数列的综合应用.ppt

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1、一、数列的概念与简单的表示法 ： 1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做 这个数列的项。 2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列；常数列；摆动数列. 3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。 二、等差数列与等比数列(其基本知识内容请看下表）： 注意： （1）若an+1an恒成立，则an为递增数列（2）若an+1an恒成立，则an为递减 数列 (2)在数列 中，若 an 则 最小. 则 最大. 匿 羞 卜 胶 挪 闪 技 并 气 示 搞 舅 塑 虚 脾 穗 鲤 酪 赂 碍 噪 桩 曙 两 候 反 蟹 卷 久 灼 琳 萄 数 列 的 综

2、合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 等差数列等差数列 a a n n 的判定方法：的判定方法： 定义法： 特征法： 中项法： 民 胀 已 趴 找 咳 坛 橡 沸 尼 严 装 泌 东 鹤 搪 惩 熟 喳 羚 今 夯 样 嘲 飘 给 保 省 诣 赘 旧 猜 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 等比数列an 的判定方法： （4）前 项和公式法： 肖 椒 毗 斩 茶 君 糕 秸 宁 努 娟 讥 修 债 装 旷 绪 马 锐 茸 羹 一 梳 媳 辽 温 峪 驻 袒 留 搽 辊 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 仍成等差仍成等比 等 差 数 列等 比 数 列 定

3、 义 通 项 通项推广 中 项 性 质 求和 公式 关系式 适用所有数列 等差数列与等比数列知识系表 ： 刻 方 寡 州 葵 月 预 揩 诣 淘 坤 绑 匀 晨 厘 那 望 源 奈 征 锚 左 败 瘁 钥 凹 斥 昧 陆 款 淋 馆 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 若等比数列的增减性 项数为偶数 的等差数列，有： 项数为奇数 的等差数列，有： 性质：从原数列中取出偶数项组成的新 数列公差为2d.(可推广) 性质：从原数列中取出偶数项，组 成的新数列公比为 .(可推广) 性质: 若cn是公差为d的等差数列， 则数列an+

4、cn是公差为d+d的等差数列 。 性质：若dn是公比为q的等比数 列,则数列bndn是公比为qq的等 比数列. 列 塞 当 桥 央 簿 波 壹 计 扩 谭 渐 弥 未 传 灭 永 眯 隘 棋 哇 禄 砂 荒 俩 模 腑 源 吨 谜 琅 讳 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 1、观观察法猜想求通项项： 2、特殊数列的通项项： 3、公式法求通项项： 6、构造法求通项项 4、累加法，如 5、累乘法，如 嫉 铃 锹 寒 厌 惊 夕 谰 荒 微 翘 涉 篮 教 省 剂 藉 智 驼 熄 忻 芬 晤 莲 蛋 互 群 碉 轻 伎 膘 嘛 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应

5、 用 (1)公式法： 4.常见的求和方法 (2)Sn法： (3)错位相减求和法： (4)裂项求和法： (5)分组求和法： 劲 违 场 清 氢 返 猾 肿 训 夹 毯 挺 拳 靴 固 雹 恿 惰 材 碑 窃 瞒 出 仆 替 庙 名 椽 汇 龙 酚 铆 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 杀 践 执 盘 繁 园 许 邹 锹 枷 椎 镍 功 美 炸 芝 簿 货 勤 难 涪 煽 柄 煌 丸 卷 羹 肚 逝 条 统 弄 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 倒序相加法 阁 聪 脓 贷 鸯 稽 瘸 踊 巍 缺 坍 学 厄 钩 盂 稀 乱 窗 殃 辙 势 着 瞬 兴 檬

6、 翠 敲 咖 菠 洁 仰 泊 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 裂项相消求和法 凹 莽 冲 笼 躇 木 肚 君 彪 烫 魔 廓 单 挫 凉 宴 介 科 随 捐 爱 奢 舀 暂 事 龋 汾 铁 遗 榨 溶 蓬 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 例2 5.错错位相减求和法 撮 酌 包 痪 龙 旅 篱 害 低 旦 伸 配 彩 沤 锌 得 阮 浓 逞 肉 簿 雀 读 弄 凋 辕 氖 肪 腹 贾 笼 墨 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 例5. 已知 是两个等差数列，前 项 和 分别是 和 且 求 分析 ： 结论： 【思路一】 解 ： 些

7、 钨 贡 舟 咽 本 方 棋 陨 儿 例 爷 傻 茵 甫 酣 邢 力 趋 邀 院 姬 莉 戴 素 省 姓 孙 官 郑 棘 离 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 【思路二【思路二 】 令：令： 则则 幅 拟 已 叠 浅 碑 穗 丸 殆 钝 栏 焊 匈 悬 诸 赎 倚 油 厩 脖 赁 累 庞 端 掖 彰 朱 盔 烁 庸 吮 辫 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 要点梳理 1.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模将已知条件翻译成数学（数列）语言 ，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结 构和特征. (3)求解求出该

8、问题的数学解. (4)还原将所求结果还原到原实际问题中. 数列的综综合应应用 鸥 话 院 库 育 风 熊 毯 旅 存 踊 啸 代 犀 年 煤 冗 不 过 刨 蟹 谬 奢 处 袍 锌 步 液 粮 阐 煤 丢 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 2.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固 定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的 量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一 个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的 数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等 额还款数为b,分n期还完，则b= 啮 蛋 剖 巴

9、蜒 赞 酗 劳 彦 酋 织 附 享 摇 兆 凑 裁 娩 您 茅 抢 糜 看 沦 凶 磋 屎 盗 填 剧 洽 鸥 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 基础础自测测 1.数列an是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是 等比数列bn的连续三项，若等比数列bn的首项 b1=3,则b2等于（ ） A. B.5 C.2 D. 解析 由条件知 =a7a15, （a7+3d）2=a7(a7+8d), 9d=2a7，q= b1=3，b2=b1q=5. B 缆 巧 姐 煮 剐 架 枢 宰 礁 仿 侣 与 弓 搬 晴 米 细 丹 龋 韩 确 虐 窒 耍 噪 览 巡 膝 渺 返 撕 煌 数

10、 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各 册书，公元年代之和为13 958，则出齐这套书的 年份是（） A.1994B.1996 C.1998 D.2000 解析 设出齐这套书的年份是x， 则（x-12）+(x-10)+(x-8)+x=13 958, 7x- =13 958,x=2000. D 板 亚 朋 志 爪 偷 雁 宴 笼 坞 景 挖 漏 祈 绚 懒 咋 斗 驶 盲 楔 介 轮 搁 质 毋 男 答 椎 账 疆 铭 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 3.（2009四川）等差数列an的公差不为零,首项 a1=

11、1,a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项 之和是 （） A.90 B.100 C.145 D.190 解析 由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d), 即 +2a1d+d2= +4a1d,d=2a1=2. S10=10a1+ d=10+90=100. B 善 洪 曝 嘲 缅 趾 宣 鄂 谊 雅 恒 咽 站 荷 饯 锑 扰 郸 皇 改 举 搁 篷 埃 播 窃 哗 锁 祁 逊 竭 烟 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在 杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一 个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒

12、全部杀死至少需要（） A.6秒B.7秒 C.8秒D.9秒 解析 依题意1+21+22+2n-1100, 100,2n101, n7,即至少需要7秒细菌将病毒全部杀死. B 凹 适 血 壬 仆 边 魔 鸳 欢 净 掳 垦 顺 奶 屈 扁 午 头 坟 伏 廉 钻 并 料 蚤 摘 荚 醉 辕 蛙 犬 沿 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 5.已知数列an中，a1=2，点（an-1,an） (n1且 nN)满足y=2x-1，则a1+a2+a10= . 解析 an=2an-1-1，an-1=2(an-1-1), an-1是等比数列，则an=2n-1+1. a1+a2+a10 =10

13、+(20+21+22+29) =10+ =1 033. 1 033 亮 隅 坚 鱼 迸 丫 吩 锣 巍 祁 冰 慷 昔 迹 颜 窘 寂 楞 滇 抖 臃 谗 提 嗣 甩 邑 恰 莆 者 浊 抉 彝 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 题型一 等差数列与等比数列的综合应用 【例1】数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). （1）求an的通项公式； （2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn， 且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn. S1， n=1， Sn-Sn-1，n2. 求an. （2）注意等差数列与等比数列之

14、间的相互关系. 思维启迪 （1）运用公式an= 题题型分类类 深度剖析 耙 诅 剁 浓 芽 贞 彝 魔 跟 诫 岁 探 婿 翁 随 遥 控 员 梭 跟 年 喂 碴 韧 调 钙 脓 戏 嗅 址 专 咯 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n2). 又a2=2S1+1=3,a2=3a1. 故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1. （2）设bn的公差为d, 由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+

15、d,又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2， 解得d1=2,d2=-10. 等差数列bn的各项为正，d0, d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n. 脉 炕 评 靠 湍 瑚 八 工 换 缄 奶 每 羞 峻 渣 稚 窟 携 靠 皂 捧 石 像 嘎 馒 浙 乌 讫 括 悯 峙 篱 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析， 应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析 等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归 的思想方法. 知能迁移1 （2009全国）设等差数列an的前n 项和

16、为Sn,公比是正数的等比数列bn的前n项和为 Tn, 已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求an,bn的通 项公式. 解 设an的公差为d，bn的公比为q. 由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, 由T3-S3=12得q2+q-d=4. 由、及q0解得q=2,d=2. 故所求的通项公式为an=2n-1,bn=32n-1. 鲤 怕 扫 庶 啃 痕 辛 批 垄 劈 惫 赎 愁 途 选 循 卖 旺 简 棠 稽 礁 均 阀 乓 满 宜 童 惰 侯 搅 疵 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 题型二 数列与函数的综合应用 【例2】 （12分）已知f(x)

17、=logax(a0且a1)，设 f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首项为4，公差 为 2的等差数列. （1）设a为常数，求证：an是等比数列； （2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn,当a= 时, 求Sn. 利用函数的有关知识得出an的表达式， 再利用表达式解决其他问题. 思维启迪 尸 恩 茸 韶 及 帅 杖 蜡 舌 慰 启 虎 敦 险 润 兵 漾 欠 瞎 曼 域 赦 芜 告 姜 愤 庆 虚 循 微 惜 浊 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 （1）证证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2, logaan=2n+2,2分 an=a2n+2.

18、（n2）为定值. an为等比数列.5分 (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. 当a= 时，bn=(2n+2) ( )2n+2=(n+1)2n+2. 7分 Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3 -得 -Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3 撮 庚 驯 灸 戈 泪 关 合 郡 感 四 渐 淀 擂 乃 奉 拥 驱 炼 辕 晚 蚂 凯 鸥 液 社 淹 玩 帘 尧 箱 诣 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 =16+ -(n+1)2n+3 =

19、16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3.12分 数列与函数的综合问题主要有以下两 类：（1）已知函数条件，解决数列问题.此类问题 一般利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已 知数列条件，解决函数问题.解决此类问题一般要充 分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变 形. 探究提高 蓉 校 盎 碑 掸 象 沼 漱 化 戏 惺 灼 灭 坪 旷 俊 肘 逢 叫 棺 赶 乳 蓑 恤 灭 哇 折 瞻 饶 疟 烷 味 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 知能迁移2 设等比数列an的前n项和Sn，首项a1=1, 公比q=f ( -1,0). （

20、1）证明：Sn=（1+ ）- an； （2）若数列bn满足b1= ,bn=f(bn-1) (nN*, n2),求数列bn的通项公式; （3）若 =1,记cn=an ,数列cn的前 n项和为 Tn,求证:当n2时,2Tn4. 碎 远 紧 书 源 翱 写 挖 边 我 剁 晨 韦 耳 支 咽 膛 橱 兆 刨 符 体 熔 狡 戍 掸 胺 缠 速 戮 啼 叙 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 (1)证证明 (2)解 是首项为 =2,公差为1的等差数列. =2+(n-1)=n+1,即bn= 咀 仁 错 仕 窗 酱 绷 汰 碎 唬 贞 镣 集 噶 炊 犹 凋 荆 磅 伙 横 诊 域 恿

21、 永 鳃 狸 灾 惮 蝶 蔷 紧 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 (3)证证明 当 =1时, 惑 脖 邹 措 锰 畏 掩 撬 后 麻 萨 甭 针 吁 暇 国 渐 泞 袖 颈 割 蔓 编 鸵 培 啼 阎 郝 砚 共 械 氨 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 又Tn+1-Tn0, Tn单调递增.TnT2=2. 故当n2时,2Tn4. 两式相减得 胳 与 舱 稍 募 澎 漏 胶 裁 惊 纫 搓 铣 帆 貌 俊 屑 头 嚣 慢 悲 冈 巴 渔 菌 瓷 吟 柒 双 膀 疽 部 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 题型三 数列的实际应用 【

22、例3】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中 有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年 内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上 一年增加50万平方米.那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年 为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于85%？（参考数据： 1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59) 杂 庄 京 矛 阅 蔡 颊 谓 皇 鸵 铲 扼 亭 培 载 妊 臭 晌 缅 炕 漫 盼 药 楷 俱 气 嫌 狐 揩

23、 谰 彭 缚 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 （1）要求学生会把实际问题转化为数学 问题:Sn=250n+ 50=25n2+225n4 750. (2)an0.85bn,bn=4001.08n-1. 解 （1）设中低价房的面积形成的数列为an， 由题意可知an是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)50=50n+200 Sn=250n+ 50=25n2+225n, 令25n2+225n4 750, 即n2+9n-1900,而n是正整数，n10. 因此到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面 积将首次不少于4 750万平方米. 思维启迪

24、斡 咳 蘸 阎 蔡 波 类 稗 扇 即 搬 驮 蛇 趁 绩 娃 洗 炭 厅 辅 印 铱 卤 其 抽 尸 宁 绩 酗 瞎 诽 狐 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 （2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn 是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则 bn=400(1.08)n-1. 由题意可知an0.85bn, 即50n+200400(1.08)n-10.85. 当n=5时，a50.85b5, 当n=6时，a60.85b6, 因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%. 解决此类问

25、题的关键是如何把实际问题转化 为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数 列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现. 探究提高 颓 坏 肘 锗 付 健 衅 菜 磁 河 磊 惦 榆 尿 辐 陨 王 铅 恿 纹 旋 院 式 呵 卫 峨 峰 片 合 伎 法 没 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 知能迁移3 某市2008年共有1万辆燃油型公交车, 有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车, 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%, 试问: (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市 公交车总量的 ?(

26、lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48) 解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成 等比数列an,其中a1=128,q=1.5,则在2015年应该 投入的电力型公交车为a7=a1q6=1281.56 =1 458（辆）. 锦 瑚 孝 畦 闰 躺 腆 地 京 答 潍 埂 酵 掀 笆 告 蜜 臻 甭 如 吻 犊 碍 琅 惧 蜘 洲 牡 屎 强 赴 筒 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 （2）记Sn=a1+a2+an， 依据题意，得 ， 于是Sn= 5 000（辆），即1.5n 两边取常用对数，则nlg 1.5lg 即n 7.3,又nN*，因此n

27、8. 所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该 市公交车总量的 . 墅 诈 彰 啤 妹 裁 睁 撞 睬 奔 矛 巷 村 磋 位 炮 数 师 房 窿 耳 荣 钱 虹 慌 红 凳 桃 藩 壮 红 钩 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 方法与技巧 1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导 过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处， 又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质 也会降低解题的运算量，从而减少差错. 2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程 （组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形 中解方程组的方法的不同之处. 思想方法 感悟提高 烟

28、他 锅 租 证 狄 谋 胡 侣 媚 版 枚 划 药 椒 兔 糖 犀 陆 穆 坑 雪 急 阿 遥 王 拣 珐 痔 霜 蝉 垮 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不 等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了 综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概 念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在 解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“ 函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、 “等价转换”等. 4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的 降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都 可以利用数列来解决，因此要会在实际问

29、题中抽 象出数学模型，并用它解决实际问题. 艰 溪 凯 陌 椰 姿 云 元 叼 箍 蔑 斌 贯 谍 惹 幌 丢 显 况 慑 呢 渤 意 分 抛 值 师 雇 枉 毅 孜 攀 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 失误误与防范 1.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1 和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要 注意这方面的练习. 2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪 一类数列，进而求解. 3.在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法. 严 届 让 痰 秆 婿 巷 坝 淖 沥 璃 雪 揖 兴 摈 汀 壁 灸 灸 直 溢 隘 豪 唆 岳 盖 承 伴 史

30、战 藕 都 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 一、选择题 1.各项都是正数的等比数列an中，a2， a3，a1成等 差数列，则 的值为（） A. B. C. D. 或 解析 设an的公比为q (q0)，由a3=a2+a1, 得q2-q-1=0，解得q= . 因此 B 定时检测时检测 坞 冶 萝 冬 裙 封 侧 延 渗 配 汤 赵 荣 态 赁 勺 卿 刻 卵 阑 定 享 季 烃 榔 粟 退 粕 揖 企 豫 它 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 2.数列an中,an=3n-7 (nN*), 数列bn满足 b1= ,bn-1=27bn(n2且nN*),若a

31、n+logkbn为 常数,则满足条件的k值（） A.唯一存在,且为 B.唯一存在,且为3 C.存在且不唯一 D.不一定存在 荣 蠢 幻 搏 母 戚 偏 辜 愉 胎 注 熏 碟 钳 赵 粳 理 蜂 访 踏 秸 诚 曾 予 澈 壮 杰 字 锡 房 霄 饵 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 解析 依题意, an+logkbn=3n-7+logk( )3n-2 =3n-7+(3n-2)logk =(3+3logk )n-7-2logk , an+logkbn是常数，3+3logk =0, 即logk3=1,k=3. 答案 B 由 规 孕 逞 班 倘 月 傅 筹 策 瓢 祥 胸 值

32、 纺 荷 楷 韧 水 炎 吠 愤 宰 似 吸 葫 研 冷 赏 钥 朋 桔 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 3.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构 成方式如图所示，上层正方体下底面的 四个顶点是下层正方体上底面各边的中点. 已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的 表面积（含最底层正方体的底面面积）超 过39，则该塔形中正方体的个数至少是 （） A.4 B.5 C.6 D.7 阑 彪 顽 霹 滋 茅 脂 曳 哉 链 稻 囚 挑 训 敢 苯 底 很 企 盛 辆 致 翱 窝 揉 俐 镰 茅 水 瞅 跃 趟 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 解析 正方体按

33、从下向上的顺序其棱长构成等比数 列，其棱长分别为：2， ，1， ， ， n层正方体的表面积为 由已知：40-32（ ）n39， 整理得2n32,n5. 答案 C 虏 峙 业 摔 陨 雾 径 遗 稻 扔 搐 摇 嘲 涨 想 超 刃 灶 灸 善 琢 场 踞 屯 横 唾 瘫 饺 晋 笺 换 公 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台 观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保 养费为 元(nN*), 使用它直至报废最合算（ 所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少 ）为止,一共使用了 （ ） A.800天 B.600天 C

34、.1 000天 D.1 200天 杰 格 渐 扮 蚀 畦 镇 善 撂 但 蚕 郎 段 萌 铲 淬 迭 舒 麦 刀 数 招 茸 绿 荐 喉 冬 诧 戈 损 瀑 隋 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 解析 由第n天的维修保养费为 元(nN*)， 可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少 而求得最小值成立时的相应n的值. 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为 当且仅当 时取得最小值，此时n=800. 答案 A 仇 赛 孵 照 仅 璃 砌 胸 挨 嘲 式 啤 灶 尼 方 失 即 篱 窒 荷 帚 梅 她 唤 专 醒 难 搽 悔 裁 扛 荆 数 列 的 综 合 应 用 数 列

35、 的 综 合 应 用 5.2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻 灾.大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校 开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款 10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的 捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前 一天多5元，则截止到第5天（包括第5天）捐款总 数将达到（） A.4 800元B.8 000元 C.9 600元D.11 200元 解析 由题意知，5天共捐款 1010+（102）（10+5）+（1022）（ 15+5）+（1023）（20+5）+（1024）（ 25+5）=8 000（元）. B 姑 温 模 梢 芜 符 芯 践 糯 霜

36、茂 脐 帝 美 瘤 卞 教 翱 给 喧 两 物 将 坐 猾 邪 乒 脓 淆 阁 沤 绸 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 6.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数 f(x)=x2-bnx+2n的两个零点，则b10等于（） A.24 B.32 C.48 D.64 解析 依题意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1, 两式相除得 =2,所以a1,a3,a5,成等比数列， a2,a4,a6,成等比数列，而a1=1,a2=2,所以 a10=224=32,a11=125=32. 又因为an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64. D 忍

37、攘 弧 腾 梨 时 梨 陇 上 崩 丑 锭 赠 亩 跳 喇 铬 蛤 蜜 思 看 雾 让 师 谋 攻 虹 捂 辉 谅 梦 油 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 二、填空题 7.已知数列an满足a1=1,a2=-2,an+2=- ,则该数列 前26项的和为 . 解析 由于a1=1,a2=-2,an+2=- ， 所以a3=-1,a4= ,a5=1,a6=-2, 于是an是周期为4的数列， 故S26=6（1-2-1+ ）+1-2=-10. -10 窖 中 馁 泞 戌 蒸 疵 略 禾 逃 嗣 油 低 迄 房 婿 技 锚 蜡 砒 傻 寡 畜 渗 臭 尝 下 消 晌 骏 辟 形 数 列

38、 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数 阵： 按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第 3个数为 . 解析 前n-1行共有正整数1+2+(n-1)个,即 个,因此第n行第3个数是全体正整数中第 +3 个,即为 . 栅 穷 用 但 躁 晕 得 史 演 医 轨 碟 难 馒 挝 预 跨 情 柬 便 吸 楚 陆 压 挟 概 脱 宫 攒 济 猿 缴 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 9.（2009福建）五位同学围成一圈依序循环报 数，规定： 第一位同学首次报出的数为1，第二位

39、同学首次 报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前 两位同学所报出的数之和; 若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手 一次. 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报 到第100个数时，甲同学拍手的总次数为. 域 撑 萧 栅 钳 乒 汰 么 舜 窜 谎 简 乃 亦 冕 姓 赊 簇 甘 瞒 副 献 铸 狸 氮 梳 炽 堵 频 永 焙 坯 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 解析 设第n个同学报出的数为an,则an+an+1=an+2, an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1, an+4=an+3+an+2=2an+3an+1, an

40、+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1). 又an为大于0的整数, an被3整除时，an+4也被3整除； an不被3整除时，an+4也不被3整除. 又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5, an中被3整除的数为a4+4k(kN), 又甲报出的数为a1+5m(mN), 甲报出的数a1+5m被3整除时，存在kN, 使1+5m=4+4k,浸 丧 磅 案 统 联 弯 砸 暴 牌 艾 馒 蔫 饼 骗 峪 沈 果 久 畏 橙 蒸 沪 绅 悸 基 彤 远 赔 鸥 遥 速 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 k= m-3被4整除，设m-3=4p(pZ)，则m=4p+

41、3. 11+5m100,0m19.8, 04p+319.8,- p4.2, p只能取0，1，2，3，4共5个整数， m只能取3，7，11，15，19共5个整数， 甲报出的数只有5次能被3整除. 甲拍了5次手. 答案 5 幌 埋 鸣 哆 技 假 蹲 适 挡 食 漾 沸 帧 赁 醒 晶 塘 顷 情 久 奋 人 呀 产 豹 碘 拘 瘟 贱 游 难 秧 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 三、解答题 10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口 总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出 口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减 少10%. （1）以2010年为第一年

42、，设第n年出口量为an吨， 试求an的表达式； （2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该 矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留 一位小数）参考数据：0.9100.35. 辗 宇 最 崖 薪 按 界 蔬 瘴 茹 苦 痰 歉 螺 芋 亦 响 呢 练 职 洪 姚 恼 罢 欢 牛 迎 粮 胚 瑰 看 鸣 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 解 （1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且 首项a1=a,公比q=1-10%=0.9, an=a0.9n-1. （2）10年出口总量S10= =10a(1-0.910). S1080，10a（1-0.910）80， 即a a

43、12.3. 故2010年最多出口12.3吨. 量 劣 辅 广 氖 论 修 蹋 瑚 巨 筋 陷 亢 茶 追 桅 击 缺 刺 酱 钻 潘 隧 麦 侄 挛 杨 熔 烹 耳 巴 坦 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 11.设数列an的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （nN*）.其中m为常数，m-3,且m0. （1）求证：an是等比数列； （2）若数列an的公比满足q=f(m)且b1=a1,bn= f(bn-1)(nN*,n2),求证： 为等差数列,并求bn. 证证明 （1）由（3-m）Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式

44、相减，得(3+m)an+1=2man (m-3), m是常数，且m-3，m0， 势 俭 庇 噪 钱 恃 伎 种 胁 需 霞 竿 件 煽 寄 费 春 霞 米 讶 坚 逾 订 嫉 沿 殿 墅 门 否 匹 幼 么 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 故 是不为0的常数，an是等比数列. （2）由b1=a1=1,q=f(m)= ,nN*且n2, bn= f(bn-1)= 得bnbn-1+3bn=3bn-1， 是以1为首项， 为公差的等差数列， 寨 溃 胚 撤 九 联 啃 级 嗜 勉 鼓 旬 掀 窜 瓣 喷 封 巍 嘶 吮 孽 禄 拍 纵 爬 客 抽 种 己 巩 扑 缸 数 列 的

45、综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 12.一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包 括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前 面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该 站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出 发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak (k=1,2,3,n). 试求：（1）a1,a2,a3; （2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数多少 个？ （3）求数列ak的前k项和Sk. 意 逾 尉 排 涂 妨 灾 惹 郎 翅 喀 嗜 捅 倘 庇 颧 唆 里 媒 缘 晓 惕 芹 叔 暑 铜 接 缝 蓖 肿 痊 酱 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用

46、 解 （1）由题意得a1=n-1, a2=(n-1)+(n-2)-1=2n-4, a3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2=3n-9. （2）在第k站出发时，放上的邮袋共： (n-1)+(n-2)+(n-k)个， 而从第二站起，每站放下的邮袋共： 1+2+3+(k-1)个， 故ak=(n-1)+(n-2)+(n-k)-1+2+(k-1)=kn - k(k+1)- k(k-1) =kn-k2 (k=1,2,n), 态 剩 蛾 摘 捏 悠 锦 勋 狞 味 形 坍 疼 孝 搅 冗 市 菜 州 求 榆 忍 申 颅 神 草 精 蓝 酪 加 昨 伟 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用 即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数 kn-k2（k=1，2，n）个. （3）ak=kn-k2， Sk=（n+2n+kn）-（12+22+k2） = k（n+kn）- 返回 欢 皖 哑 扼 矿 奖 腋 镊 哆 课 畸 荚 达 比 讥 狱 宜 非 陛 欢 瞬 何 戏 警 逼 烤 呕 泳 沾 獭 惧 屏 数 列 的 综 合 应 用 数 列 的 综 合 应 用