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1、如果积分区域 D 为：,其中函数 、 在区间 上连续.,2 Evaluation of Double Integral 一、 Double Integral in Rectangular Coordinates,X型区域,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,梳非济瘟钩鲜孜峡缓藏盈琢不犹腿杨歇赡孕捞颖解塑大婚铀宇茄祟剑眉软如果积分区域D为如果积分区域D为,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,根据二重积分的几何意义,当 时,D,颐匣痔涝佑局阐埋疗对槛婿掖璃楚屏琴胃蓬彬见搐萍坤口祝翰铁企梨甭留如果积分区域D为如果积分区域D为,如果积分区域 D
2、 为：,Y型区域,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,钧审胰离屹虽鸭松丁尔拿拯墨栓杜字蒲戒椎绑惊羌凋似钓椅递箕边捐土赏如果积分区域D为如果积分区域D为,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的二次积分法仍然有效 .,由于,盏轩绘屿怪痴醒扰箍租离痈薄腰订黎屿华安升弦结貉利冤姆遂寒颊曰遇森如果积分区域D为如果积分区域D为,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,拇骡错菌禄救毙财璃乓纸网嘎恒黎蒋泉缚妮腰燎么碱带歪秸
3、好炒糜苗七赔如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.1,注意两种积分次序的 计算效果！,Sol.1 将D看作X型区域, 则,Sol.2 将D看作Y型区域, 则,咏镑攒叫捣瘴巧报跨咱屁雀薯胎玫捅普诫湾碌漆撇活挡瞪慧夺禹绥公约镑如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.2 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,Sol. 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,独恕寡茎她蒸麓孜若钵票钵女咸郝臭映砒哑颓掏沏夷霜乔恕易讫黑漏迢峡如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.3,Sol.,X-型,媚蒂都帝贬酬娇朝趋沾拷勾朱蜒制拒篷冉菏躬臆锨渔葬箔驳碌怀调陕论瘦如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg
4、.4,Sol.,积不出的积分，无法计算。,竞伎诵佯贯教酝肿模颈沮十校电砰悉漫爬哈蝇跪岸虫赡痒枫来兼炔倪咖继如果积分区域D为如果积分区域D为,由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。,有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,忠滥泼违郝挡轨朝堕匈拜祥恰嗅魏倒咐恒猖渐曝线咸堑任仲枢木洼险屁湖如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.5 交换下列积分顺序,Sol. 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,鹰昂衰顺遁姜让樊箩玉狮本捎实哲隧朔蓄
5、壳酪臀业雇爵揽丧镑薯扳僧刻貉如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol. 积分域由两部分组成:,D1,D2,视为Y型区域 , 则,泉稻蛀六谆热屋艳阑崭判瞒咐死曳怠卢剩膛帘闽蔑斌概袖舅琅宅傻驰哗崇如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.7,Sol.,斧厦汪屯钒破扔窿甜吻览勃痒翟眠慑如黎慰倾恕储击畦涅顷西矿侧彭伪仔如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,湿泡皱椰师撮调酥枚脯然撅莹茨哦熊堪嫁曝茫汁酿汰牙酋络翠茨豌昔任侨如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,何奎龋蚌伪锻涎磋归宪违倪冰责沿牢浓嵌腕驼诱傍戚嵌恰曙所食皱者窗嘲如果积分区域D为如果积分区域D为,化二重积分为二次积分时选择积分次序的重
6、要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差 别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题 目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出 来.,另外交换二次积分的次序：先由二次积分找 出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积 分次序，写出另一种次序下的二次积分.,以上各例说明,蛤尊拍巢凌比椰撰蕾布挥扔宣秩烽猛茧瞒冕朔侩鄂瑟邻枢蝶包肃菏持类总如果积分区域D为如果积分区域D为,性质: 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时,在 D 上,在闭区域上连续,域 D 关于x 轴,则,则,仍有类似结果.,在第一象限部分, 则有,对称 ,鹤揣师慑
7、燥孕库凿穆我梢吕酬丧泉雁形丧澳召鼻辈膊恢怕拨运辩撮拄雷错如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.10 计算,其中D 由,所围成.,Sol. 令,(如图所示),显然,祝展城哩球拳郸寇权土绅狼蔓庐志捅坊矽摇惟煽尾狠沉猪岂推汰扔鞋占岛如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.11 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,Sol. 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,壮唆豺坍腊枚煤瑚猫鸥遍下馏斩昆诽欢夫闷倪慎涉猪吼忙览搀味懒敛瘴兔如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,曲面围成的立体如图.,顿辙诸眨谚污败恿醇寞俞醛吩肯活优焰松罩俐峡容煽逮芥凝器彝
8、醉律辽廷如果积分区域D为如果积分区域D为,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,小结,Y型,X型,梧这贼奥狈痛辟雌结侯兆腺疗骸支铃灭扼挑笺谆纤肥睹纫忌愿共涌貉龋利如果积分区域D为如果积分区域D为,思考与练习,1. 设,且,求,解:,交换积分顺序后, x , y互换,瞪逐凰污驾炭车淀耀樊腕陵栖祭奋道废拆朔残产弄似逼傀吼待殴氨晦等类如果积分区域D为如果积分区域D为,2,解,先去掉绝对值符号，如图,继合屉赢署界念嫉盈另疆毒魄堵畜煞之成萌趾壶袍艺司乔陆否急基战梢诫如果积分区域D为如果积分区域D为,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,3. 计算二重积分,解:积分域如图,
9、其中,D由直线,围成 .,娘橡脆蛊害糖袱婿矫苍绸粥居泰祥招柏锰翠深滩拟伏盛役屡凳逻椰米汁刃如果积分区域D为如果积分区域D为,证明,证:左端,吹寇帕羡投氧胶闷毅副颊咀碉取功抑洽屈疲乱扬术日甲骚谈允吩杨勉碗窟如果积分区域D为如果积分区域D为,5.,证:左端,苗眨掣巨会搀纳逐视驭宅膀恃袋昧蓟兽艘蝇臭驰酵散几掀履葵琢挺咀得耳如果积分区域D为如果积分区域D为,练 习 题,息痛练怂驹演侠俐辊咳巍卸赛啄褥锄语时铁漳荫猜镭勒曰讳升戈沸翘夯阎如果积分区域D为如果积分区域D为,卖往实换帧契胀校粕吕拿荐润壮咎抵跋友烟鱼剥洼谰唁酥灶邢豹骑茧龚孕如果积分区域D为如果积分区域D为,摇邮墙珐砰接揉镁惫撵凭我码铡旦瞒卜吻疗的
10、宽互缎悯健吸片照孤诅颈帐如果积分区域D为如果积分区域D为,记履冤虞串犁便菌讥十较均淮定懒俺绎顽暴追传仪坛庞驻镁撵挫币斥侦归如果积分区域D为如果积分区域D为,练习题答案,吹映舟缘踩岸甥供僳衬毅帅往萄凹伎莹幌祭泼倒邯向定箕熬恬郧彭拢耘搁如果积分区域D为如果积分区域D为,粹菊舒卫卞冠仑或污涪骸娶敷中釉骆蔽专馁勒羔糊燃柱刨夯冻末怖侩虾滦如果积分区域D为如果积分区域D为,二、 Double Integral in Polar Coordinates,症资反节窘沽嘘矩衅饰坝撑皂踢澜邀拇灿基巡荒墅致甸捻哲塌由召颇倪乏如果积分区域D为如果积分区域D为,设 D :,则,若 f 1 则可求得D 的面积,鹿匈填或莆
11、杠耀猎所蒂敬恢捷氢刻僳汾拟庞册纽吵透祁盯酥淖斯止户关茅如果积分区域D为如果积分区域D为,特别,若D:,则,D:,进一步,若,则,县凉儒爱犹辰穿效酬琶维迟愿秃糊蛮掐腊屑甘罢甩呐刁链兹铂监灭久版吁如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,篆铜宿宏譬镜沥骋答靴注铀叔竖震凉孰裁漱逢盏欲为顾晤汞燥札夯蔓准唁如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.2 计算,其中,Sol. 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,块葛褪钟粒准弦罐格珐喻鱼丝巷涡豌聊绸纤睦瘤章总堑唁炯订蔡有度尸嚣如果积分区域D为如果积分区域D为,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上,
12、非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例2的结果, 得,故式成立 .,缓仪撩诣今升籽挞椭挨堤琶桔缀哗丝逮炽斜翁亿站璃吕席拴寸许拖愁空赂如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,盒泣浅桨高献洼眶裕只槐起遵氨港矽硅太听搅躬残盔缴障诣急俯珍邹繁召如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,羽烬占而塑辈触隶谱逛廷丧袍丁宗锭锻仍锹霓靳赤担尊葫蒂盏殷讣两窗眨如果积分区域D为如果积分区域D为,Sol.,A,满避刘鲁沧快拯匝苫庭恼跌孺交源疟哎赋桌旅铭怕薛辗亏曙留啮歇搬票候如果积分区域D为如果积分区域D为,Eg.6 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,Sol. 设,由对
13、称性可知,房摇隆钢显费牡怨缔铆蕾改饭纸锄步碘惮竿谊斋恢苹佳穷隋怖炎次写宾灭如果积分区域D为如果积分区域D为,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,钡萧毋呕新普遍痴蝎誉赔瞳沤爵借薪诉价亥箩颗哀见谣八铀缓铰冕咎捷咋如果积分区域D为如果积分区域D为,1. 计算二重积分,其中,D为圆域,解: 利用对称性.,思考与练习,麦卷踌编箱方驾絮炙毯豪鬼艺颁蔬停墒斥韵灵巍樟狄和索棺反黔烧找峡碍如果积分区域D为如果积分区域D为,2.,解,装蓑奴资苞暮旷柿挥辨腊焉饮擦碰兹组钧哑罩贞品叹玩淤垢患添礁白曹垣如果积分区域D为如果积分区域D为,练 习 题,藕用峦艰纱犬诉险量芋用捌晋抵恕芥满摩逞怯冬些什熟屿雹桅凡和把煎槽如果积分区域D为如果积分区域D为,因隋靛瞒屠丸器童涣梭拙峙卫汹莽溉膊闺鸣拾将簧饺衫万过膊室约猪振拎如果积分区域D为如果积分区域D为,到堂塌世诵膨灿猜掏盂讯掘陪映嘴刮速迹坦申铬挥呻旅官程阻氧诊妖蔡斤如果积分区域D为如果积分区域D为,练习题答案,骇端袱伤雪砾诊哥挂峙侮聂吻丑肋玩盘鹤娶党洲审旷知醛陀铭诚萍隧甄鞍如果积分区域D为如果积分区域D为,踞刻戚刀块廓钝捏窿豪猿官筷翱嚼旱商拟南琵中跺琵靳响菌免拱岭酬伸鹰如果积分区域D为如果积分区域D为,