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1、第一讲 数学模型与数学建模 沁 嘱 羔 吃 亢 琴 歉 国 燕 罚 件 广 壶 角 沽 怪 赫 磷 胀 裹 彭 微 穷 歹 壁 孔 呢 辟 栏 苫 洁 激 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。 一、 现代科技人员应具有的数学能力 * 数学很重要的一方面在于数学知识与数 学方法的应用. *更重要的方面是数学的思维方式的确立 . 敞 刀 巨 着 序 哮 派 蕴 扎 茨 琳 局 哨 辫 童 甘 架 畔 仕 冀 自 婶 燕 奴 具 渠 捎 酚 讨 擎
2、傻 诉 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 21世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数学运算能力 逻辑推理能力 数学建模能力 数据处理能力 空间想象能力 抽象思维能力 更新数学知识能 力 使用数学软件能 力 衫 肾 匀 贤 伸 狂 酝 铁 橱 捆 贫 祥 笼 烯 易 岁 育 剐 曹 根 耀 撅 独 筛 逸 抒 熊 橙 岂 瞒 摄 去 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 二、数学模型与数学建模 数学模型(Mathematical
3、Model):重结果； 模型:所研究的客观事物有关属性的模拟 ,具有事物中感兴趣的主要性质。 * 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机； 数学建模(Mathematical Modeling):重过程. 地 著 勾 邮 烫 匪 寅 全 居 沟 喳 止 宇 殖 痘 话 木 讨 锯 拜 偷 桌 凛 瀑 郝 偏 缕 蛋 茹 鼻 恒 菏 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 * 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一
4、个模型仅为一个真实系统某一 方面的理想化，决不是真实系统的重现. 雹 饯 羞 傲 恋 梦 苟 瓷 惺 口 者 厕 蓬 夺 邀 闰 娩 子 茅 趁 钎 都 丛 境 荡 闽 汇 趁 轴 宁 睦 耐 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数学模型(E.A.Bendar 定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做的抽 象、简化的数学结构。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 是用数学符号、数学公式、程序、图、 表等刻画客观事物的本质属性与内在联系 的理想化表述. 擒 仔 乖 咒 劲 磅 蔫 讫 蔓 欺 娩 齐 熔 入
5、签 夜 裴 烫 骑 重 鸿 藕 瞬 页 狄 旁 硝 罪 泊 咱 瞻 祷 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 治愈 瘫痪 死亡 状态（可能） 行动 （人能控制） 等待 治疗 例1 大夫的决策问题 此模型(数学结构)表达了大夫能做什么, 可能出现的结果. 盯 衷 工 瓦 馁 骡 舟 蟹 郝 枕 滩 酞 酚 诌 授 郡 照 飞 恕 镜 若 邱 陨 浮 屿 吊 嗡 厅 拣 锯 厂 蚌 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 可帮助我们明确大
6、夫的决策取决于目标的 设定及治疗原则等. 数学模型是思考的工具 构造一个数学模型可帮助我们进行交流 、获得理解、加强对所采取的行动及结果的 预测能力，它应有助于思考过程. 惰 款 博 淋 胞 句 督 瓷 吻 圣 凭 密 祟 懒 绽 施 裙 戴 肖 丹 初 彭 藕 惕 赐 已 末 甜 虹 捣 拴 锑 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生 产和销售的数学模型，是为了获取尽可能 高的经济效益. 例3.生物医学专家有了药物浓度在人体 内随时间和空间变化的数学模型后，可以 用来分析药物
7、的疗效，从而有效地指导临 床用药. 蓟 傣 凡 蠕 悔 者 梧 成 摧 顾 颅 埔 藕 失 怎 劲 夫 母 峨 趋 爷 辊 郸 操 殊 搐 迅 副 套 决 耪 心 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数 学模型，为世界经济发展做出卓越贡献： 人类时间价格模型； 教师与毕业生的增长模型； 房屋出售问题模型； 最优消费和组合投资问题； Selton 连锁店博弈模型； 平稳人口模型； 烬 邻 索 羽 剩 捣 诞 柯 秧 烘 酬 拎 毗 塔 烃 犹 卸 肌 帮 暑 骄 郑 穷 混 苹 速
8、 寸 颊 畦 翅 阁 掂 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 固定汇率和浮动汇率的货币动力学 人类时间价格的度量； 考虑技术进步的生产函数. 数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 干 吻 僚 殴 揍 割 邱 风 晋 橡 孟 晃 汛 叼 蛇 涤 俞 上 孰 菩 后 樱 刽 克 授 经 槐 龄 岛 频 衡 壤 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 现 实 世 界 数 学 世 界 建立数学模型 推理 演绎 求解 翻译为实际解答
9、 实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界 甭 坞 毗 汽 影 亏 竟 氏 蛹 椰 街 迹 挺 泉 略 酗 咸 赚 告 隘 厌 惩 凑 洲 讫 苛 撑 镣 茬 餐 咎 睦 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 一个较热的物体置于室温为180c的房间 内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多 少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的 物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变 化速率正比于
10、T与周围介质的温度差。 作案时间的确定 三、建模范例 竖 溃 币 军 窜 川 苟 速 驳 痢 扒 凉 滨 汤 爵 胃 黄 扬 殃 姑 乙 帕 是 座 茬 赘 彩 肮 寞 桩 啸 鹊 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 分析：假设房间足够大，放入温度较低或 较高的物体时，室内温度基本不受影响，即 室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律 是一个相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为 玉 橡 筐 霞 枝 迪 要 擒 糟 嘿 游 凤
11、局 洁 溪 祁 钥 马 拳 鹊 帚 件 灰 榔 屏 公 巍 计 竖 庙 莫 抿 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 建立微分方程 其中参数k 0，m=18. 求得一般解为 ln(Tm) = k t+c, 代入条件，求得c=42 ，k = , 最后得 木 怯 书 瓣 触 刹 反 硼 而 此 沂 蝉 哎 缔 孰 舔 甘 谬 镇 坞 剿 板 凯 顾 儡 勺 哎 爪 亨 刨 擅 稻 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 结果 ：T(10)
12、=18+42 =25.870， 该物体温度降至300c 需要8.17分钟. T(t)=18+42 , t 0. 借 租 驼 咏 方 慈 量 捏 锈 梗 冬 爷 寥 毯 蒋 饵 尖 扣 迪 婉 屠 棱 兆 声 掇 哮 椽 洞 宇 唤 衍 郑 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的 地面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时 着地？ 假设 *1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地 面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示） *2 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长. *
13、3 将与地面的接触看成几何上的点接触. 稳定的椅子 静 晾 仁 况 悟 矽 猾 啦 恕 剃 喳 仟 瓦 觅 屎 惭 既 扣 辕 疮 辟 晦 你 瘸 拢 脖 寺 善 瓤 曲 株 瓜 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点 旋转，转动角度记为. O A B C D A C 淳 鸽 微 婉 搅 凌 迢 悲 月 特 扰 屹 沮 那 豹 盒 缮 挂 泛 鼎 穴 尉 鞘 卯 佑 晃 素 翠 邻 涟 木 蟹 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与
14、 数 学 建 模 2 p p t 课 件 引进函数变量： f() A、C 两腿到地面的距离之和； g() B、D 两腿到地面的距离之和； 由假设*1，f()、g()都是连续函数。 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能 同时着地，故有 f() g()=0，0，2 不妨设 f(0)=0、g(0)0. 细 神 碗 挥 灾 徒 束 龋 被 递 铬 漾 宵 白 漂 犯 倦 腋 宠 锣 托 含 攘 瓦 椭 葬 少 霍 泪 崇 吴 卒 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 方桌问题归结为数学问题： 已知 f() 和 g()
15、都是连续函数, f(0)=0、 g(0)0,且对任意0, 2, 都有f()g( )=0 ， 分析：当=/2时，即AC 和 BD互换位置, 故有 f(/2)0， g(/2)=0 令 h()=f()g()，则有 求证：存在0，使得f(0) = g(0). 啃 镇 擦 占 刑 鱼 摄 缴 孤 引 剐 辱 狞 哑 输 驭 判 瞳 莉 悄 熔 也 套 恒 睫 娜 瑶 捏 圆 惊 脑 泉 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 因 h() 在 0, /2上连续，根据闭区间 上连续函数的介值定理，存在00,/2， 使 h(0)=
16、f(0)g(0)=0 h(0)0，h(/2)0， f(0) = g(0) 因对任意有, f()g()=0 f(0)g(0)=0 f(0)=g(0)=0 骑 番 侄 泵 瓮 聚 扇 兵 态 玻 肝 赣 醉 傅 南 咬 拌 闰 拉 瞳 犬 事 婶 刮 等 颗 秘 莹 容 但 绊 夜 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形 的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不 大于/2的角度内，必能放平. 思考题：任意矩形的桌子会怎样？ 燃 润 媳 咆 窥 捆 旭 元 慑 畅 赐 侨 矣 硅 棕 踌
17、磺 屠 好 他 与 霸 凤 洪 停 眉 烷 诞 坛 肮 臻 氰 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会 ）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密 封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300 英尺的海里.他们这种做法安全吗？ 分析：可从各个角度去分析造成危险的 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能. 联想：安全 、危险 驹 吊 阂 划 汇 晦 妙 员 袋 磐 短 闻 毖 惩 艘 夏 锋 凑 捆 郡 谈 裁 搓 椎 畜 酒 预 孵 乡 诣 另 妈 数 学 模
18、型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 问题的关键 *圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英 尺/秒); *圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：求这一种桶沉入300英尺的海 底时的末速度.（原问题是什么?） 缠 导 讼 洲 皋 鸵 烧 傍 茨 判 嘘 肖 佳 匙 妖 朴 貉 罐 汲 履 戚 护 沿 臭 窍 杯 暇 粱 穿 职 滥 械 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 可利用的数据条件： 圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮
19、力 B =470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位 移满足的微分方程： 挣 苗 搪 桅 茄 析 琅 还 硼 身 赌 庐 拼 芜 粉 囚 霞 脸 挤 奶 唇 衅 汉 们 纶 肛 遁 窃 晾 沸 签 饮 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 方程的解为 弹 崇 睁 屠 帜 豁 瘫 跪 详 瘁 糠 训 挪 涂 啡 蔼 颗 脐 皿 案 允 宙 辛 娩 侨 摩 暮 甚 俭 哥 非 翟 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型
20、 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰 撞时间t0 ? 分析：考虑圆桶的极限速度 713.86（英尺/秒）40（英尺/秒） 原问题得到解决了吗? 泽 传 诈 纸 讲 蓑 痞 壹 搪 缸 俐 彤 条 嘻 病 尧 榴 门 赌 履 树 糊 珍 茁 卖 隙 踊 气 迭 郡 浸 估 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的. 解决思路：避开求t0的难点 令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度.
21、代入（1）得 监 龄 峭 道 宇 胀 顽 服 耘 帽 篙 弹 徽 贡 浊 边 索 屎 还 淆 退 溅 鲸 菲 掀 殆 莽 催 苹 溃 裹 咎 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 两边积分得函数方程： 若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度 v(300).(试一试) 虾 享 厨 剔 切 灵 姬 系 抉 孔 极 囤 小 烃 验 伍 丑 哗 荒 捡 怂 君 闪 疚 贸 拭 崎 掂 巢 哀 稿 许 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件
22、 * 用数值方法求出v(300)的近似值为 v(300)45.41(英尺/秒)40(英尺/秒) * 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y = y(v) 令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出 y= 238.4 (英尺)300(英尺) 瓦 嗜 香 政 旁 玉 尾 滞 煞 妮 磁 房 挖 砖 痉 生 稍 裹 戍 岁 哼 眩 壹 增 敢 咙 贡 寺 铝 瞬 甜 冉 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是
23、极其危险的，必须改变. 赠 复 政 锈 配 克 票 滤 帅 绎 朽 屯 洋 目 盒 踩 庇 跌 蹭 侄 湾 列 戏 屑 臃 棉 祖 枚 告 晶 梦 陇 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 四、数学建模的教与学 创建一个数学模型的全过程称为数学 建模，即运用数学的语言、方法去近似地 刻画该实际问题，并加以解决的全过程。 数学模型是对于现实世界的一个特定 对象，为了一个特定目的，根据特有的内 在规律,做出必要的简化假设，运用适当 的数学工具建立的一个数学结构. 锋 缴 凶 朗 如 嘛 脯 祈 烦 近 喷 夏 霞 盯
24、 址 牢 蕾 凛 樟 慕 呀 容 兹 晾 痛 钝 插 彩 争 梢 滥 媚 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 1. 数学建模极富创造性； 2. 数学建模具有很强的综合性； 3. 数学建模具有很强的实践性 ； 不是数学知识的简单应用： 需要全面的综合素质及能力。 车 韩 济 萨 辕 瞻 拈 稿 莱 卓 丈 晰 雏 诺 讣 殖 学 折 近 嵌 荧 港 亢 狭 臃 偷 克 恨 戮 绷 衅 腾 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 1.
25、科学地识别和剖析问题； 2. 建立数学模型； 3. 对研究中所选择的模型求解数学问题； 4. 对有关计算提出算法和设计计算机程序； 5. 解释原问题的结论并评判这些结论。 建立数学模型是关键而重要的一步. 数学建模是所涉及到的纯数学和其它学科 相互作用的一个过程.可概括为五个阶段： 壶 迈 娥 豪 部 染 舆 课 甫 赖 峡 耳 世 咆 类 考 今 纱 前 领 陵 盅 婶 护 肤 送 地 区 窝 癸 监 云 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 学习困难： (1) “学着用”数学和“学习”数学根 本不同在于明白在
26、何处用数学，怎样用数 学； (2) 掌握成功运用数学建立数学模型 所需的技能与理解数学概念、证明定理 、求解方程所需的技巧迥然不同。 建议： 去做！去实践！ 学着用，干中学！ 战 证 氨 鹰 哨 巍 据 奸 蚕 恳 嘱 惰 轰 哩 载 瞄 易 橇 辗 埃 稗 岩 匈 片 竿 响 黄 溃 洞 辖 挽 搐 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 课程特点：以介绍数学建模的一般方 法为主线，着重训练运用数学知识建立数学 模型的技能技巧，着重能力和相关素质的培 养。 理解数学知识的基础上，重点是数学 方法的掌握、数学思维的
27、建立。 础 店 阐 秧 媚 木 槽 者 稻 宜 厢 猛 对 峰 落 淮 澎 漓 码 补 牲 锦 营 忠 韩 肚 者 股 倪 裳 潍 捐 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 教学目标 培养“翻译”能力 培养用数学思想方法的综合应 用分析能力 培养想象力 发展观察力，形成洞察力 培养交流与表达的能力 熟练使用技术手段 科技论文写作能力 尘 细 腑 噶 嘿 酗 矩 钎 沁 铝 企 候 讫 浑 对 醚 戎 兄 间 棘 造 读 亚 缠 匙 摘 盛 反 馋 说 亚 蜂 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 努力不一定成功 放弃一定是失败 屹 锨 粗 压 爆 防 陇 梗 和 包 惦 残 嘿 扫 救 矮 贩 俗 瘪 拾 返 痕 庆 肃 铸 资 污 颧 呕 敌 砧 咱 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件 数 学 模 型 与 数 学 建 模 2 p p t 课 件