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1、.初中数学 抛物线经典试题集锦【编著】 黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（ 2,0）， C（0, -8）（ 1）求此二次函数的解析式，（ 2）在抛物线上存在一点 p 使 ABP 的面积为 15，请直接写出 p 点的坐标。2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（5，0），B（2， -6）（ 1）求抛物线的表达式及对称轴（ 2）设点 B 关于原点的对称点为 C，写出过 A、C 两点直线的表达式。.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点C 为（ 2，4），并在x 轴上截得的长度为6。（ 1）写出抛物线与 x 轴交点 A 、
2、B 的坐标（ 2）求该抛物线的表达式（ 3）写出抛物线与 y 轴交点 P 的坐标4、直线的解析式为y=2x+4 ，交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B，若以 A为顶点 ,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C，（ 1）若 ABC 的面积为 20，求此时抛物线的解析式（ 2）若 BDO 的面积为 8，求此时抛物线的解析式【答案】.1、已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（ 2,0）， C（0, -8）（ 1）求此二次函数的解析式，（ 2）在抛物线上存在一点 p 使 ABP 的面积为 15，请直接写出 p 点的坐标。解：【第一问】因为函数 y=x2+bx+c
3、过点 A（ 2,0），C（ 0, -8）分别将 x=2， y=0 代入 y=x2+bx+c， 得 0=4+2b+c-将 x=0， y=-8 代入 y=x2+bx+c，得 -8=c-将代入，解得： b=2-此时，将 代入 y=x2+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8【第二问】1ABP 的面积 = AB * yp -2因为 A 、 B 两点在 x 轴上，令 x2+ 2x -8=0（ x-2）（ x+4 ）=0解得： x1=2， x2= -4所以： AB = X 1- X 2 = 2-（ - 4） =6-.又 ABP 的面积 =15-1由 ，得： 2 *6* yp =15yp =
4、5故有： yp= 5即： p 点的纵坐标为5 或-5.把 y=5 代入 y=x 2+ 2x -8 ，即： 5=x 2+ 2x -8x2+2x -13=0解得： x= -1 14那么，此时 p 点坐标（ -1+ 14， 5），（ -1-14， 5） - 把 y=-5 代入 y=x2+ 2x -8，即： -5=x2+ 2x -8x2+ 2x -3=0（ x-1）（ x+3） =0解得： x= 1 或 x= -3那么，此时 p 点坐标（ 1， -5），（ -3， -5） -由得，使 ABP 的面积为 15， p 点坐标是：（ -1+ 14， 5），（-1- 14， 5），（ 1， -5），（ -3，
5、 -5）2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（5，0），B（2， -6）（ 1）求抛物线的表达式及对称轴（ 2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、 C 两点直线的表达.式。解：【第一问】因为抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（ 5，0）， B（ 2，-6）将 x=5， y=0 代入 y=2x2+mx+n，得： 0=50+5m+n- 将 x=2， y= -6 代入 y=2x2+mx+n，得： -6=8+2m+n- 此时，由 、， 得： m= -12， n=10所以，抛物线的表达式：y=2x2-12x+10再将抛物线表达式进行变形：y=2x2-12
6、x+10y=2（ x2-6x+9 ）-8y=2 （ x-3）2 -8所以，抛物线的对称轴是x=3【第二问】因为 B 点坐标为（ 2， -6），C 是 B 关于原点的对称点，所以，C 点的坐标（ -2， 6）设过 A、 C 两点的直线方程为： y=kx+b 因为过 A（ 5， 0 ）， C（ -2， 6），将 x=5， y=0 代入 y=kx+b，得： 0= 5k +b-将 x=-2 ， y=6 代入 y=kx+b ，得： 6= -2k+b- 由 解得： k= -6， b=3077.所以，过 A 、 C 两点的直线表达式为：y= -6x+30773、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点C
7、 为（ 2，4），并在x 轴上截得的长度为6。（ 1）写出抛物线与 x 轴交点 A 、 B 的坐标（ 2）求该抛物线的表达式（ 3）写出抛物线与 y 轴交点 P 的坐标解：【第一问】因为抛物线的顶点C 为（ 2， 4），所以，对称轴是：x=2又因为抛物线在x 轴上截得的长度为6，那么，对称轴x=2 将 6 平分，也就是说， A 、B 两点关于 x=2 对称，且他们到 x=2 的距离是 3 所以， A 的横坐标： 2-3 = -1B 的横坐标： 2+3 = 5故，抛物线与x 轴交点 A 、 B 的坐标是（ -1,0），（ 5,0）【第二问】因为抛物线的顶点C 为（ 2， 4），那么，抛物线的表达
8、式直接可设为：y=a（ x-2）2+4 【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】再将 A （ -1,0）代入 y=a（x-2 ）2+4， 得 ， 0=a（ -1-2）2+4.解得： a= -.49所以，抛物线的表达式为，y= - 49（ x-2）2+4【第二问】令 x=0，代入 y= - 49（x-2 ）2+4 ，得 y= - 49（0-2）2+420y=920所以，抛物线与y 轴交点 P 的坐标（ 0，9 ）4、直线的解析式为y=2x+4 ，交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B，若以 A为顶点 ,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C，（ 1）若 ABC
9、的面积为 20，求此时抛物线的解析式（ 2）若 BDO 的面积为 8，求此时抛物线的解析式解：【第一问】.直线的解析式为y=2x+4令 x=0 ，代入 y=2x+4 ， 得， y=4 ，所以 B 点坐标（ 0, 4）令 y=0 ，代入 y=2x+4 ， 得， x=-2 ，所以 A 点坐标（ -2,0）设 C 点的纵坐标为 yc（ yc 是负数），那么线段 BC 的长度 BC = 4 -yc11ABC 的面积 =2* xA * BC =2* -2 * (4 -yc )=204 -yc =20解得： yc = -16所以， C 点坐标（ 0， -16） -以 A （ -2,0）为顶点 ,可设抛物线
10、表达式：y= a（ x+2 ）2 +0y= a（ x+2）2 ，它过点C（ 0，-16），将 x=0,y= -16 代入 y= a（x+2）2，解得： a= -4所以，抛物线表达式y= -4 （x+2 ）2【第二问】设 D 点的横坐标为 xD（ xD 是负数），11BDO 的面积 = 2* xD* BO= 2* xD *4=8x D =4x D 是负数 ,所以， xD= -4 ，又 D 点在直线 y=2x+4 上，将 xD = -4 代入 y=2x+4 ，解得 yD = -4D 点坐标（ -4, -4） -以 A （ -2,0）为顶点 ,.可设抛物线表达式：y= a（ x+2 ）2 它过点 D
11、（ -4，-4）将 x= -4,y= -4 代入 y= a（x+2）2，解得： a= -1所以，抛物线表达式y= - （x+2）2【第二组题型】5、若关于x 的方程x2+2mx+m 2+3m 2=0 有两个实数根x1、x 2，则x 1（ x2+x 1）+x22的最小值为（）6、平面直角坐标系中两定点A（ -5，0,），B（ 3，0），抛物线 y=ax2+bx-30（a 0）过 A 、 B，顶点为 C，点 P（ m， n）为抛物线上的一点。（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标。（2）当四边形APBC 为梯形，求P 的坐标。37、已知抛物线 y= 4x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A 和 B
12、（ 2，0），与 y 轴相交于 C（ 0， -6）（ 1）求出抛物线的解析式和 A 点的坐标。（ 2） D 为抛物线的顶点，设 P 点（ t， 0），且 t 2，如果 BDP 与CDP 的面积相等，求P 点的坐标。8、在 xoy 直角坐标系中，点C（ 2， -3）关于 x 轴对称的点为A ，关.于原点对称的点为 B，抛物线 y=ax2+bx+c 过 A 、B 两点，且点 D（ 3，19）在抛物线上。【答案】5、若关于x 的方程x2+2mx+m 2+3m 2=0 有两个实数根x1、x 2，则x 1（ x2+x 1）+x22的最小值为（）解：方程 x2+2mx+m 2+3m 2=0 有两个实数根则
13、判别式 =（ 2m）2- 4* （ m2+3m 2） 0即： m2-3根据韦达定理， x1+x 2 = -2m-x1x 2 =m2+3m 2-又 x1（ x2+x 1） +x22= x 1x2 +x12 +x22=（x2+x1）2- x 1x2 【将代入】=（-2m ）2-（ m2+3m 2）=3m2- 3m+21515=3（ m-2）2+4则顶点（2，4）其图像为.由知，当 m 23时，已经把顶点包含在内，故，当 m= 1时，有最小值是 5246、平面直角坐标系中两定点A（ -5，0,），B（ 3，0），抛物线 y=ax2+bx-30（a 0）过 A 、 B，顶点为 C，点 P（ m， n）
14、为抛物线上的一点。（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标。（2）当四边形APBC 为梯形，求P 的坐标。解：【第一问】因为点 A （ -5， 0,）， B（ 3， 0）均为 x 轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为： y=a（ x+5）（ x-3）y=a（ x2+2x-15 ）y=ax 2+2ax-15a- 又已知，抛物线 y=ax2+bx-30- 根据恒等原理，式与式对应的系数相等。那么它们的常数项相等，即：-15a = -30解得： a=2将 a=2 代入式，解得抛物线解析式为： y=2x 2+4x-30 再对 y=2x 2+4x-30 变形即：y=2（ x2+2x ）-3
15、0y=2（ x+1）2 -32所以，顶点C 坐标（ -1,-32 ）.答：抛物线解析式为：y=2x 2+4x-30 ，顶点 C 坐标（ -1,-32）【第二问】四边形 APBC 为梯形，有两种情况，一是BP AC ，一是 AP CB（1）当 BP AC ，因为 A （ -5， 0），C（ -1，-32）0-（ -32）直线 AC 的斜率 k1= -5-（ -1） = -8 -因为 B（3， 0）， P（m，n）0- nn直线 PB 说完斜率 k2= 3- m= m -3 -因为 BPAC所以 =n即-8 = m -3化简： n = 24 -8m-因为 P（m，n）在抛物线上，所以，把 x=m
16、， y=n 代入 y=2x 2+4x-30中得： n=2m2+4m-30-.因为 =，消去 n，得： 24 -8m=2m 2+4m-30化简： m2+6m-27=0（ m+9 ）（m-3） =0解得： m= -9 ， m=3将 m= -9 代入中，解得， n=96，则 P 坐标（ -9 ， 96）将 m=3 代入中，解得， n=0，则 P 坐标（ 3， 0）与 B（ 3,0 ）重合，舍去故：当 BP AC 时， P 坐标为（ -9 ，96）（ 2） AP CB同理：直线 BC 的斜率 k3=8n直线 AP 的斜率 k4= m+5n由 K3=k4 ，得 8=m+5 即： n=8m+40- 因为
17、P（m，n）在抛物线上，所以，把 x=m ， y=n 代入 y=2x 2+4x-30 中.得： n=2m2+4m-30-由 =解得， m=7， m=-5将 m=7， m=-5 代入，解得 n=106， n=0即 P 坐标（ 7， 106），或 p（ -5，0）与 A （ -5，0）重合，舍去故：当 AP CB 时， P 坐标为（ 7，106）37、已知抛物线 y= 4x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A 和 B（ 2，0），与 y 轴相交于 C（ 0， -6）（ 1）求出抛物线的解析式和 A 点的坐标。（ 2） D 为抛物线的顶点，设 P 点（ t， 0），且 t 2，如果 BDP 与CDP
18、 的面积相等，求P 点的坐标。解：【第一问】因为抛物线与y 轴相交于 C（ 0， -6）将 x=0 ，y= -6 代入 y=34x2+bx+c ，解得： c = -63那么，抛物线解析式为：y= 4x2+bx -6抛物线与与 x 轴相交于 A （ 2， 0），将 x=2， y=0，代入 y=334x2+bx -6 ，解得： b=23 3故，抛物线解析式为： y= 4x2+ 2x -6.3 3将 y= 4x2+ 2x -6 变形3y= 4（ x2+2x -8 ）3y= 4（ x-2）（ x+4 ）令 y=0 ，解得 x=2 ，或 x= -4则与 x 轴相交的坐标为（2，0），（ -4， 0）已知
19、 B（2， 0），所以 A 坐标（ -4， 0）【第二问】3 3将 y= 4x2+ 2x -6 变形3y=4（ x2+ 2x）-633y=4（ x2+ 2x+1）-6 -4327y=4（ x+1）2 -427所以，顶点D 坐标为（ -1，-4 ）.27D 点纵坐标是 -4 ，线段 BP 长度为： P点横坐标 -B 横坐标 = t -21BDP 面积 = 2* yD* BP127=2* - 4 * t -2 (因为 t 2）27（ t -2） - =8设对称轴与x 轴相交于x 轴于 E，过顶点C 作 CF 平行于 x 轴交 DE 于F.1梯形 EFCP 面积 = 2 * EP+CF * EF1=
20、 2* （ xP-x D）+（ xC - x D ） * yC1= 2* t- （ -1） + 0- （ -1） * -61=2* （ t+2 ）*6=3（t+ 2） -三角形 CDF 面积 =12 * CF * DF .=1* xC - x D * yD-yC2=1* xC - x D * yD-yC2127= 2 * 0- （ -1） * - 4-（ -6）=3-8四边形 DEPC面积 =梯形 EFCP面积 +三角形 CDF面积= + = 3t +51- 8三角形 DEP 面积 =12 * DE * PE=1* yD * xP-xD 2127=2* - 4 * t -（ -1）27=8（
21、t +1） - 三角形 CPD 面积 =四边形 DEPC 面积 - 三角形 DEP 面积= - =24- 3t- 8又因为： BDP 与 CDP 的面积相等即： = 27（ t -2） =24- 3t8813解得： t = 5.答：如果 BDP 与 CDP 的面积相等，求P 点的坐标（135， 0）。8、在 xoy 直角坐标系中，点 C（ 2， -3）关于 x 轴对称的点为 A ，关于原点对称的点为 B，抛物线 y=ax2+bx+c 过 A 、B 两点，且点 D（ 3，19）在抛物线上。（ 1）求出抛物线的解析式，（ 2） P（ m， n）点在直线 y=2x+1 上，若 n 3，且 PAB=4
22、5 ，求出 P 点坐标。解：【第一问】因为点 C（ 2， -3）关于 x 轴对称的点为A ，所以 A （ 2， 3）C（ 2， -3）关于原点对称的点为B，所以 B（-2， 3）将 x=2 ，y=3 代入 y=ax 2+bx+c ，得 9=4a+2b+c- 将 x=-2 ， y=3 代入 y=ax 2+bx+c ，得 9=4a-2b+c-由 - 得： -4b =0，即： b=0那么， 式简化为： 9=4a+c-因为 b=0，故，抛物线的解析式为：y=ax2+cD （ 3，19）在抛物线上，将 x=3 ，y=19 代入 y=ax 2+c得， 19=9a+c- 由 -，解得： a=2将 a=2 代入，解得：c=1.所以，抛物线解析式：y=2x 2+1【第二问】A 、 B 的纵坐标为3P（m，n）， n 3，说明 P 在 AB 的下方。因为 PAB=45 ，所以直线 AP 的斜率 = tan45 = 1 则设直线 AP 的方程： y= x +b已知 A （ 2， 3），将 x=2，y=3 ，代入 y= x +b解得： b=1故：直线 AP 的方程： y= x +1-又 P 为直线 y=2x+1 与 y= x +1 的交点，y= x +1x=0y=2x+1解得：y= 1所以： P 坐标（ 0， 1）.