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1、二项式定理复习课樊加虎一教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。1、会正用 . 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。例 1 、求 x2 (23x) 6的展开式中含 x5 的项 .解： x 2C 63 23 (3x) 34320 x5例 2 、求 (1 2x) 5 (1 3x) 4 展开式中前三项之和 .解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。(1 2x)5 (1 3x)41
2、5 2x 10 ( 2x)2 1 4 3x 6 (3x) 2(1 10 x 40x 2)(1 12x 54 x2)1 2 x26 x 2。展开式前三项之和为 1 2x 26 x2 .例 3 、求 ( 2x23x1) 8 展开式中 x 项.解：若将 (2x 23x1)8 化为 (2x 1) 8 ( x1) 8来确定展开式中x 项，解法不甚合理，注意到2x 2 与 x 项无关，可转化为求( 3x 1) 8展开式中 x 项，即C87 ( 3x)24x ，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。2、会反用 . 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例题和习题可逐步加深
3、。例 4 、求值 (1) 4nC 1n 4n 1C n2 4n 2C nn 1 41；1(2) 1 2C n122 C n2( 2) n C nn .解： (1) 原式即为 (41) n 的展开式，原式5n .(2) 注意符号问题，原式(12) n(1) n .例 5 、设函数 f ( x)1 5x10 x210 x35x4x5 .求 f (x) 的反函数 f 1 ( x) .解：如果 f (x) 的表达式中第一项1 改为 -1 ，则为 ( 1 x) 5 的展开式 . f (x) ( 1 x)52 . 易得 f 1 ( x) 15 x 2 ( x R)3、会变用 . 不少问题需要将数式变形后，
4、再运用二项式定理。这一层次要求学生有定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。例 6 、求 ( x2 1 2) 3 展开式中的常数项 . x2解：一般有两种变形方法，其一变形为( x212 ) 2 3 ，其二变形为 ( x1) 6 .后xx者较简，其常数项即为第四项T4C 6320 .例 7、设 1 x x 2x3x16x17a0a1 ( x 1) a2 ( x 1) 2a17 ( x 1)17 ,求 a2 .解：为了比较系数，将左式变形为 1( x 1) 1 ( x 1) 12( x 1) 117 .再展开之，展开式中 (x1) 2 项的系数即为 a2 ，a2 C 20C 3
5、1C 42C1715C183816 .4、会设项 . 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例 8 、 (23 3)100 的展开式中含有多少个有理项？100rr100 rn ， r解： Tr 1 C100r 2 233 ,耍使其为有理数，即m ( n， m 为非负整23数).2得r 2(50n)，且r3m. r 是6的倍数 ,可取r 0，6，12, ， 共17个 .9611例 9 、设 (3x3x 2)n 展开式的各项系数之和为 t ，其二项式系数之和为 h ，若t h 272 ，试求展开式中 x 2 项的系数 .解：此题应先定n，令 x1 ,得 t4n而 h2n4n2n272
6、.得n，.21611由 4rrn4.Tr 1 C 4r (3x 3 ) 4 r ( x 2 ) r2 得 r4. x 2 项系数为32C 44 3015、会取值 . 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行这一基本思维方法的训练.例 10 、求 ( x2 y)( 2x y) 2 ( x y)3 展开式中各项系数的和 .解：设原式a0 x 6a1 x5 ya2 x4 y2a6 y 6 .令 x 1， y1，得 a0 a1a2a6216 .在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题例 11 、求 (15 3xy)15 展开式中所有无理系数之和.解：考虑到展开式中无理系
7、数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为： (15 3x)153x15 ， (y)15y15 .有理系数之和为3( 1)2 .令x y 1，得展开式各项系数之和为 (15 3 1)15 .展开式中所有无理系数之和为 (15 3 1)15 2.例 12 、设 (1 x x 2 )na0a1 xa2n x2 n .求 a0a2 a4a2n 的值 .解：令 x1，得 a0 a1 a2a2 n3n .令 x1，得a0 a1a2a2 n1.两式相加得 a0a2a4a2n3n1 .2在取值过程中，要培养学生观察能力3例 13 、设 (1 2x)100a0a1 (x1) a2 (x 1) 2a100
8、( x 1)100 .求 a1a3a5a99的值解：令 x2 ，得 a0a1a2a1005100 .令 x0 ，得a0 a1a2a1001 .两式相减，得 a1a3a9951001 .26、会构造 . 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。例 14 、证明下列各式(1) 1 3C n19C n23n 1C nn 13n C nn4n .(2) (Cn0 ) 2(C n1 ) 2(C n2 )2(C nn )2C 2nn .证： (1) 构造二项展开式 ( ab)
9、nC n0a nC n1 a n 1bC n2 a n 2 b2C nnb n .令 a1， b3 得 (1 3) n1 C n1 3 C n2 32C nn 3n即1 3C n19C n23n 1 Cnn 13n C nn4n .(2) 构造恒等式 (1x) n (1x) n(1x) 2 n .两边含 x n 项的系数相等，即 C n0CnnC n1 Cnn 1C n2C nn 2C nn C n0C 2nn C nmC nn m ， 0 m n (C n0 )2(C n1 ) 2(C n2 ) 2(C nn ) nC 2nn .7、会综合在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列
10、、不等式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。4例 15 、若实数 x， y 满足 xy 1，求证： x5y511161证：令,y,则x22x 5y 5( 1) 5( 1)515 25 41 .2216216例 16 、已知等差数列 an 及等比数列 bn 中， a1b1，a2b2 ，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当n2 时， anbn证：设 a1b1a，a2b2b ,则 ana(n 1)(ba) ,bna( b )n 1a( aba ) n 1a(1ba) n 1a1C n11b aC n21 (ba ) 2aaaaa( b a ) n 1 1 (n1) b a a(n1)(
11、ba)anaaa利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15 ）及“减项放缩法”（例16 ）较为普遍。二教案评析通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。5