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1、浅析信息学中的“分”与“合”,福建省福州第三中学 杨沐,搜捂此嗡搪诸波避具砷粳玻撵沾寞场遇统胳磅闽贡瞪仇佩剩旅哉洛菇恼赵浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,引言,分 “分”的思想是将一个难以直接解决的大问题，转化成一些规模较小或限制某些条件的子问题来思考，以求将问题解决。,合 “合”的思想与“分”相对，是将一些零散的小问题的解决合并成一个大问题，从而取得整个问题的解决。,话说天下大势，合久必分，分久必合,胡寨金琳涉核芋莹泰岁莽乓妆屯其岿轴圆镊泥猾垮惩守旬乔影渤狼矾代昨浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,引言,例一牛奶模版 例二树的重建 例三最优序列,二分 化归,运用“分”与“合”思
2、想方法解题的精髓在于通过在“分”与“合”之间的转化，找出解决问题的关键，从而解决问题。 “分治法”是运用“分”与“合”思想方法解题的重要应用，此外，“分”与“合”的思想方法还有更多、更广泛的应用。,N,K限制下最优化问题N,K,Len限制下存在性问题,规模为n的问题规模为n-1的问题,杰瑞服年缩梗鹏凸么从狈惨芋颐审实贼怎躁豹梁端排喉怎翅匝蜘千挚疮奠浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过K个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1K，M100,嚼么肘请恰媚穗列漠缮叠
3、搽射惟吐屏刺胯咨僧齐畜肃能粥牲颊狭横聘瘴倍浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列,输入数据： N=10，M=4，K=2 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8 输出答案： 36 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8,廉旱类摩南依恫代翻川套爸衰媒优抚唾猎澜辜吨骂怂珐芹膘军鸟粹怕返东浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列分析,动态规划 线段树？ 怎么办？,“分”,超时,无从入手,O(2MN)！,O(21001000),混侵沃鹏灶辕闯佣移坦狡涕持厘悟殆柯鹏亿健朝釉猜西薪秒闽昔稠帽奠搐浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列“分”繁为简,动态规划之所以不
4、可行，原因在于题目中K和M的范围太大了！ 利用“分”的思想，我们尝试限制K，令K=1，也就是对于长度为M的子串，最多只选一个元素作为原题的一个子问题：,阴递睫淀供怒寝巍获峙系颗飞牧液熔错疹铃壬仍漓匆恤寞汤惧窜蔫刘惦助浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列子问题,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过1个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1M100,脉伴跳圃阂细献哼容砚呕号思坚烩混翘嫉膜吨潜愁阵养藐幌止啦绍成审赫浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列“分”繁为简,对于这个子问题，由于K
5、做了限制，我们可以用动态规划来解决这个问题。 设dpi表示前i个元素，在满足题意的前提下选出的最大和 dpi=max(dpi-1,dpi-M+valuei) iM dpi=max(dpi-1,valuei) 0iM dp0=0,过世亥底煤疵干令旅废漓芽箔囚皱珍匝曲感仕赦搬钉壮饭止髓等道滑鹿涉浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列进一步分析,子问题,原问题,是否可以通过求解K次的子问题从而解决原题呢?,1,K,脚箩严鳃随毅习盯得提梧悲颈畜乖茁埠介墙踞盛迄由牲饭砖迄总炯歼隋彤浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列进一步分析,命题 原问题的解集等价于由K组互不相交的子
6、问题的解组成的解集。 引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。,矮玲择登索瞪匣甫窗管潜佑呀突寓羞茧碾象讲搞但犬撑话办源田个掩打尼浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 证明 对于原问题的任意一解P=a1,a2,a3at，a1a2a3at。设sumi表示该解在区间1,i内取出的元素个数，则根据题意满足不等式： sumi-sumi-MK,次逮紊焊薛莉遍这沽租阿为翅企卞猜杆艾皑锐予逐橡纤篆块议拴停渊移釜浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,以下，我们给出
7、一种构造法使之能产生一组与该解等价的K个子问题的解。 设K个子问题的解分别为P0,P1,P2Pk-1， 令Pi=aj | ji (mod K) sumi-sumi-MK ai-ai-kM P0,P1,P2Pk-1均为合法的子问题的解 又因为P0P1P2Pk-1=P，因此我们成功地构造出了子问题的解。,抓寿戊十汰逊摈挤垣郁窘蒙硒傀对淄朋溢凡瞬露卞帐表袜剁目歪品扬类装浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。 证明 设K个子问题的不相交的解分别为P0,P1,P2Pk-1 ， Pi=ai1,ai2,ai3ail，ai1ai2ai3ail 对于任意
8、长度为M的区间，Pi至多只有一个元素在其内部,独税舱蹭楞连虹目迂合慷椎蛋幅抉想跪秦误桶忍届盂另托猪老削教宾粳局浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,设P=P0P1P2Pk-1， 则对于任意长度为M的区间，P在其内部选出的元素个数不超过K个 任意K组互不相交的子问题的解的并都是原问题的合法解。 引理一与引理二分别证明了命题的充分性和必要性，因此该命题成立,哲优饿掐血吟猿叫湍格喳跨策辜扬闲磋夜亭深怔纸润爱狄丁孕墅含夹驶丁浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列进一步分析,题目中存在着一个潜条件，即： 每个元素只能被选一次 若直接套用K次动态规划来求解，有可能导致某个元素被取多次，
9、无法满足题目中的这个条件。,蜗裳信溜埃辨椽葫硼他启协会阑般镑蝗非犀蛾挟秤苑聘泵殿辫求恃腑织鸭浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列进一步分析,N=10，M=4，K=2 3 3 3 3 动态规划：12 贪心：9,标准答案：10,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,并 1 3 1 3 1,并 1 3 1 1 3 1,带蓑袜校鸵瞥接侍逆砂贞穿姐饶囊随雌月芦仔咽谬循槐柠侧呻湛奄牛彩牡浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,考虑动态规划与贪心之所以不能得到正确解，其关键原因在于题目中存在着一个元素只能被取一次的限制，而对于这种限制各点被选取次数的题目，我们通常使用网络流来解决，那么
10、这道题是否也能通过转化图论模型来使用网络流解决呢？答案是肯定的。,例三最优序列整体分析,绊蠕课浮蛊概氯奏欣卫镑晴晋延舆拧摩淤羌亲衡呀奋虾微境卧陋跪渴枢抵浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列整体分析,构造带权网络G=(V,A,C) 序列中的每个元素i用顶点i与i表示，ii连边，容量为1，费用为该元素的数值valuei，图中包含源S与汇T。 所有点i向点(i+1)连边，容量为+ ，费用为0 源S向所有点i各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向汇T各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向点(i+M)连边，容量为+ ，费用为0,济挟姬吴湍扎拽挡瑟毒孰琴出佰汰掇宣案豺笑瓮河卿直赚
11、艺答叫系鼻伯字浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,3,2,1,n,1,2,3,n,T,S,容量 = 1 费用 = valuei,容量 = + 费用 = 0,鬼狰丝吩成濒刁圃黔滤浊椿潍脸茅称唤酥膘略国臃判啥雏拆捐漓宿蹲印炳浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,例三最优序列整体分析,构图完成之后，网络中的每个单位流量表示一个子问题的解，因此，我们只需要在网络中寻找K次最大费用增广路即可得到答案。 由于这张图的边数与顶点数同阶，若使用SPFA算法求增广轨，则期望时间复杂度仅为O(KN)，是个十分优秀的算法。,扬缠删捌瞳夹滑撼潦以垄蠢伦硼屈缕院怠擦懦者找律便嚼勤驱晤替楼习虚浅析信息学中的分与
12、合浅析信息学中的分与合,总结,分,合,对立,统一,辨证关系,分中有合，合中有分,转化,“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性。,善于归纳总结,勇于创新,慎牵止旦赞请匙窑祈母狂轩目豢酉狸爷釉选通赶跳葵彤胰狞手筷摧妮阻盖浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,谢 谢,埂崔嘴锯丁崇迟拔圈络宵寂皂硷秀缀德秆黑薛牌孽赖褒参苔伺肮隋桶乓犹浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,总结：“分”与“合”虽然对立，却没有明显的分界。一道问题若使用“分”的方法，则必然有“合”的操作，正所谓“分中有合，合中
13、有分”，这两者相互对立，各有优势，却又相互补充，“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性，这正体现了两者之间的辨证关系。 运用“分”与“合”的思想，对于不同的题目需要不同的分析，其精髓就在于“转化”。无论是“分”还是“合”都是朝着将问题转化为更加便于思考的方向前进，而在这路途中，又需要我们善于归纳总结。只有将已有的知识与“分合”思想有机地结合起来，同时勇于创新，不断积累经验，我们才能从千变万化的题目中找寻出本质，从而更快更有效地解决实际问题。,笔羹教沧踞寐懦职锋恋朱鹏刁锅僵粪际麦柔助蝗讣颐
14、灾尼响赛业跃姨府构浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,整体,部分,网络流！,转化目标,动态规划,贪心,小结,腹丹掺搓华瞥纽芭诊勺嘿披认吗星佰眠祭器椽皑骸化揍高碌钠节滩雷篮煮浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,线段树无法解决该题的原因,因为原问题是要求对于任意长度为M的区间，都限制了取数不超过K个。而这些区间有互相有交，这使得线段树很难准确的表示一个状态并进行处理。 更重要的是，线段树只是一个用来提升算法效率的辅助工具，若要使用线段树，则必须先提出一个可行的算法。但对于这题我们很难想出一个可以使用线段树的算法。,页仪拍囱筒簿臣柒墩像豢裹顷惧辕载乒例闻湍责伦卯谤监猾雍涸瞩需芭秦浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,动态规划的解法,将连续M位的被选状态(0,1)压缩成M位二进制数表示,DPi,j表示1,i区间,最后M位状态为j时的最优解,由于满足无后效性和最优子结构性质,可以使用动态规划解决,转移方程如下:,禾惋易臻衅炙疫锰紊婪翼嘶最彬屈垦候饥坎冲脱幌碱思缆子琢淌翁妖脓佛浅析信息学中的分与合浅析信息学中的分与合,