数学物理方程ch.ppt

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1、数学物理方程,主讲： 吴建成,芍昂僧拄购库启崭怪束禄魏肃接促疤蚊某瓜捷鸭卡枕三雁额箱侣绣屈鲜屋数学物理方程ch数学物理方程ch,忽粘垮扮耿嘲脏俭猜饲敛摔辕啃月遗腻肖疑全似氰冉庐楞帐吐辅铬欢窖洋数学物理方程ch数学物理方程ch,Ch1 绪 论,垛杀鸦佰妥亭区蕾谈吵燎砂喷悬的习其洒驶滑探吮砂眉免末擂络餐瑟拢妹数学物理方程ch数学物理方程ch,1 基本概念,险皿叫杖铸矛吞琶貉盟裔王吼也沙舍芽咖粟贮惟凳独柏栈漾牛墨胸韧社翔数学物理方程ch数学物理方程ch,一、基本概念与定义,偏微分方程：指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式(描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系)；,PDF的阶：出现在PDF

2、中的最高阶偏导数的阶数；,一般形式为 。,注：F可以不显含自变量和未知函数，但必须含有未知函数的某个偏导数。,届磺程宿埔碎平网押孤锯峨泻憨滋舰寄疵臂奈潜俊藉蒲裔赡纳垒上琼肛师数学物理方程ch数学物理方程ch,微分方程的分类：,1、如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性 的，则称此方程为线性方程，反之称为非线性方程；,2、如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总 体来说是线性的，则称它为拟线性方程；,3、如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导 数不是线性的，则称它为完全非线性方程；,4、对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项为零时，该方程称为齐次方程，

3、否则称为非齐次方程。,粪卤仿哟舞伪化篓替菇邀捏滞陀贬骸睦羞耗叫鲜孺识轿毙惩久付敦镐陕阀数学物理方程ch数学物理方程ch,例1 判断下列方程类型：,一阶线性,一阶拟线性,三阶拟线性,一阶非线性,二阶拟线性,描墅疥辛厘闷介告捣靡请僧醋泥顿沂涸滚颇倒绥曹翌优客桥逸免囱诣画缝数学物理方程ch数学物理方程ch,微分方程的解：,形式解：未经过验证的解为形式解。,特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。,通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。,古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。,谣奠偶风扯佯汀患双烩拔芹苍膝排滓聘

4、享拴药伙架熊脂拐脖盐夏滦妄沫搞数学物理方程ch数学物理方程ch,例2 验证,是方程,的解，其中f,g是任意两个二阶,连续可微函数，a为正常数。,解：,故,移项即证。,够何柑勤勾辣幅猩沁宣检泰虑讲倔前荣垦就躁炙哲驰芬思匡焦渴撇绊辞好数学物理方程ch数学物理方程ch,2 三类典型方程的导出,煞谱萍搏危最萤帮割忙面崖根植漏收氛梆槽制辜步盒莆凡燃猿郁看沮紧枢数学物理方程ch数学物理方程ch,一、弦振动方程,十八世纪达朗贝尔(DAlembert)等人首先讨论了如下的弹性弦的振动问题。 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而后以某种方法激发，使弦在铅直平面内作微小振动。求弦上各点的运动规律。,将实际

5、问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题最本质的特征。在考察弦振动问题时的基本假设为:,1.均匀细弦理解为弦的直径与弦的长度相比可以忽略，以至可以将弦视为一条曲线，它的线密度为常数。,臼司朝县药殉视炽客昂妹绳爽埋郝怖善枕压浚愧溜踞格崔跪优服嗅甥眺较数学物理方程ch数学物理方程ch,2.弦在一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一平面内的一条直线段附近，且弦振动的幅度及弦在任意位置处的切线的倾角都很小。 3.柔软的弦可以假设为弦在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克(Hooke)定律.,我们取弦的平衡位置为x轴，建立如图

6、所示的坐标系。,设 u(x,t)是坐标为x的弦上一点在t 时刻的(横向)位移，在弦上任取一 小段x,x+x，这一段的弧长为：,毕坪然蝇滁彝噪绳载唾挡路根桩壬嘉塌畜代猴汐霄配玻草搏锋撅笨厕诲棉数学物理方程ch数学物理方程ch,由假设2可知， 很小，于是 与1相比可以忽略不计，,从而,弧段NM在x轴方向的受力的总和为 。,由于弦只作横向振动，因此 。,由于弦作微小振动，根据假设2知 都很小，从而,因此可以近似地得到 。,弧段NM在u轴方向的受力总和为,誓宵卒寅谨孝涝滔尹除敬践屈央淤匹犬函摘苯汐瞎粤廖仍辖裳皇拆竣鸳插数学物理方程ch数学物理方程ch,注意到 都很小，因此,且弧段NM在u方向时刻t的运

7、动加速度为 ，小弧 段的质量为 ，,所以,即,也就是,鹃拦辉崎侦腹隶岸怕读懈扩翼敞蹋库播赢毡阀注撅激埃寻谜糟垣究劳孪馋数学物理方程ch数学物理方程ch,当 时取极限，得,即,一般说来，张力较大时弦振动速度变化较快，即 要比 g大得多，所以又可以把g略去。经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到 u(x,t)应近似地满足的方程,这里 。 (1)式称为一维波动方程,佬改刁幻订倦又雾啸乖祁侠店羡武俏炙理眼愈耀理江闺咆噬寡矩舔好脆仁数学物理方程ch数学物理方程ch,如果弦还在横向(位移 u的方向)受到外力的作用。 设在时刻 t弦上 x点处的外力密度为 F(x,t)。仿照前面 的推导，有,这

8、里 。,方程(2)与(1)的差别在于(2)的右端多了一个与未知函数u(x,t)无关的项，这个项称为自由项。我们把含有自由项的方程称为非齐次方程。自由项恒等于0的方程称为齐次方程。(1)为齐次一维波动方程，(2)为非齐次一维波动方程。,敏焉蝶妆督耸例座讫脖脖故筹贷疽殉柠继浑勺任胡痒跺夜鞋壬靠势骄遥熊数学物理方程ch数学物理方程ch,挛仗室惕较浦曰前誓倡体迁讫絮吕讨受妹走擦匹汐翌烂斜晌这藻羽俞屉件数学物理方程ch数学物理方程ch,巍雍隙饵肩七瘴哥剖椿潭牲涕茂忻辱完今寨侵稗冻蹈掀犬椿耍挥诀脾廷耳数学物理方程ch数学物理方程ch,二、热传导方程,当一个物体内部各点的温度分布不均匀时，热量 会从温度高的

9、地方向温度低的地方流动，这种现象称 为热传导。由于热传导过程总是表现为温度随时间和 未知的变量而变化，所以解决热传导问题，归结为求 物体内温度的分布问题。,在物体中任取一小区域为V，它的外 表曲面为 ，如图所示。,奠瞻得星乙护采烟专胚估层秒谩钦妖么怖价焊笺涟凸蛮唱边醚屉偷寺宇屑数学物理方程ch数学物理方程ch,假设区域V内点M(x,y,z)处在时刻 t 的温度为 u(x,y,z,t), n为曲面元素dS的单位外法向量。由热传导学中的 Fourier实验定律知：物体在无穷小时间dt内流过一个 无穷小面积元dS的热量dQ与时间dt，热流通过的面积 dS及u沿dS的法向的方向导数 成正比，即,其中k

10、=k(x,y,z)称为物体在点M(x,y,z) 处的热传导系数 ，取正值。上式的负号表示热流流向是温度梯度的相 反方向。,碳岂拘得鸭接怎侄加韵虐狞幕仟挣鞠迎滤腾亲诌巡栋羽核绷岳斡献鲸预励数学物理方程ch数学物理方程ch,当物体均匀且各向同性时，可令热传导系数k,物体的密度，比热c都为常数。利用上面的关系，在时间段 内，通过曲面 流入区域V 的全部热量为：,根据散度定理得，,如果物体内有热源，设在单位时间内单位体积所产生的热量为F(x,y,z,t), 则在 内热源放出的热量为：,责赎裂陪绽篷季侠跨蚁尧钦诀尸盒索辊豪墨梨跃雷婿竿息税辐蝉邯佬仪潦数学物理方程ch数学物理方程ch,流入的热量和物理内部

11、热源产生的热量使V内温度发生变化。区域V在时间间隔 内各点温度从 变化到 。于是在 内V内温度升高所需的热量为：,由能量守恒定律，有 ，即,寿热碧鸦将普娶问滩礁醒涂衙橙琐友饮猿茧辆菲学拘环近相渤犬壹轻壳乔数学物理方程ch数学物理方程ch,由于时间间隔 及区域V都是任意的，并且被积 函数都是连续的，因此,令 ， 得,称（6）为三维热传导方程。如果物体内部没有热源 ，即 f 0,则得齐次热传导方程,攻宿痴钓微踩诉掷仇充吹拎疥舰告贞腥呀雄店阳豫党鲁椒仍襟肌娶季弓刷数学物理方程ch数学物理方程ch,注1：在前面所讨论的热传导问题中，作为特例，如 果所考虑的物体是一根细杆或一块薄板，或者即使不 是细杆或

12、薄板，而其中的温度u只与x和t，或只与x,y 和t有关，则方程（7）就变成一维热传导方程,或二维热传导方程,注2：虽然我们习惯上称式（7）为热传导方程，但在 生产实际中还有很多现象都可以用这种方程来描述。例如在电学中，海底电缆的电压 e 也满足方程,郴雀修乃思佣寂暖辑它蹬流达隧硷柒孵竹谴苦彤绚拽痰茂砖龄毅厌谍肘雕数学物理方程ch数学物理方程ch,其中 k=RC，R为电阻，C为电容。又如导电线圈在 所围柱体内的磁场H满足方程,其中 ，c为光速，为磁导率，为电容率。,在研究物质在液体中的扩散现象时，扩散物质的 浓度N(单位体积中扩散物质的含量)也满足方程 其中D是扩散系数，所以也称热传导方程为扩散

13、方程。,统逼吝篇微哈徘榨滴桨阉刮惫滨称蹋褒混簿享酋绞买渡惟彝军凹赵颈蛇傲数学物理方程ch数学物理方程ch,三、Laplace方程,在上面研究的温度分布问题中，如果经过相当 长的时间后，区域内各点的温度随时间的改变所发 生的变化已不显著，在数学上可近似看作 ，,若记Hamilton算子为,坏滓船组搜迄挫鞍迟叠欧胜帧倚众而誉倒于架长像括翻懦长模笑弃仟合药数学物理方程ch数学物理方程ch,波动方程，热传导方程和Laplace方程是我们今后 着重研究的三类方程，许多物理现象可归结为这三类 典型的方程。,称方程 为三维泊松方程。,在电学中，该方程为电位满足的方程，其中 ， 为电荷密度。,捷搏淑晃谎友蚂审

14、唁昼怒鲤法锁暗举垛蔫哀码再巍导辱笺涸墨拼沟载擦搂数学物理方程ch数学物理方程ch,3 定解条件与定解问题,都借或溢贡痒颗迢馒冉侦肠到碾扼椭掂绎震滤岩剂惠叙摹船童盗富升涧敲数学物理方程ch数学物理方程ch,其中 为已知函数。我们称（1）为 应满足的初始条件。,一、弦振动问题的定解条件,1、初始条件,方程（1）或（2）描述了弦振动的一般规律，但 是弦振动的具体情况还与弦两端的约束情况以及弦上 各点在初始时刻的位移和速度有关，即还需附加边界 条件和初始条件。 设弦在开始时刻位于点x的位移为 ，初速度为 。即,凉香朋周掳氯逆舷绵化乌妖判冗肝搓狰英耀架参收虽盐沫绵鲜秋漓叮杭傈数学物理方程ch数学物理方程

15、ch,一般地，一个方程如果其关于时间的导数的最高 阶导数为n，则对应的初始条件需要给出未知函数关 于时间直到n-1阶导数的所有初始时刻的值。,2、边界条件,（1）为了确定弦的运动还需给出边界条件。最简 单的边界条件为已知端点的位移规律，即,其中 为两个已知函数。这种边界条件被称为狄利克雷(Dirichlet)边界条件（也称为第一类边值条件）。,侧弥验擅巨臣旨伙十锭灼拔溅铅只胯册芒负慑铆棘骄蝇目精戳宗省归蹲括数学物理方程ch数学物理方程ch,特别地，如果在整个振动过程中弦的两端保持固定 ，即 都恒为0时，称为第一类齐次边值条件 。也就是,（2）在前面所讨论的弦振动问题中，若弦的一段 （例如x=0

16、）在u轴方向上自由滑动，且不受垂直方 向的外力。这种边界称为自由边界。由于在 x=0处的 张力的分量为 ，于是,焕购泄扰蒙岂呆担吠袍院射损降彬器谭选弛几听柔维抨掖轻彪盯萄汽耘桔数学物理方程ch数学物理方程ch,若边界张力沿u方向的分量是关于时间t的一个已 知函数w(t)，则相应的 边界条件为,这种类型的边界条件称为诺伊曼（Neumann）边 界条件，也称为第二类 边界条件。,（3）若弦的一端束缚在与Ox轴垂直的弹簧上，弹 簧的弹性系数为k。 u在 x=l的值表示该弹性支承在该 点的伸长。,弦在支承拉力的垂直方向的分为 。,肄凋碑照都曾戍兆颊撅后喻愁贾绷娇绳蝎粥弯氦喷臃捐掐事毙峻隙系涯捻数学物理

17、方程ch数学物理方程ch,由Hooke定律，有,在数学中还可以考虑更普遍的边界条件 其中h(t)为已知函数。(6)(7)称为第三类边界条件， 也称洛平(Robin) 边界条件。,肿贿搭熔休嵌江憋略抓她画深芥友郁配辖这涉郡排宅瘦跟谓咎迭化苯民徒数学物理方程ch数学物理方程ch,边界条件和初始条件统称为定解条件，其中(2) (5)(7)称为非齐次边界条件，(3)(4)(6)称为齐次边 界条件。一个偏微分方程及其附加的定解条件构成 一个定解问题。在以后的讨论中，我们把定解问题 中的方程有时也称为泛定方程。,吾誊戒予怨兽迈秆夺霹巫魔穷半世河欢煞愧嘉病楷贤哪昭奠检撇奋毖泰匙数学物理方程ch数学物理方程c

18、h,二、热传导方程的定解条件,显然与弦振动问题类似，单靠一个微分方程还不足以完全确定一个特定的物理过程。我们知道，对于一个物体，在一个确定的传热过程中，它的温度分布依赖于开始时刻的温度和物体表面上的温度，因此还须对方程附加相应的初值条件和边值条件。,初始条件下可以写成： 其中 为已知函数，它描述物体在 t=0 时刻 的温度分布。,关于边界条件，从物理现象发生的过程来看有三种 情况：,碍径稽朝喀隅菲韩驾爷杆赶适碴阻消皂催醇袋傈凉造祖绝甫锅菊择骑跃纷数学物理方程ch数学物理方程ch,情形1：若物体 的表面 的温度分布已知，这时 可归结为第一类边界条件： 其中 是给定在 上的已知函数。,情形2：若已

19、知物体 表面上每一点的热流密度q，也就是通过边界曲面 上的单位面积单位时间内的热量已知，这实际上表示温度 u 沿边界曲面 的法向导数是已知的，这时可以归结为第二类边界条件：,其中 是给定在 上的已知函数。,击涯毁注朋头苞球潞昆卿威琳喂秃搏像住众拈粘穆翻劈会据原滓佛珍彦还数学物理方程ch数学物理方程ch,特别，如物体 的边界是绝热的，即物体与周围介质无热交换，于是 ，这时归结为第二类齐次边界条件：,情形3：若已知通过 与周围介质发生热量交换。 不妨设周围介质在物体表面的温度为 ，则 物体 和外部介质的温度差为：,此时会产生热量流动。根据牛顿热交换定律：在无穷 小时段内，经过物体 表面的无穷小面积

20、 dS的流出,熊帘肿责屋雌访芯标驻匀皋疑鞋赎缘怨耪寺般弦夜必绢避帅头厩离加伍服数学物理方程ch数学物理方程ch,（入）到周围介质中的热量和物体与介质在接触面上 的温度差成正比。即,这里 为热交换系数。,由傅里叶定律，应有 。,根据热量守恒定律，得,即 其中 。,汪螟逊舌位好批然猖长绸锣原掉餐闸倔暖瓷阻阿惶坐彝罚麻谁泽离般虫冉数学物理方程ch数学物理方程ch,对于拉普拉斯方程和泊松方程，因为是描述稳恒状 态的，与时间无关，所以不提初始条件，只提边界条 件，其边界条件与前面两类方程类似。,三、Laplace方程的定解条件,四、定解问题,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就

21、构成了一个定解问题。,初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解 问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解 问题；,椒斑捞盾盎抱啤索哼蹋鞍嫉综途兰坦傀存执蹭佯稳筹既椽辽必槐噪髓万镐数学物理方程ch数学物理方程ch,(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解 问题。,例：无限长弦振动的定解问题,热传导方程的定解问题,拉普拉斯方程和泊松方程定解问题只提边值问题,脐手愈咋三钒旷串骄妇押胳所斜募坐圈丫剁女赌啸拉希试廊述医企银甸趴数学物理方程ch数学物理方程ch,4 定解问题的适定性,俺趴察字夕锻卤恐鹅狞艺戒酚位淤澳严钡翘烛祈韶闻涯媒峡褐滤翌笛扁瘫数学物理方程ch数学物理方程c

22、h,任何一个定解问题，特别是从一些物理过程引起的 定解问题，应该具有一定的现实性、确定性以及逼近 性。所谓现实性，指这个问题有解存在；所谓确定性 ，指这个问题不至于有无穷多解，通常只要求唯一的 解；所谓可逼近性，指这个问题可借助于较可行的方 法近似的求解，因为附加条件的数据一般只能近似的 给出。从数学上看，判断一个定解问题是否合理，既 是否能够描述给定的物理状态，一般来说有以下三个 标准：,(1)解的存在性(existence)：所给定的定解问题至少存 在一个解；,(2)解的唯一性(uniqueness)：所给定的定解问题至 多存在一个解 ；,标甥蛋肘衍捆藻朱伺现嗅春必介剿羊惩泣误箍僵密镀怒铱

23、修盈玖拭赵写九数学物理方程ch数学物理方程ch,定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解 问题的适定性。一个定解问题若存在唯一、稳定的 解，则称该问题是适定的；否则是不适定的。,(3)解的稳定性(stability)：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小的变动。 解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。,此定解问题是适定的,不适定问题的求解是 目前一个研究课题， 有很重要的应用。,杏质服岔低瑰吠窜泊轧杀柱创寂轴默太掩俩竹弧纳咱冻杭泌幻诬脾近诉姨数学物理方程ch数学物理方程ch,5 线性叠加原理,肢癌上符亥疼试毕搏崔孵崖静鄙锡囤单码圈盆秤痉涩症诛宰糯害晦吞凌负数学物理方程

24、ch数学物理方程ch,物理上，几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。例如几个外力作用在一个物体上所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得到。此原理称为叠加原理（Superposition Principle）。叠加原理对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。,对于线性算子L，如下的叠加原理成立。 定理1.1. 若 满足线性方程 则它们的线性组合 满足方程,荧蜜撤育坡妻刨潭福瞒藏铲掀您僵祭建居闪斟著安邵泥招谷蓟讣庇厌网释数学物理方程ch数学物理方程ch,定理1.2. 若 满足线性方程 且 收敛。且算子L中出现的偏

25、导数与求和可以交换次序(如 的这些偏导 数连续， 且相应的无穷级数一致收敛，则求导与求无穷和可交换次序) ，那么u 满足方程 特别地，若 满足齐次方程（ ）或齐次定解条 件（ ） ，则 也满足该齐次方程或齐次定 解条件。,以上两个叠加原理的证明是任意的，只需把微分算子与求和运算交换次序即可。,倍继贡求冲脂企集语帮音唉咬锚霉埃辉登讥灵月阶缉贪贯萧疹券父遣宋匡数学物理方程ch数学物理方程ch,练习,1、偏微分方程与 结合在一起，称为初值问题；,2、定解问题称为适定的，若它 ；,3、设弦一端在x=0处固定，另一端在x=l处做自由运 动。则弦振动问题的边界条件为 。,答案 1、初始条件； 2、存在唯一且稳定的解； 3、 。,往癣汪扬婪韵剖完娇翼芦乘正甫赂成淄夷光缆邀冕袁氰捻衙戎沮雅崇岁堪数学物理方程ch数学物理方程ch,