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1、.点集拓扑学期末考试一、单项选择题（每题1 分）1、已知 X a,b, c, d , e , 下列集族中，（）是 X 上的拓扑 . T X , , a, a, b, a,c, eT X , a, b, c, a,b, d, a, b, c, e T X , , a, a, bT X , a, b, c,d, e答案：2、设 X a, b, c ，下列集族中 , （）是 X 上的拓扑 . T X , , a, a, b, c T X , a, a, b, a,c T X , , a, b, a, c T X , a, b, c答案：3、已知X a,b,c, d , 下列集族中，（）是 X 上的拓
2、扑 . T X , , a, a, b, a, c, dT X , a,b, c,a, b, d T X , , a, b, a,c, dT X , a, b答案：4、设 X a, b, c ，下列集族中 , （）是 X 上的拓扑 . T X , , b, c, a,b T X , a, b, a, b, a,c T X , , a, b, a, c T X , a, b, c答案：5、已知X a,b,c, d , 下列集族中，（）是 X 上的拓扑 . T X , , a, b, a,c, dT X , a, b, a, c, d T X , , a, b, a,c, dT X , a, c,
3、a, c答案：6、设 X a, b, c ，下列集族中 , （）是 X 上的拓扑 . T X , , a, b, b, cT X , a,b, b, c T X , , a, a, cT X , a, b, c答案：7、已知X a,b,c, d ，拓扑T X , a, 则 b =（） X bb, c, d答案：8、 已知 X a, b, c, d ，拓扑 T X , , a , 则 b, c, d =（）.X b b, c, d答案：9、 已知 X a, b ，拓扑 T X , , a , 则 a =（）X a b答案：10、已知 X a, b ，拓扑 T X , , a , 则 b =（）X
4、 a b答案：11、已知 X a, b, c, d ，拓扑 T X , , a, 则 a =（）X a, b b, c, d答案：12、已知 X a, b, c, d ，拓扑 T X , , a, 则 c =（）X a, c b, c, d答案：13、设 X a,b, c, d ，拓扑 T X , , a, b, c, d , 则 X 的既开又闭的非空真子集个数 （） 1 2 3 4答案：14、设 X a,b,c ，拓扑 T X, a, b, c , 则 X 的既开又闭的非空真子集的个数为 （） 1 2 3 4答案：15、设 X a,b,c ，拓扑 T X, b, b, c , 则 X 的既开
5、又闭的非空真子集的个数为 （） 0 1 2 3答案：16、设 X a,b ，拓扑 T X , , b , 则 X 的既开又闭的子集的个数为（） 0 1 2 3答案：17、设 X a,b ，拓扑 T X , , a, b , 则 X 的既开又闭的子集的个数为（） 1 2 3 4答案：18、设 X a, b,c ，拓扑 T X , a, b, a,b, b,c , X 的既开又闭的非空真子集个数 （） 1 2 3 4答案：19、在实数空间中，有理数集Q 的内部 Q o 是（） Q R - Q R答案：20、在实数空间中，有理数集Q 的边界(Q) 是（） Q R - Q R答案：.21、在实数空间中
6、，整数集 Z 的内部 Z o 是（） Z R- Z R答案：22、在实数空间中，整数集 Z 的边界 (Z) 是（） Z R- Z R答案：23、在实数空间中，区间0,1) 的边界是（） 0,10,1 (0,1)答案：24、在实数空间中，区间2,3)的边界是（） 2,32,3(2,3)答案：25、在实数空间中，区间0,1)的内部是（） 0,1 0,1 (0,1)答案：26、设 X 是一个拓扑空间， A, B 是 X 的子集 , 则下列关系中错误的是（） d ( A B) d( A) d( B) A B A B d ( A B) d( A) d( B) A A答案 : 27、设 X 是一个拓扑空间
7、， A, B 是 X 的子集 , 则下列关系中正确的是（） d ( A B) d( A) d( B) A B A B d ( A B) d( A) d( B) A A答案 : 28、 设 X 是一个拓扑空间， A, B 是 X 的子集 , 则下列关系中正确的是（） d (A B) A B A B A Bd ( AB) d( A) d( B)d( d ( A)Ad ( A)答案 :29、已知 X 是一个离散拓扑空间，A 是 X 的子集 , 则下列结论中正确的是（）d ( A)d ( A)X Ad ( A)Ad ( A)X答案：30、已知 X 是一个平庸拓扑空间， A 是 X 的子集 , 则下列结
8、论中不正确的是（） 若 A, 则 d ( A) 若 A x0 , 则 d ( A) X A 若 A= x1, x2 , 则 d( A)X 若 AX ,则 d( A)X答案：.31、已知 X 是一个平庸拓扑空间， A 是 X 的子集 , 则下列结论中正确的是（） 若 A, 则 d ( A) 若 A x0 , 则 d ( A) X 若 A= x1, x2 , 则 d( A) XA 若 A x1 , x2 , 则 d ( A) A答案：32、设 X a,b,c, d ，令 B a, b, c, c,d , 则由 B 产生的 X上的拓扑是（） X , c, d, c, d,a, b, c X , ,
9、c, d,c, d X , c, a, b, c X , d, b, c, b, d, b, c, d 答案：33、设 X 是至少含有两个元素的集合，p X, T G X | p G 是 X 的拓扑，则（）是 T 的基 . B p, x| x X pB x| xX B p, x| x X B x| x X p 答案：34、 设 X a,b, c , 则下列 X 的拓扑中（）以 S X , , a 为子基 . X , a, a, c X , a X , a, b, a, b X , 答案：35、离散空间的任一子集为 () 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为 ()
10、 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：37、实数空间 R中的任一单点集是 () 开集 闭集 既开又闭 非开非闭答案：38、实数空间 R 的子集 A =1,1 , 1 ,1 , , 则 A （）234 R A0 A答案：39、在实数空间 R 中，下列集合是闭集的是（） 整数集a,b 有理数集 无理数集答案：40、在实数空间 R 中，下列集合是开集的是（） 整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集 Z答案：41、已知 X 1,2,3上的拓扑 T X ,1 , 则点 1 的邻域个数是（） 1 2 3 4答案：.42、已知X a, b , 则 X 上的所有可能的拓扑有（）1 个 2 个 3
11、个 4 个答案：43、已知 X = a, b, c, 则 X 上的含有个元素的拓扑有（）个3 5 7 9答案：44、设 ( X ,T ) 为拓扑空间 , 则下列叙述正确的为 () XT ,T XT ,T当 TT 时, U UT 当 TT 时,IUT答案：UTU T45、在实数下限拓扑空间 R 中，区间 a, b) 是（） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：46、设 X是一个拓扑空间， A, BX , 且满足 d ( A)BA , 则 B 是（） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：47、设 X1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2是 X 的拓扑， A1,2
12、 , 则 X 的子空间 A 的拓扑为 ( )T,2,1,2T , X ,1,2,1,2T, A,1,2 T , X ,1,2答案：48、设X1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2是 X 的拓扑， A1,3 , 则 X 的子空间 A 的拓扑为 ()T,1,3,1,3T, A, 1T, X ,1,3,1,3 T , X ,1答案：49、设X1,2,3 , T= , X ,1,2, 1,3, 1,2是 X 的拓扑， A2,3 , 则 X 的子空间 A 的拓扑为 () T ,3,2,3 T, A,2,3T, X ,2,3,2,3 T , X ,3答案：50、设 X1,2,3 , T
13、= , X ,1,2, 1,3, 1,2是 X 的拓扑， A 1 , 则 X 的子空间 A 的拓扑为()T, 1T , A,1,2T, X ,1,3,1,3 T, X ,1答案：51、设 X1,2,3, T= , X , 1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑， A 2 , 则 X 的子空间 A 的拓扑为 () T,2,1,2 T , A.T , X ,2T , X ,1,2答案：52、设 X1,2,3 , T= , X , 1,2, 1,3, 1,2 是 X 的拓扑， A3 , 则 X 的子空间 A 的拓扑为 ()T ,2,1,2T, X , 1,3T , X ,3T ,3答案：53、设
14、 R 是实数空间， Z 是整数集，则 R 的子空间 Z 的拓扑为（）T , ZT P (Z ) TZ T Z答案：54、设 XX1 X 2LX 6 是拓扑空间 X1, X2 ,L , X6的积空间 . P1 是 X 到 X1的投射，则 P1 是（） 单射 连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案：55、设 XX1 X 2LX 6 是拓扑空间 X1, X 2,L , X 6的积空间 . P2是 X 到 X 2的投射，则 P2是（） 单射 连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案：56、设 XX1 X 2LX 6 是拓扑空间 X1, X 2,L , X 6的积空间 . P3是 X 到 X3的投
15、射，则 P3是（） 单射 连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案：57、设 XX1 X 2LX 6 是拓扑空间 X1, X 2,L , X 6的积空间 . P4是 X 到 X 4的投射，则 P4是（） 单射 连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案：58、设 XX1 X 2LX 6 是拓扑空间 X1, X 2,L , X 6的积空间 . P5是 X 到 X5的投射，则 P5是（）单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案：59、设 XX1 X 2LX 6 是拓扑空间 X1, X 2,L , X 6的积空间 . P6是 X 到 X6的投射，则 P6是（） 单射 连续的单射满的连续闭映射
16、满的连续开映射答案：60、设 X1 和 X2 是两个拓扑空间， X1X 2 是它们的积空间 ,AX1 ， BX 2 ，则有（）A BA B AB A B ( A B) oAoBo( A B)( A) ( B) 答案：61、有理数集 Q 是实数空间 R 的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不对答案：.62、整数集 Z 是实数空间 R 的一个（）不连通子集 连通子集开集 以上都不对答案：63、无理数集是实数空间 R 的一个（）不连通子集 连通子集开集 以上都不对答案：64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集 , Z 为 X 的子集 , 若 YZ Y ,则 Z 为( )不连通子集 连通子集 闭集
17、开集答案：65、设 X1 , X 2 是平庸空间，则积空间 X1X 2 是（）离散空间 不一定是平庸空间平庸空间 不连通空间答案：66、设 X1 , X 2 是离散空间，则积空间 X1X 2 是（）离散空间 不一定是离散空间平庸空间 连通空间答案：67、设 X1 , X 2 是连通空间，则积空间 X1X 2 是（）离散空间 不一定是连通空间平庸空间 连通空间答案：68、实数空间 R 中的连通子集 E 为() 开区间闭区间区间 以上都不对答案：69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集E 为() 开区间闭区间区间 以上都不对答案：70、实数空间 R 中的连通子集 E 为() 开区间闭区间区间
18、区间或一点答案：71、下列叙述中正确的个数为（）（）单位圆周 S1 是连通的；（） R0 是连通的.（） R2 (0,0)是连通的（） R2 和 R 同胚 1 2 3 4答案：二、填空题（每题 1 分）1、设 X a, b , 则 X 的平庸拓扑为;答案： T X , 2、设 X a, b , 则 X 的离散拓扑为;答案： T X , a, b、同胚的拓扑空间所共有的性质叫;答案：拓扑不变性质4、在实数空间 R 中，有理数集 Q 的导集是 _.答案： R5、x d ( A) 当且仅当对于 x 的每一邻域 U 有答案： U ( A x)6、设 A 是有限补空间 X 中的一个无限子集，则 d( A
19、) =;答案： X7、设 A 是有限补空间 X 中的一个无限子集，则A =;答案： X8、设 A 是可数补空间 X 中的一个不可数子集，则d ( A) =;答案： X9、设 A 是可数补空间 X 中的一个不可数子集，则 A =;答案： X10 、 设 X1,2,3,X的 拓 扑 T X ,2,2,3,则 X的 子 集 A1,2的 内 部为;答案： 211 、 设 X1,2,3,X 的 拓 扑 T X ,1,2,3,则 X的 子 集 A1,3的 内 部为;答案： 112 、 设 X1,2,3,X的 拓 扑 T X , ,1,2,3, 则 X 的 子 集 A 1,2的 内 部 为答案： 113 、
20、 设 X1,2,3,X的 拓 扑 T X ,2,2,3,则 X的 子 集 A1,3的 内 部为;答案：14、设 X a,b, c , 则 X 的平庸拓扑为;答案： T X , 15、设 X a,b, c , 则 X 的离散拓扑为答案： T X , a, b, c, a, b,a, c, b, c16 、 设 X1,2,3,X的 拓 扑 T X , ,2,3,2,3, 则 X 的 子 集 A1,3的 内 部为;答案： 317 、 设 X1,2,3,X的 拓 扑 T X , ,1,3, 1,3 , 则 X 的 子 集 A1,2的 内 部为;答案： 1.18、 f : XY 是拓扑空间 X 到 Y
21、的一个映射，若它是一个单射， 并且是从 X 到它的象集 f ( X )的一个同胚，则称映射 f 是一个.答案：嵌入19、f : XY 是拓扑空间 X 到 Y 的一个映射，如果它是一个满射， 并且 Y 的拓扑是对于映射 f而言的商拓扑，则称 f 是一个;答案：商映射20、设 X ,Y 是两个拓扑空间， f : XY 是一个映射，若 X 中任何一个开集 U 的象集 f (U ) 是 Y中的一个开集，则称映射 f 是一个答案：开映射21、设 X ,Y 是两个拓扑空间， f : XY 是一个映射，若 X 中任何一个闭集 U 的象集 f (U ) 是 Y中的一个闭集，则称映射 f 是一个答案：闭映射22
22、 、若 拓扑 空间 X 存在 两个 非空的闭 子集 A, B , 使得 A B, A B X , 则 X 是 一个；答案：不连通空间23 、若 拓扑 空间 X 存在 两个 非空的开 子集 A, B , 使得 A B, A B X , 则 X 是 一个；答案：不连通空间24、若拓扑空间 X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则 X 是一个答案：不连通空间25 、设 Y 是 拓扑 空间 X 的一 个连 通子 集， Z X 满足 Y ZY ，则 Z 也是 X 的 一个;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：
23、在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；答案：可商性质28、若任意 n 1个拓扑空间 X1, X 2 ,L , Xn , 都具有性质 P , 则积空间 X1 X 2LX n 也具有性质P ，则性质 P 称为;答案：有限可积性质29、设 X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集A, B , 使得 ABX , 则称 X 是一个；答案：不连通空间 .三判断（每题 4 分，判断 1 分，理由 3 分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()答案 : 理由： 设 X 是离散空间， Y 是拓扑空间
24、， f : XY是连续映射，因为对任意A Y ，都有1f1( A) 是 中的开集，所以 f : X Yf （ A) X , 由于 X 中的任何一个子集都是开集，从而是连续的 .2、设 T 1,T 2 是集合 X 的两个拓扑，则 T 1T 2 不一定是集合 X 的拓扑 ()答案 : 理由：因为（ 1） T 1 ,T 2是 X 的拓扑，故 X ,T1， X ,T ，从而 X ,T 1 T 2 ；（）对任意的A, BT1T ，则有 A, BT1且 A, BT ，由于 T1,T2 是 X 的拓扑，故A B T1 且 ABT2 ，从而 ABT1T ；（）对任意的TT1T2 ，则 TT1 ,TT2 ，由于
25、 T1, T2 是X的拓扑，从而UTT1 ,UUT2,故UUT1T；U T T综上有 T 1T 也是 X 的拓扑3、从拓扑空间 X 到平庸空间 Y 的任何映射都是连续映射（）答案 : 理由：设 f : XY 是任一满足条件的映射，由于 Y 是平庸空间，它中的开集只有 Y , 易知它们在 f 下的原象分别是 X , 均为 X 中的开集，从而 f : XY 连续 .4、设 A 为离散拓扑空间 X 的任意子集，则 d A（）答案 : 理由：设 p 为 X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以 p 是 X 的开子集，且有p I A p，即 p dA,从而 d ( A).5、设 A 为平庸
26、空间 X （ X 多于一点）的一个单点集，则 dA（）答案：理由： 设 A y ,则对于任意 xX , x y , x 有唯一的一个邻域X ，且有 yX( Ax) ,从而X( Ax)，因此 x 是 A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域 X ，有 X(A y),所以有 dAX A.6、设 A 为平庸空间 X 的任何一个多于两点的子集，则d AX （）答案：理由：对于任意 x X , 因为 A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域 X ，且有 X( Ax)，因此 x 是 A 的一个凝聚点，即 xd ( A) ，所以有 d AX .7、设 X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集A,
27、 B , 使得 AB, ABX（）答案：理由： 设 X 是一个不连通空间，设A, B 是 X 的两个非空的隔离子集使得ABX , 显然.AI B，并且这时有 :B B X ( B A) (B B) B从 而 B 是 X 的 一个闭子 集， 同理 可证 A 是 X 的 一 个闭子 集 ，这 就证 明了 A, B 满 足A B, ABX .8、若拓扑空间 X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间 ()理由： 这是因为若设 A 是 X 中的一个既开又闭的非空真子集，令BA ，则 A, B 都是 X 中的非空闭子集，它们满足 A BX ，易见 A, B 是隔离子集，所以拓扑空间 X
28、是一个不连通空 .五简答题（每题4 分）1、设 X 是一个拓扑空间， A, B 是 X 的子集，且 A B . 试说明 d ( A)d (B) .答案：对于任意 xd ( A) , 设 U 是 x 的任何一个邻域，则有 U( A x), 由于 AB ，从而U (B x)U( A x)，因此 xd ( B) ，故 d (A)d (B) .2、设 X ,Y, Z 都是拓扑空间 . f : XY ,g : YZ 都是连续映射， 试说明 g o f : XZ 也是连续映射 .答案：设 W 是 Z 的任意一个开集，由于 g : YZ 是一个连续映射，从而 g 1(W ) 是 Y 的一个开集，由 f : XY 是连续映射，故 f1 (g 1(W ) 是 X 的一开集，因此 ( g o f ) 1 (W )f1( g1 (W )是 X 的开集，所以 g o f : XZ 是连续映射 .3、设 X 是一个拓扑空间， AX . 试说明：若 A 是一个闭集，则 A 的补集 A 是一个开集 .答案：对于