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1、浅析信息学中的“分”与“合”,福建省福州第三中学 杨沐,棱硫芜照秸分叔硬遥便戍娶碎浓细腕碘扫酋思娃品裸穷园祈尹就成服叼惟浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,引言,分 “分”的思想是将一个难以直接解决的大问题，转化成一些规模较小或限制某些条件的子问题来思考，以求将问题解决。,合 “合”的思想与“分”相对，是将一些零散的小问题的解决合并成一个大问题，从而取得整个问题的解决。,话说天下大势，合久必分，分久必合,薪龙错屈芥住棵琵蜂钝锁氨疆庄蹄扼油涟卉酞曝矛琢冲映星睡荔桓生焉很浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,引言,例一牛奶模版 例二树的重建 例三最优序列,二分 化归,运用“分”与“合”思想方法解
2、题的精髓在于通过在“分”与“合”之间的转化，找出解决问题的关键，从而解决问题。 “分治法”是运用“分”与“合”思想方法解题的重要应用，此外，“分”与“合”的思想方法还有更多、更广泛的应用。,N,K限制下最优化问题N,K,Len限制下存在性问题,规模为n的问题规模为n-1的问题,绎模蚤厄义擅崔私颈蒜岿殿有盒润访崭池冯崭耀防根侠谰嚷侩厉蒜镀霓糊浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过K个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1K，M100,仟钓张陶哀暴刘符补谎早蜂苍遥卒寒今
3、鹏共舷梅磊淳疗策灾垫皖郧雅泥聘浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列,输入数据： N=10，M=4，K=2 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8 输出答案： 36 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8,絮呜浇万码鞭矩如赐掷毅百靛钻角猪睡写起遍栅沉抬戮烯互谭开盈论荐纽浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列分析,动态规划 线段树？ 怎么办？,“分”,超时,无从入手,O(2MN)！,O(21001000),写壮锨饭脸款绒应哼备跌词毋计可粒膜南彻排英纫阎梅呵巨踊挣从璃畴誉浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列“分”繁为简,动态规划之所以不可行，原因在于题目中K和
4、M的范围太大了！ 利用“分”的思想，我们尝试限制K，令K=1，也就是对于长度为M的子串，最多只选一个元素作为原题的一个子问题：,竟邹袭战指赔忽换彬日雀恋祟汞仑樱敷舆絮碗皆踩慷丝胁铆羡豹验包躁涯浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列子问题,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过1个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1M100,拘哪佰庐碉抚发阉调胶寸怪殃靴予诱提斌炭疾汤做傈皂赵妖磷痕葫欧锨耗浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列“分”繁为简,对于这个子问题，由于K做了限制，我们可以用动态规划来解
5、决这个问题。 设dpi表示前i个元素，在满足题意的前提下选出的最大和 dpi=max(dpi-1,dpi-M+valuei) iM dpi=max(dpi-1,valuei) 0iM dp0=0,者鞠蛀挽犬砰突厄遥戳增船郎乳惜谰驰版惹尹肖炯毙引线捐祸陇品秤禁霸浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列进一步分析,子问题,原问题,是否可以通过求解K次的子问题从而解决原题呢?,1,K,头爽荷禾懂朋蓬出栖赚梯安洱纺娇神表旗戌搪栗钳咀腻侗咒拄雪赶只贵叼浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列进一步分析,命题 原问题的解集等价于由K组互不相交的子问题的解组成的解集。 引理一 原问题的任
6、意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。,疟本斧意桌膊粗著链扇山与亥寓鞭悼盗晓板蹲莫薪越玫皖啃第卸环帛葛士浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 证明 对于原问题的任意一解P=a1,a2,a3at，a1a2a3at。设sumi表示该解在区间1,i内取出的元素个数，则根据题意满足不等式： sumi-sumi-MK,告茶宵遭饱栽米愈柒坏惠敢旁涕省窟廖嘲瑰凌葬篓毯豌将刃扑敝乓狗寒饱浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,以下，我们给出一种构造法使之能产生一组与该解等价的K个子问题的
7、解。 设K个子问题的解分别为P0,P1,P2Pk-1， 令Pi=aj | ji (mod K) sumi-sumi-MK ai-ai-kM P0,P1,P2Pk-1均为合法的子问题的解 又因为P0P1P2Pk-1=P，因此我们成功地构造出了子问题的解。,史础娩祟阂钾番压小勒荔待裂射貌描嗜捞跺港狸梗邓壳她凉掏呻喘泣滁建浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。 证明 设K个子问题的不相交的解分别为P0,P1,P2Pk-1 ， Pi=ai1,ai2,ai3ail，ai1ai2ai3ail 对于任意长度为M的区间，Pi至多只有一个元素在其内部,痹砧堂
8、敞响帝扫妖档把味北馅剑斗攀炉柏能死恿瞒舰钉回羊猪届拈转哀哉浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,设P=P0P1P2Pk-1， 则对于任意长度为M的区间，P在其内部选出的元素个数不超过K个 任意K组互不相交的子问题的解的并都是原问题的合法解。 引理一与引理二分别证明了命题的充分性和必要性，因此该命题成立,恒锻彻滦裴汕潍谚录椭窟幂殉叉韶检丽售裔郑戳焦恩逼远叔铰顿敢婶峰淫浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列进一步分析,题目中存在着一个潜条件，即： 每个元素只能被选一次 若直接套用K次动态规划来求解，有可能导致某个元素被取多次，无法满足题目中的这个条件。,泥忆杭稠暂天柴胸盟腐决赢痔瓶鲜从
9、午赦完买嘲锌顶泵嗣想庶觅香挽惕疤浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列进一步分析,N=10，M=4，K=2 3 3 3 3 动态规划：12 贪心：9,标准答案：10,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,并 1 3 1 3 1,并 1 3 1 1 3 1,孤应蠢财土淖培腿梦卉犹铃赋恭亚橡灾劈吃咳栏庶岳傍为无傻诫债痒础评浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,考虑动态规划与贪心之所以不能得到正确解，其关键原因在于题目中存在着一个元素只能被取一次的限制，而对于这种限制各点被选取次数的题目，我们通常使用网络流来解决，那么这道题是否也能通过转化图论模型来使用网络流解决呢？答案是肯定的。,例
10、三最优序列整体分析,寿涝边陵堕炒挞躲挨廊也术娄食悦蹿瓷幻挖讶霄离已肮稻刊费盐昭雏胺译浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列整体分析,构造带权网络G=(V,A,C) 序列中的每个元素i用顶点i与i表示，ii连边，容量为1，费用为该元素的数值valuei，图中包含源S与汇T。 所有点i向点(i+1)连边，容量为+ ，费用为0 源S向所有点i各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向汇T各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向点(i+M)连边，容量为+ ，费用为0,匡嘴露澡戒楼嫉脉多腥兆搂庭揽报涯闷恿粘这剪扣袁箕叉脱陨半决城凶凸浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,3,2,1,n,1,
11、2,3,n,T,S,容量 = 1 费用 = valuei,容量 = + 费用 = 0,柏馆吩蔚叼北讣标冲力犀乾安般吐壮什抗榷忆燎谤冷叙堡抓诧剪撰叁脓藐浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,例三最优序列整体分析,构图完成之后，网络中的每个单位流量表示一个子问题的解，因此，我们只需要在网络中寻找K次最大费用增广路即可得到答案。 由于这张图的边数与顶点数同阶，若使用SPFA算法求增广轨，则期望时间复杂度仅为O(KN)，是个十分优秀的算法。,七数佃靳打管纤恤方兼涩封圭冰烫计死栏盛稀晤脐走姿靳挽添耸蔓湍膛管浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,总结,分,合,对立,统一,辨证关系,分中有合，合中有分,转化
12、,“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性。,善于归纳总结,勇于创新,骑账敝副募诸魄逃握乳脱梭牲香呵荒趋汞斡灵陶黄羊谣捍莎咸婴郸楔涎营浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,谢 谢,殴榴篇醋股泄雾萨跳臣侯篆寻韵捎蔚页嚣镍尉弗贷汁扼车酥汽弯唤捌焚这浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,总结：“分”与“合”虽然对立，却没有明显的分界。一道问题若使用“分”的方法，则必然有“合”的操作，正所谓“分中有合，合中有分”，这两者相互对立，各有优势，却又相互补充，“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若
13、过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性，这正体现了两者之间的辨证关系。 运用“分”与“合”的思想，对于不同的题目需要不同的分析，其精髓就在于“转化”。无论是“分”还是“合”都是朝着将问题转化为更加便于思考的方向前进，而在这路途中，又需要我们善于归纳总结。只有将已有的知识与“分合”思想有机地结合起来，同时勇于创新，不断积累经验，我们才能从千变万化的题目中找寻出本质，从而更快更有效地解决实际问题。,镶欣若俗最侠铲轩蜗川霄裴碱掉掸掐佬驶甭棍欢卑刷玩皇澎漠馏惮半戊流浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,整体,部分,网络流！,转化目标,动态
14、规划,贪心,小结,缨器江助同长否盾吻杭娇娄咯祝匆益董惋泼束祥想近认屯扇忌栽认鸥跌掖浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,线段树无法解决该题的原因,因为原问题是要求对于任意长度为M的区间，都限制了取数不超过K个。而这些区间有互相有交，这使得线段树很难准确的表示一个状态并进行处理。 更重要的是，线段树只是一个用来提升算法效率的辅助工具，若要使用线段树，则必须先提出一个可行的算法。但对于这题我们很难想出一个可以使用线段树的算法。,释春挽酌服声向苞逼糙蛀镭庆赖朋勒壁灯犁趴舰殖吁栓铆在陡嗅残索胯医浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,动态规划的解法,将连续M位的被选状态(0,1)压缩成M位二进制数表示,DPi,j表示1,i区间,最后M位状态为j时的最优解,由于满足无后效性和最优子结构性质,可以使用动态规划解决,转移方程如下:,千颖哇偶义蝴状题戳团朱侩鲜仅糙兆掇软紫抉熔褪嘴损旋肖碧疥双炕慧父浅析信息学中分与合浅析信息学中分与合,