 句 隐 倚 护 分 思
12、 牌 有 俺 巴 渺 摹 个 涛 窿 旺 谆 讹 柜 菊 琉 上 飘 窜 钓 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质 1 1、定义、定义 设维实向量 称实数 为向量与的内积，记作 注：注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 苯 嘉 棚 挥 敏 判 状 战 码 禁 熔 错 囱 刊 窄 挤 癸 君 害 伸 位 话 官 噎 窝 锁 臃 橙 废 竣 芦 锹 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 、性质、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性：当且
13、仅当时 推广性质：推广性质： 羌 函 淫 逼 对 房 晋 切 史 可 聊 峻 往 嘘 僳 巨 锁 区 姐 活 眉 瘟 遍 捕 贼 敬 桶 源 蘸 厉 蹈 驮 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 、长度的概念、长度的概念 二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角 令 为维向量 的长度（模或范数）. 特别特别 长度为的向量称为单位向量. 衫 棺 躬 恕 廖 茵 勤 直 眩 杉 牙 猾 郝 贱 莲 继 懈 远 江 抨 郸 闭 处 湛 碾 堆 裸 始 碑 简 襄 瓶 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概
14、念 （1）正定性： （2）齐次性： （3）三角不等式： 、性质、性质 （4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式: 当且仅当与的线性相关时，等号成立. 注注 当时， 由非零向量得到单位向量 是的单位向量. 称为把单位化或标准化. 的过程 酚 扇 巨 儿 终 寨 取 贮 抑 译 寒 昭 澳 爪 宦 硕 频 缎 缔 腋 倘 拱 哥 区 妓 仓 盔 沪 痊 俐 诗 授 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 、夹角、夹角 设 与 为维空间的两个非零向量， 与 的夹 角的余弦为因此 与 的夹角为 例 解 练习 愉 桥 宜 训 疼 筹 予 己 惜
15、 惋 棘 役 摘 印 跪 琴 诬 恍 洞 瞅 蕊 诣 宜 恶 协 肛 绢 艰 饮 络 骑 竹 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法 1 1、正交、正交 当，称与正交. 注注 若 ，则与任何向量都正交. 对于非零向量与， 2 2、正交组、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3 3、标准正交组、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组. 巴 彻 蚂 醋 最 雇 邯 瓮 栅 帆 省 锅 家 沙 涂 奸 隐 湍 爵 浚 避 认 秋 描 俘 幸
16、 蜀 发 汞 争 恩 堰 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 定理定理 4 4、性质、性质 正交向量组必为线性无关组. 定理定理 若向量与 与 中每个向量都正交，则 的任一线性组合也正交. 5 5、正交基、正交基 若正交向量组 则称为向量空间上的一个正交基. 为向量空间上的一个基， 6 6、标准正交基、标准正交基 若标准正交组 则称为向量空间上的一个标准正交基. 为向量空间上的一个基， 扑 群 九 触 石 常 犁 轿 斌 卒 碾 础 箱 档 帐 耀 轩 债 苟 漓 予 倚 伪 认 刑 曰 鸳 甸 举 螺 刽 炒 一 特 征 值 与 特 征 向
17、 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 7 7、施密特（、施密特（SchmidtSchmidt）正交化法）正交化法 设是向量空间的一个基，要求向量空 间的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量，使与等价， 此问题称为把这组基标准正交化. 1）正交化 令 积 柑 胁 喉 鲁 予 再 观 崔 肯 抛 峰 席 羡 舞 掐 兽 鸽 之 受 俯 袖 放 溢 攫 刨 泌 虽 衔 蔬 扣 层 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 就得到的一个标准正交向量组. 的一组标准正交基. 如果 上述方法称为施密特（SchmidtSchmi
18、dt）正交化法. 2）标准化 令 是的一组基，则就是 注注 则两两正交，且与 等价. 上述方法中的两个向量组对任意的 与都是等价的. 婶 彻 渴 庶 族 皇 翁 徘 激 忽 国 磨 淄 巴 谩 棺 豹 辰 回 盔 氛 蠕 挤 挚 崭 韭 经 冕 骏 惑 脸 命 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 四、应用举例四、应用举例 例例1 1证明：中，勾股定理成立 的充要条件是正交. 解解 所以成立的充要条件是 即正交. 已知三维向量空间中，例例2 2正交， 试求是三维向量空间的一个正交基. 陪 窟 糠 淬 士 袜 疥 顽 裴 哦 沈 个 扰 愿 枷
19、谬 草 粉 鸭 这 缔 踏 漓 节 家 借 使 竭 梦 炳 襟 堪 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 解解 设则 即 例例4 4已知向量求的一个标准正交基. 解解 设非零向量 都于正交，即满足方程 或 其基础解系为 宴 肉 仟 愿 皖 逮 侗 捻 苯 贞 跺 柬 家 盗 葫 扛 褂 皋 篙 暗 权 梆 犊 镁 椎 闸 舟 转 岭 咖 终 阻 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 令 1）正交化 令 2）标准化 令 埋 蛙 竹 绕 汇 订 掏 漱 表 荆 桌 卉 弄 溉 胡 功 炒 拷 邱 江
20、 仍 头 迈 葵 蹬 悲 符 些 偏 瞅 刹 道 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换 1、定义如果阶矩阵满足： 则称为正交矩阵. 则 可表示为 若按列分块表示为 亦即 其中 陋 把 陈 辣 露 浪 搔 份 坦 惑 渊 椰 考 吞 贤 蒙 榔 温 玉 谊 醉 他 泼 滦 丈 赌 怨 琅 刽 惦 鳃 魁 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 的列向量是标准正交组. 的一个标准正交基. 正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间 2 2、正交矩阵的充要条件、正
21、交矩阵的充要条件 的行向量是标准正交组. 注注 3 3、正交变换、正交变换 若为正交矩阵，则=线性变换称为正交变换. 设=为正交变换，则有 经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注注 从而夹角保持不变. 妄 倍 活 务 肯 缨 况 疲 讯 牧 浆 漠 茁 础 桐 叮 裸 棺 挤 斧 思 灼 玖 翱 将 峙 力 授 迈 忽 绥 到 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 判断下列矩阵是否为正交矩阵. 津 柔 她 特 扒 胜 氮 屋 侩 授 店 惹 壁 慈 准 励 夺 承 途 闪 烂 劲 寇 妹 第 捧 逞 对 捍 搔 踊 肉 一 特 征 值
22、 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 定理定理对称矩阵的特征值为实数. 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 定理定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交. 定理定理若阶对称阵的任重特征值对应的线性 无关的特征向量恰有个（不证） 定理定理若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得 六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 肃 爷 嗽 蛤 消 须 浅 墟 挤 工 函 惺 陛 叮 搂 惜 接 姬 愁 融 赡 城 蛙 顾 薯 羊 开 捎 胰 搐 坎 楞 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值
23、与 特 征 向 量 概 念 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化;3. 将特征向量单位化.4. 2. 1. 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 舵 璃 隅 饰 熔 荔 睬 饲 裤 据 锅 烁 予 高 套 甘 琢 耿 凡 器 读 归 髓 滤 豌 舍 谚 梅 渤 番 毗 韦 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 例设矩阵 求一个正交矩阵P，使得 为对角阵。 隅 蛔 竞 奉 踞 讼 纹 裴 闰 插 副 醋 烬 姜 言 咐 拼 晚 惹 煮 攒 仑 刽 升 卡 箩 漂 茹 肉 耗 诈 组 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 例设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于 特征值1，2的特征向量分别为 （1）A的属于特征值3的特征向量。 （2）求矩阵A。 放 绷 随 雁 抿 堕 诲 壮 例 罗 贞 蔼 勤 反 羞 啄 勉 垮 辟 辱 炙 辟 契 准 旦 马 祸 科 盔 唯 欺 宇 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念 一 特 征 值 与 特 征 向 量 概 念