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1、以小见大用好函数定义域慈溪市三山高级中学315300黄启明函数作为高中数学的主线， 贯穿于整个高中数学的始终。 函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的， 然而在解决问题中不加以注意， 常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的思维品质是十分有益的。本文结合数例谈谈如何用好函数定义域。1 确定函数定义域的原则当函数 y=f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合。当函数 y=f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x 轴上投影所覆盖的实数的集合。当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的
2、实数的集合。当函数 y=f(x)用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。基本上可分为自然定义域与限定定义域两类：如果只给函数的解析式（不注明定义域），其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围，称为自然定义域；如果函数受应用条件或附加条件所制约，其定义域称为限定定义域。定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考试题中，通过函数性质或函数应用来考查具有隐蔽性，不为人们所注意，即主要求限定定义域，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点，以先分析定义域来帮助解决问题。2 函数定义域的解题功能2.1导向功能函数的定义域对许多数学问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域
3、，有助于启迪思路，理顺解题线索。2【例 1】解方程 2 x 13 x 12分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。简解：考虑函数f(x)=2 x2 13 x 1 , 定义域为x | x1或 x1当 x 1 时， f(-1)=2当 x1 时，易证f(x) 为增函数，故有f(x)f(1)=13 2 2原方程的解为x11 / 42.2简化功能巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。【例 2】 判断函数f(x)=2x2的奇偶性。| x2|2分析：从定义域入手可化简解析式。简解： Q 函数的定义域为2,0U 0, 22x2f(x)=xQ f( x) f(
4、x)yf ( x) 为奇函数2.3显隐功能从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。【例 3】 已知 3x22y26x , 求 x2y2 的最大值。分析：已知等式有两个作用，一是可将y2用 x 表示消元，二是确定x 的取值范围定义域。简解：由 3x22 y 26x得 y 23x3 x22Q y203x3 x20得 0 x 2x2y2x23x21x39， x0,23 x222222.4 制约功能函数由定义域和对应法则确定，函数图案和性质受定义域制约，因此从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。【例 4】 求函数 f(x)=
5、2cos x的递减区间。xsin()分析：三角变形是定义域基础上的恒等变形。2 / 42sin(x)x简解： f(x)=2x4cos()sin()4 242其定义域为 x | x22k, kZ减区间为 (4k, 54k), kZ223 函数定义域的外延3.1数列问题函数的定义域实质是变量的允许值范围，在高中数学的其他内容也有涉及变量的，都应及时考虑其取值范围，在数列题中， n 就是一个变量，应关注 n 的取值范围解题。【例 5】已知数列n*an满足Sn2 an(n N ), Sn是 an的前 n 项和，a21Sn。 ，求简解：当 n2 时， Snn( SnSn 1)2Sn 1n2SnnS2 S
6、3 LSn 11 2 3 Ln 2 ,( n 3)S3S4Sn3 45nS22,( n3)Sn（ n-1 ）nQ S10, S21Snn(n1) (nN * )23.2解析几何问题在解析几何求曲线的方程中， 动点 P(x,y) 就是一个变量， 所以在求出的轨迹方程中应考虑其纯粹性。【例 6】设抛物线y24px (p0) 的准线与 x 轴的交点为M，过点 M做直线 l 交抛物线于A，B 两点，求线段AB中点的轨迹方程。简解：设P(x,y)3 / 4Q M(-p,0)可设 l ：y=k(x+p)再联立方程y24 px得到 k2 x2(2 k 2 p 4p) x k 2 p20V (2 k 24p) 24k 4 p216k 2 p216 p20k 211k1且 k 0又 xx1x22pk 2 p2k2y k ( 2 p k 2 pp)2pk2k消去 k 得： y22 p( xp) (xp)3.3 排列组合题在排列数与组合数中，n 也是一个变量，应考虑n 有意义的取值范围。【例 7】 求值 Cn5 nCn9 1n简解：联立方程5 n09 n 0n 5-nn+1 9-n得到 4 n 5当 n 4 时，原式 5当 n 5 时，原式 16定义域虽小，但它对数学问题的解决有一石激起千层浪的效应，忽视定义域对解题的影响，很有可能会落个“一着不慎，满盘皆输”的下场。4 / 4