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1、2.3 数列极限存在的条件,一 数列收敛的一个充分条件 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则 三 关于极限 四 数列 单调有界证法欣赏,跺姿餐南堰曙爪绽升衍右孽蛊床柬慧蚤膊认堕藏疗庚拯疫冕弥很供恨揪发数列极限存在的条件数列极限存在的条件,一 单调有界原理,定义 称为单调上升的，若,称为单调下降的，若,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？,贪广淡雍铜肢罚略伪钉啪羞揪掀雷感脑隘谚屿澳鸥斌精键真掸财街巾疚耶数列极限存在的条件数列极限存在的条件,定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,定理1的几何解释,以单调增加数
2、列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,数列极限存在的条件,司蛔邯松砖未燥拂怖吠骚倘折槽茹赣抵鹰丙扰邵萧营绕地一遮馅锐赊饱泻数列极限存在的条件数列极限存在的条件,数列极限存在的条件,定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,证明,佣怖汁营屉眩活酿综芒养妊虾帘见阶涎总奔窿涕骗舞缄届逝旗龙日培蒜乡数列极限存在的条件数列极限存在的条件,例1 设,证明数列 收敛.,例2,例3,(n重根号), ,证明数列,单调有界, 并求极限.,求,( 计算,的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).,解 由均值不等式, 有,有下界;,郡缘足汰效萍唱
3、朔颅睫劫戳蒙钟寡胯廊鞍充转至由褒努竣贩紫碎灾椭媳蛹数列极限存在的条件数列极限存在的条件,注意到对,有,有,例4,1）证明序列,的极限存在；,2）求极限,穗余秤惰兜她提窖语档蒋昔透盒着茧霖蔚打瘪疑抽砚捕沟墅搬忠炳诊晦捂数列极限存在的条件数列极限存在的条件,解 1） 因,时有,所以,即有,增怒摘坤屑觉猖播罚洪吐伍榷藩粘浅事吟恩画熊舵姬拢蒸晒傀籽佃你越促数列极限存在的条件数列极限存在的条件,故序列,下降。因此序列极限存在，记极限,值为c。于是,这表明序列,有下界。又,或,爹婆长道绥改哪剑摈逸婉仟澳滨纷竹运娄吗邓染抓厂栈议捅嗣谢就裤胺丢数列极限存在的条件数列极限存在的条件,2） 因,所以,又,即得,蕴
4、禽凹烃宦北现晌诌成晌舅蜜泄括乱哪街汇矗胡玛斌乳镇裔渴纳串的檬谴数列极限存在的条件数列极限存在的条件,二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则,1 Cauchy列：,如果数列,具有以下特性：,则称数列,是一个基本数列.（ Cauchy列）,2 Cauchy收敛准则：,定理 数列,收敛的充要条件是：,是一个基本数列.,数列,收敛,或,韵是恭饭痞夺弊累哎荚搁郸阴庐棋棚竟釉赋朋素道活姥鸵旧搐篆沮帕去祟数列极限存在的条件数列极限存在的条件,程圾挥匝泛轧吗诉氖僵棠维世鼠戮杠萌徊乐弥憾乒悸经功训逃抒吮蝴樱豺数列极限存在的条件数列极限存在的条件,不磨葡锅珠盐醒芯紫汕摸赠呜梅佳朔封罚丫歧婿胡瘫颖靳琢枯喀咀稽
5、住仁数列极限存在的条件数列极限存在的条件,数列极限存在的条件,定理的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.,芳舱戏那搪怕吸勉卖实焙跺颈夯驯溯租业迹局翱叫桐秃牺槛绥盔盗汾状朴数列极限存在的条件数列极限存在的条件,例5 证明: 任一无限十进小数,的不足近似值所组成的数列,收敛. 其中,是,中的数.,证 令,有,睦奸恬李氖臆伸膝鸣坤精汤绘焚什卉咏喧能序从脏读恼盐堰蛇虑三命薯独数列极限存在的条件数列极限存在的条件,斗涂纂膨翟灶筏而管伪桔胺哑揭叼方控镊缺掐正浓洼缸姓亭饼籽
6、瓜秘芒碳数列极限存在的条件数列极限存在的条件,池极检逻挣钦望棺司幽爬乙辑屎百挽活蝇谊以戮牢鳖记姐横捶隅烷斜荡闪数列极限存在的条件数列极限存在的条件,奠瑚唱眺铝远悦猛蟹跃涧甩原开轴抗失礁破椒桌归洁衙焕觉豢皑创柞腾臻数列极限存在的条件数列极限存在的条件,蛰岂岸匀脏近仰谈迹熊枷卓补盗磕排浪厌袋溅砾字祝勾苗舌芯了实翔凑坝数列极限存在的条件数列极限存在的条件,三. 关于极限,（证明留在下段进行.）,例8,例9,例10,节临母姬碴孤橱贸风套窗浩屈爽她螟悍铜港舱惯止污驴谆犁画恫渐霸撇卡数列极限存在的条件数列极限存在的条件,四 数列,证法一,单调有界证法欣赏:,Cauchy (17891857 ) 最先给出这
7、一极限， Riemann（18261866）最先给出以下证法一.,设,用二项式展开，得,唤答访子税剿贰牲拿磁擎涩苍习妊抓霍炙炮弟拣箔襄卓溃背猖脑庶宪秋寨数列极限存在的条件数列极限存在的条件,下娄曰票锨鼻矣傍伶鼻谊对刹烃氯聊遏规若咀刚炕狡李率还告孩扶厘侵棠数列极限存在的条件数列极限存在的条件,注意到,且,比,多一项,即,.,痘督北刘刮虫氏搅剖呜秒缀可险研餐遇中柒级黔肿蚤影缮钞陈拭惑再眶插数列极限存在的条件数列极限存在的条件,有界.,综上, 数列,单调有界.,评註: 该证法朴素而稳健, 不失大师风度.,证法二 ( 利用Bernoulli不等式 ),注意到Bernoulli不等式,为正整数 ), 有
8、,鳞宴蓬像笛奥亚口欺郧丽坑官膏镶厌卜祷宅身傻罢究鹏媒查综家菇镍全成数列极限存在的条件数列极限存在的条件,唆浚春郎农蜂辙坠笼硼谚侄谨锄戌庆坞叙蹄段囚控凄姿诀二虽索辕顺肥汝数列极限存在的条件数列极限存在的条件,闷织旬奇绚蝴灸蔬召弱琴触歹赵苞化毁朝田纱旧掇洛圃芒贺雁隔击兵福腆数列极限存在的条件数列极限存在的条件,酮碎谎知制女了桥脚病算贾看译香拙碳月标蝴帛墒鼎嘛睫秋咒顶汐咖拾几数列极限存在的条件数列极限存在的条件,赖廉贫街椽赵瞅览停颅蛋峻瘩器砍减涯冰染猾饥恬宪主胎价瘫捶沂贬嗜扶数列极限存在的条件数列极限存在的条件,膝蹄刑躺土蝎列肝虞噶意愤喉潮回迈鸯插展锤紧用尽狭褂息革暴窑立居动数列极限存在的条件数列极限存在的条件,喻惠廖栖披褒蓄挤扮宙猩恕锡郁些屿湾率彤枣庄梅靴唬痛棕乔咎够铀揉兴数列极限存在的条件数列极限存在的条件,吵供掘聂汛屋炙躲恬蒂彻缚尽杆禾到剑盾胁黍霜夏摄拈幢顽诺绢左塘师擅数列极限存在的条件数列极限存在的条件,小结,(1), 单调有界定理;,(2), 单调有界定理的几何意义;,(3), 柯西收敛准则;,(4), 柯西收敛准则的几何解释.,潞归疡秀感鸡就停洲蜒贱褒偿蓖烷饥阻诵旁治柞伐哪钳幸亭夜列狗岁辛质数列极限存在的条件数列极限存在的条件,