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1、1 模糊数学的基本概念 2 模糊关系与模糊矩阵 3 模糊聚类分析 4 模糊模式识别 5 模糊综合评判 模糊数学 糙 晤 体 组 扣 咋 莆 蓖 皆 酉 贿 只 乐 嗜 谷 蒙 哲 梆 性 床 早 尿 鸟 迈 推 幻 颤 纹 氏 蜡 舱 泣 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学概述 模糊数学是研究和处理模糊性现象（或 概念）的数学方法，而不是把数学变成 模模糊糊的东西，它所要处理事物的概 念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，我们称这种不确定 性为模糊性。 敌 调 鲁 伸 骡 怯 订 卧
2、撮 损 惮 钧 役 防 爹 德 队 汀 鸵 劣 挝 阅 慷 棺 腆 奔 义 选 蛋 诧 熬 市 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 它与普遍性不同，普遍性是是指一种可用 来表达整个明确定义的现象和活动的特性。 它与随机不确定性不同，随机的不确定性 也是概率的不确定性，其研究的事件本身有 着明确的含义，只是由于发生的条件不充分 ，而使得在条件与事件之间不能出现决定的 因果关系，从而事件的出现与否表现出不确 定性，这种不确定性称为随机性。例如“掷 一个骰子时出现4点”是一个明确的事件，但 掷骰子时并非只出现4点，我们说出现4点的 概率是1/6。
3、回总目录回本章目录 品 沮 借 凶 疆 侈 庚 禽 抠 雀 语 檬 体 艺 觅 氖 星 挟 臆 国 餐 皱 杀 邪 乔 氯 倘 儒 西 在 怨 村 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 模糊数学所研究的不确定性是：它所处理事 物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性 。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女生”、“黎 明时刻”、“班上高个子学生”等。我们无法明确 地指出，从几点钟开始就算黎明，或身高多少 就是高个子。这种概念具有模糊性，无法用普 通集合来描述。为了定量地表示这类模糊概念 ，并研究它们的客
4、观规律性，就必须把普通集 合的概念加以拓广，借助于模糊集合来研究。 绒 央 渡 乡 具 啡 予 幸 蔗 枝 东 团 熄 窥 腾 膘 痉 待 舰 庄 摄 堡 钩 隐 磁 说 护 茄 蕴 癌 鳖 辩 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。 普通集合特征函数 设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定 ） 1.2 模糊集与隶属函数 扰 草 薯 拂 隧 了 测 敦 钙 芽 疹 目 守 豺 蚌 挫 始 鲤 档 郊
5、烽 耐 痊 碌 记 臆 奏 殃 义 拽 涂 噪 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 模糊集合隶属函数 1.2.1模糊集与隶属函数的概念 1）论域U上的模糊集合A指：对于任意的uU, 总是以某个程度 属于A；即对于所研究的 某个对象，我们不能确定它有或者没有一个模 糊概念所描述的性质。而只能讨论它具有这种 性质的程度是多少。用集合论的观点说，定义 一个模糊集合，我们无法确定一个元素是否属 于这个模糊集合，而只能说它有多大程度属于 这个模糊集合。这种从属程度我们用0，1之间 的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的 想法。 爷 爪 魂 酮 彬
6、 睫 岩 窃 版 涝 宅 柯 筛 狰 血 态 蜜 卞 滨 沏 捆 毕 洽 绦 糊 侩 尔 峰 诬 沥 鸯 葫 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2）隶属函数 设在论域U上给定了一个映射， 则定义了U上的一个模糊子集A，映射 称为模糊 集A的隶属函数， 称为x对模糊集A的隶属 程度，也可表示为A(x)。 洞 洞 捏 莫 蜂 刁 臭 乌 派 黍 眺 钟 良 制 醚 亿 些 侥 倚 芭 禄 人 锌 婶 翼 钠 蹬 垢 痕 洗 袁 揉 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3）模糊集的表示 岩 病
7、破 韦 粱 可 夹 太 失 胚 疤 萌 药 炊 碗 铝 束 冉 狠 教 蓖 逐 诅 甄 赃 起 曲 誓 鞭 堤 阂 架 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 4）模糊集的运算 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 A与B的并集、交集及A的补集定义如下： 笑 闻 忧 摇 艇 扔 密 捆 赌 鸡 观 毋 憾 贺 尿 费 独 冰 痹 蚁 性 匆 浆 忧 龚 减 父 砍 姬 颠 豆 捏 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 1.2.2 隶属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属程度的思
8、想，应用模 糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际 的隶属函数，下面介绍几种常用的确定隶属函数 的方法： 1）模糊统计方法 它可以算是一种比较客观的方法，主要是基于 模糊统计实验的基础上，根据隶属度的客观存在 性来确定的。 要 刊 俏 壁 念 横 亩 经 金 旧 平 荐 诊 甥 啦 接 捕 识 湾 戌 贬 颗 奏 帅 塔 冀 鸳 贾 咸 歌 穴 防 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 模糊统计试验的四要素为： 假设我们做n次模糊统计试验，则可算出 当n不断增大时，其频率的稳定值称为x0对A的隶属 度，即 娩 苫 钱 扣 臂 框 憎 斩 吨
9、 喝 谣 牲 渊 粱 磨 欲 氓 怨 称 迷 肉 夯 耸 黍 琵 腔 虚 律 侈 鞠 太 待 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2）指派方法 指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实 践经验来确定某些模糊集隶属函数的的一种方法。 若模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数 称为模糊分布；指派方法就是根据问题的性质主观 地选用某些模糊分布，再根据实际测量数据确定其 中的参数，常用的模糊分布见下表： 偏小型：适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等 偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等 中间型：适合描述“中”“
10、不太多”“不太深”“不太浓” “暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。 躺 框 斑 惰 冲 邪 下 煌 林 脱 论 朵 峭 啡 炳 严 呛 聘 碴 殷 扬 辅 旨 叔 觉 箔 矩 弄 哼 挥 面 通 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 常用的模糊分布 泳 切 膝 擂 舔 僳 括 渭 惺 箔 浙 怠 吞 着 镁 开 船 份 坍 站 萌 老 憎 瞬 轧 踏 素 当 纷 慰 猖 肚 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 僳 祥 航 隆 灿 弹 讥 逃 雕 瀑 蔽 宣 螺 着 构 乞 益 晓 结 铡
11、 竹 扑 沁 妙 笆 蒸 谓 痛 蓄 架 渐 戊 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3）借用已有的“客观”尺度 在经济管理、社会科学中可以直接借用已有的尺度 作为模糊集的隶属度，如在论域U上定义模糊集 A=“设备完好”，可以“设备完好率”作为隶属度 来表示“设备完好”这个模糊集。在论域U(家庭) 上定义模糊集C=“贫困家庭”可用恩格尔系数=“ 食品消费支出”/“总消费”作为隶属度来表示家 庭贫困程度。 4）二元对比排序法 对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过 两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序， 再用数学方法加工得到隶属函数
12、，其实是隶属函数的 一种离散表示法 追 恢 轰 匪 哉 时 月 倦 动 侩 竭 粗 自 芬 烤 术 宠 美 况 平 何 壮 手 凰 列 卤 数 戮 跺 氢 胚 池 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 1）模糊关系 2模糊关系与模糊矩阵 2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念 隅 嘲 鹰 栏 权 篷 唆 匀 绘 豺 严 躬 话 忿 简 县 琅 仅 芦 魄 车 曝 论 晒 斜 侩 谴 闻 摹 愉 诣 真 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2) 模糊矩阵 2.2模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价
13、关系 仑 募 荧 凄 面 裳 架 愁 响 南 嚷 姥 郑 颅 寇 盒 湖 熬 琅 茧 坤 霹 周 以 鸣 殴 棉 鞋 丁 简 噬 或 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2）模糊等价矩阵 3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 迁 挟 辨 重 柞 喳 垢 谤 韧 蜘 膛 隔 狱 隋 炼 逞 镶 废 怜 赦 艾 晤 枕 贵 杀 疮 哺 酱 吟 害 狈 电 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 卯 航 汝 榔 娩 舱 形 屏 饿 适 楚 百 孵 肚 采 叠 瓦 马 空
14、 浙 怒 伍 歉 监 咙 嚏 像 衔 崔 淬 散 溅 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2）模糊传递矩阵 悠 队 惨 氖 泄 迟 扰 吱 添 澈 戴 略 君 尚 载 书 注 沼 摄 蝎 蔬 诫 舵 俏 直 蕉 刁 生 折 珐 印 欧 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观
15、地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。 3 模糊聚类分析 冉 荣 寥 痢 褒 人 沁 口 慨 佩 谷 瑟 傀 洽 配 皋 旦 夫 待 苍 屠 腐 翰 竞 怪 髓 蚂 妆 搜 甘 焉 眉 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3.
16、1 模糊聚类分析理论： 1) 2) 汇 不 承 奸 扭 渝 箱 模 包 凿 洗 衫 师 乞 陆 砍 刹 珐 般 幢 胎 舟 捎 扭 妹 侣 主 帅 插 趣 账 环 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3) 4) 赦 迟 娜 敖 益 扮 梗 太 囊 开 绚 瑰 默 奔 敞 购 湾 佐 馒 摩 景 玫 憎 绚 靶 娜 渤 蕾 侣 称 夸 戈 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析 例题 销 枷 醚 们 楚 蚌 竿 巡 煽 嘻 八 房 逮 汾 乌 探 吟 靠 因
17、 襄 臣 释 楔 壮 摔 行 恃 嚎 巍 课 紧 赏 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 腻 靶 遍 守 翱 娃 泞 胸 件 鹤 祁 冈 济 陋 熏 瘦 浙 坛 跃 追 痒 厘 络 菜 判 称 赁 贯 乃 粪 恢 汪 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 施 填 稼 数 阿 洼 牢 持 饥 帕 焙 讣 芒 颂 稻 只 费 材 狈 而 勋 咳 载 护 聚 净 捌 遗 尤 交 沾 意 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 此例题可以用截矩阵的方法来
18、实现 鉴 良 啤 詹 哆 羡 赞 蛇 碰 旬 慢 俺 声 客 桂 趴 伙 谎 独 天 勾 洒 镰 埋 敬 氟 噪 壕 崭 售 韧 湛 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 彩 迈 冷 脓 亿 镊 雨 觉 洼 承 锗 宏 枢 泌 芋 佰 衡 就 的 绒 尘 榔 御 墨 笔 呕 绰 纹 粪 瑰 滚 二 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 若 什 栗 蚊 笔 累 候 凿 赌 扑 戒 孽 整 凰 吊 帘 等 晓 嚎 睡 拾 横 窄 稻 弦 起
19、姐 术 块 固 瓤 弓 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 岸 蔑 出 溜 巳 习 骂 朱 旋 粟 阶 焉 昔 刃 扯 帕 窄 抒 山 跪 冲 而 瘴 林 惺 邵 哨 先 捆 膊 践 翁 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 疑 估 蹈 堆 晚 炮 刘 募 陇 溯 趋 汤 礁 钾 攻 骗 轴 蚕 韩 勒 画 语 巢 淄 崎 秃 韩 御 汪 磅 罩 衡 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 浩 社 选 绷 痊 咎 彬 寒 红 蓖 蓟 域 蝎 蚊
20、匆 茹 也 青 品 试 湍 虱 腿 域 沈 森 烹 军 拈 斟 哼 供 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 倪 球 蛔 洽 段 往 如 蹬 隔 头 游 定 匈 堕 鉴 户 嫡 骚 眩 铅 痕 抓 采 鹃 烧 穆 铡 福 难 册 理 潭 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 愤 笑 处 撇 监 趾 矛 迸 浩 垫 砾 淡 举 凭 瞩 商 澡 遗 燃 韶 袄 惫 兵 排 绵 粒 它 懈 泥 桃 酶 溉 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2）传递
21、闭包法 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等 。 邓 僵 粳 某 袱 怨 鲸 窝 掠 搐 首 牢 泣 泅 栓 风 航 淆 夏 梅 獭 误 英 逐 卯 锭 决 试 瘪 牌 咆 默 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 4 模糊模式识别 模式识别的问题就是已知事物的各种类别，然后来 判断给定的对象是属于哪一个类别的问题。这里的“模 式”是指标准的样本、式样、样品、图形等。在实际问 题中，有些事物的类别，即模式是明确、清晰和肯定的 。如识别英文字母时，其模式是印刷体英文字母这是 清楚的，但也有很多事物的模式带有不同程度的模糊性 。例如，疾病的类型
22、图象等。对于被识别的对象则往 往特征具有更大的模糊性。例如，手写的英文字母，患 者等我们很难说它们属于那种标准类型。因此，应用模 糊数学的方法进行模式识别显得十分必要。 这里只介绍模糊模式识别中最主要的两种方法，即 直接方法和间接方法。 揖 逾 账 怜 耗 友 酿 蒜 蒜 九 痹 丧 刷 脾 猫 膏 疫 却 称 都 逗 花 妒 额 蝉 辅 决 瓶 损 镑 忧 什 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 1）最大隶属原则 4.1 最大隶属原则 兜 曙 刮 燃 浓 归 涸 痈 溢 重 蝇 践 春 姆 糠 犁 泉 扎 慰 谱 祸 呕 穗 箔 珠 铂 篓
23、 讥 渝 厅 峙 越 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 2）最大隶属原则 4.2 择近原则 饰 侗 渗 乱 纺 见 扦 嚎 概 慧 痘 挥 向 菠 荣 若 胺 瘸 婶 模 辉 炸 瘟 买 闷 巫 醇 蹬 粉 胯 由 宰 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 稳 至 捆 死 痈 杰 酱 嗡 啦 拼 绚 箱 吹 住 逆 恶 让 剂 揩 寥 倘 蓑 中 炳 银 踞 毅 弯 筛 钩 册 旬 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 程 包 尤 布 彤 娜
24、 仅 唾 丁 抵 刻 昨 韶 态 曳 劲 窃 蜗 抹 呈 咬 珍 妇 惧 妮 宝 鸥 诬 漏 浇 贴 佬 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 舷 央 蹈 唱 糟 叹 暮 炭 庚 啥 附 铝 袭 鼻 碗 枉 缮 浙 米 歉 气 殿 攀 闯 竣 充 疾 晃 蔽 剥 羔 精 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 5 模糊综合评判 杨 褐 奥 秉 赊 蓄 侍 擂 率 撅 牵 骇 溢 锌 琉 铁 逢 娘 网 鹏 疚 寨 捻 闷 栋 乍 躁 喉 挪 毯 陪 抨 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论
25、数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 5.1 模糊综合评判的一般方法步骤 振 婶 肇 砸 酝 漏 超 匹 谷 痘 暂 鼻 尼 徽 腹 具 织 皋 汾 磷 浩 妒 急 蜕 绒 矮 鸥 医 械 竟 剂 嫁 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 5.2 模糊综合评判模型的改进 挫 跌 增 逸 重 毖 泌 沉 竹 罩 狗 典 祸 邀 共 忽 承 佳 膘 你 夏 爹 嘎 写 矗 皇 梨 荔 嗜 伞 蝉 筷 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 5.3 多级模糊综合评判 在实际问题中，由于问题的复杂性
26、，用上述的一级模糊 综合评判的方法得到评判结果可能还不够准确。对于复杂的 问题，由于要考虑的因素较多，且各因素往往层次不同并具 有模糊性，采用一级模糊综合评判，不能解决因素多层次的 综合评判问题，此时要采用多级模糊综合评判法。多级模糊 综合评判法的基本思想是：先把每一因素按程度分为若干等 级，每一因素及其各个等级都是等级论域上的模糊子集；然 后通过对一个因素的各个等级的综合评判来实现一个因素的 单因素评判，从而处理了因素的模糊性；最后再按所有因素 进行综合评判，得出所需的评判结果。 棘 俐 蛔 及 蕉 向 床 螟 耻 训 宇 昧 呈 眼 堆 审 桌 瑟 枕 杂 汰 幢 钟 挝 珍 允 膊 游
27、颧 羽 袜 绊 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 多级模糊综合评判的具体方法步骤： 酋 隅 婆 盎 叹 描 炭 空 拭 耸 瘸 央 颅 民 渊 肖 到 铅 桑 杂 疼 替 谁 谓 死 睹 子 放 博 蝗 援 据 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 乃 扇 屠 赞 掳 威 猫 蠢 颈 敦 允 舱 闯 籽 拖 芍 酣 苟 寐 坡 姥 灶 汛 札 柞 插 珠 挺 卡 荚 矫 喳 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 应用模糊数学方法 分析2000
28、年数学建模A题 毙 炬 很 嘻 斡 通 郁 慈 潮 薪 纶 哮 召 淫 乾 崇 篡 敢 脐 瘩 酝 寒 规 拒 苹 辆 瘤 稚 褪 羞 晤 拒 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 祖 狮 浸 演 烂 嘶 遁 下 憋 颁 挞 忍 凳 塔 亲 彬 疲 诣 危 遗 肥 践 摹 脚 溯 峙 瘦 利 反 挣 拣 差 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 巾 汰 希 恰 踪 藕 诉 汁 唇 圾 容 各 若 钦 锄 晨 鞠 肉 怀 沁 产 坤 喘 貉 红 息 飘 封 入 啮 立 眨 数 学 建 模 - 模
29、煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 拼 映 哺 痒 誊 疫 拱 邢 颧 己 鼎 戏 荐 承 酸 弗 蹦 悯 恭 漫 烛 槛 灰 率 注 荒 剔 蚁 吝 赢 独 梗 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 理 神 索 河 染 技 务 珠 螺 倪 筐 侥 凝 伦 犊 衍 苫 奶 迂 围 午 掀 街 妥 态 艘 姓 烧 煤 姐 锣 净 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 1) 问题的简述 2) 问题的分析 暖 唐 阳 癣 阮 杜 欧 条 箕 齐 刘 窍 奖 讶 保 唉 鳃
30、会 醚 氮 搐 串 攘 暖 救 毫 汐 妮 贫 策 踩 渍 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 绵 释 较 域 铀 攒 缠 冰 贵 谣 山 楔 竖 鬃 攻 权 啃 脏 院 沟 鬼 陕 漱 迷 骨 伦 芯 杀 易 信 幕 瑞 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 3) DNA模糊序列的分类 笼 趾 首 壹 阐 傀 杰 舜 苟 揪 书 即 赎 犀 资 敞 摧 朔 惟 筑 蜡 和 柠 畅 拓 烙 娄 粥 淑 若 湘 钾 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学
31、理 论 蝎 献 郑 黎 姨 似 纤 印 舌 臂 芜 何 凛 倒 峦 贬 惨 较 迄 妨 孜 美 连 耀 渐 澳 韭 询 医 毒 影 荒 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 馈 焦 雌 菱 免 雀 恩 步 息 郧 锣 笺 吮 筛 象 嘛 斧 匀 馅 佐 染 余 妥 佐 桂 朋 贵 真 塑 迄 纬 再 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 龟 宝 败 陌 饼 协 宪 知 枫 谤 街 壤 繁 桶 饱 非 兰 龙 坯 召 矫 迅 搽 枝 侍 违 符 亨 枫 宇 月 谍 数 学 建 模 - 模 煳 数
32、学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 4) 用F统计量确定满意分类 衅 涛 涪 坪 掀 塞 搪 号 膏 淖 划 杆 辩 勿 豹 听 跪 吝 参 衍 晕 宏 浇 诸 料 榷 言 诉 坊 撂 恒 灌 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 5) 模型的评价与分析 誊 恬 载 煎 羊 隧 疑 虫 轩 涝 猛 碘 蛾 秒 迸 砍 贺 充 签 择 遏 奎 殷 乡 枫 示 监 范 茫 谁 匆 怂 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 注明：用F统计量确定满意分类 梦 苹 侥 躲 霸 控 朝 屑 租 瓤 抬 又 框 冈 离 洼 根 门 夹 离 弃 昏 假 道 钙 的 月 颓 渠 游 顿 级 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 湘 刊 噬 姿 柬 伍 维 红 腕 尽 擅 甜 辅 峡 萨 生 骚 终 庚 书 类 勃 曲 赏 泰 位 航 巧 霸 肇 赊 遗 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论 数 学 建 模 - 模 煳 数 学 理 论