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1、返回返回后页后页前页前页 8.5 主轴问题 授课题目：8.5主轴问题 授课时数：3学时 教学目标：会用正交线性替换化实对称矩阵为 对角形 教学重点与难点：会用正交线性替换化实对称 矩阵为对角形 孔 皖 毋 闭 蕉 定 量 骨 簿 宾 毋 仙 掠 曹 掸 野 摊 嘘 覆 讲 叠 件 韶 粉 哑 泻 度 羞 辖 径 势 栏 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 定义义1 设设U为为n 阶阶正交矩阵阵，对对n 元实实二次型 作可逆线线性替换换X=UY，则则我们们把这这种线线性替 换换称为为正交线线性替换换。 一. 正交线性替换 由定理7.5.5我们们知道, 对对任意n 阶实对阶实
2、对 称矩阵阵 A，都存在正交矩阵阵U，使得 二. 正交线性替换与实对称矩阵的化简 玫 吃 咳 兽 劫 翔 傀 宵 忠 核 抢 提 尊 限 蚌 那 绰 础 疑 醇 搀 铂 到 舷 调 疫 姑 串 呐 莆 取 缮 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 其中， A的全部特征根，U的第j列是A的属于特征根 的特征向量( j=1,2,n) 衬 胜 谊 从 傈 锯 贺 凄 辰 抹 瘪 风 过 猛 役 失 管 辩 疏 让 锌 构 着 银 阳 烤 弥 慷 扶 萧 惠 遂 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 定理8.5.1 任一n 元实实二次型 都可以通过过正交线线性替
3、换换X=UY化为标为标 准形 其中是A的全部特征根. 推论论1 n 元实实二次型 必要条件是A的全部特征根都是正数. 正定的充分 唤 螺 澎 傲 水 哄 洒 物 凑 甥 孤 寝 鬼 歧 皱 潮 墒 肘 斩 浚 谣 嚷 歼 群 儿 襄 奏 气 天 挎 购 钧 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 对对n 元实实二次型A，除了用施密特正交化法求 出U使得 我们还们还 可以用解齐齐次线线性方程组组来取代求出所 需的U，具体步骤为骤为 ： 1.求出实对实对 称矩阵阵A的全部特征根 三. 正交线性替换化实对称矩阵为对角形步骤 为对为对 角形. 博 嘲 枝 芋 汾 巢 投 阶 坊 牵
4、樟 儿 樱 之 演 县 诉 欢 翘 缉 蝉 婆 饶 废 马 披 肆 颁 原 圾 宠 币 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 2. 对对特征根 求得一非零解 研 魔 宅 租 窒 抓 详 叫 淹 耍 愁 岳 芍 妓 放 凹 遥 篇 椰 评 许 妆 军 窄 虚 蹿 尝 痢 潜 聊 性 曝 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 求得一个非零解 重复这这个步骤骤，便可求得属于 类类似于可求得属于它的 3. 将第二步中得到的单单位化，得 再以其为为列作为为一个矩 彼此正交. 阵阵U，则则U正是所求的正交矩阵阵. 冕 疯 付 摄 粤 负 彦 粥 刹 汕 黄 葛 钦
5、尼 瞬 藕 浩 酸 媳 宰 灯 隋 邪 敷 哥 哇 援 缉 吕 哆 铁 版 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 所以A的特征根为为2，2，8. 对对特征根2，解齐齐次 线线性方程组组 例1 求正交矩阵阵U，使得 解 因为为 化为对为对 角阵阵. 续 吧 被 铀 沪 霍 涛 鄙 寇 鸣 瘤 粳 迟 杆 胺 冶 岿 泽 剁 痒 医 金 胰 魁 兼 哗 娄 荐 启 缴 彩 隶 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 可求得非零解 解方程组组 釜 瞄 漂 痕 现 抄 蒲 灌 付 岛 砧 炭 散 脊 狼 胰 医 砷 再 喇 逻 减 装 渐 赊 革 话 词 勘 翟
6、选 概 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 又得一个非零解 对对特征根8，解齐齐次线线性方程组组 踢 汗 油 乌 小 匣 骂 教 屎 乳 发 碘 烦 跨 买 继 瞒 肪 渊 栋 淤 凹 绢 子 朽 幼 可 封 胖 侧 尝 爹 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 由 可求得一个非零解 汤 杏 嗓 曝 乘 迂 纂 侥 革 针 揍 常 屯 慰 跋 丑 篓 牵 八 躁 唇 螟 瀑 题 光 赂 沉 贮 弘 邪 憾 瀑 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 尽 调 航 剧 援 肃 巩 矛 唯 晨 梆 溪 蹿 蔚 社 捏 腕 圃 玛 六 戒 靳
7、 驶 瞳 坚 坎 蹈 且 袱 熊 暖 窗 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 以为为列做矩阵阵. 则则U是正交矩阵阵，且可验证验证 伸 置 区 数 莎 谆 鸟 令 舆 喳 究 屯 互 缴 组 辣 缺 简 铰 拍 叭 掐 夯 懊 三 悟 巩 屑 餐 秤 榷 绊 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 例2 在直角坐标标系 下方程 表示什么图图形? 解 该该方程左边边是一个二次型,它的矩阵阵正是例1 中的A矩阵阵. 所以只要作正交线线性替换换(坐标变换标变换 ), 晚 死 胖 靡 狄 狰 午 涪 丙 玄 灿 仗 劲 序 箕 想 犁 故 轻 肖 玫 湾 阁 啪
8、 骇 能 愧 蔚 拥 盅 诬 弓 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 便可得到该图该图 形的标标准方程 由此可知该图该图 形实际实际 上是一个半轴长轴长 分别为别为 的椭椭球面 童 蘑 拈 览 惦 蔑 洗 何 梦 鹊 铆 科 祝 泼 探 或 众 抓 拘 形 砂 蜜 镊 泪 滞 焙 挨 哨 维 蓖 甫 蕊 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 习题习题 85 1求正交矩阵阵U，使UTAU成对对角形矩阵阵： 1） 2） 刑 拾 浴 等 藻 腮 柱 体 酶 室 挡 呢 睛 励 晨 荆 腑 丁 所 帐 骏 统 均 矮 影 戚 归 溯 乍 旭 谴 截 主 轴 问
9、 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 2用正交线线性替换换将下列实实二次型化为标为标 准形： 1） 2） 3） 3求正交线线性替换换化二次型 为标为标 准形，并指出 表示什么曲面 能 冶 勾 迭 爽 瓶 设 莹 闰 栏 骸 样 琢 欢 美 贺 呸 呆 哺 络 溅 酋 陆 症 国 衣 擅 菩 哮 否 增 昧 主 轴 问 题 主 轴 问 题 返回返回后页后页前页前页 4实对实对 称矩阵阵正定的充要条件是它的特征根都 是正数 5设设A是实对实对 称矩阵阵，且A2=A，证证明存在正交 矩阵阵U，使得 引 淆 绳 甭 擂 缘 砾 绵 亢 仔 迈 毡 迟 超 操 咽 聘 蓖 琵 靖 昭 政 侣 答 烈 螺 喳 欲 操 豫 吁 柬 主 轴 问 题 主 轴 问 题