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1、云南省峨山彝族自治县第一中学2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理第 I 卷（选择题）一、选择题（ 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 . ）1.已知，则CA.B. 3 ，C.D.2.已知 i 是虚数单位，复数z 满足 1i z2i ，则 z 的虚部是（A ）A1B iC 1D i3.双曲线 x2y 21(a 0,b 0) 的一条渐近线与直线x 2y 10 平行，则双曲线的a2b2离心率为（ D）A 3B 5C 3D5224. 一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如右图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为AA. 1 ： 3B. 1 ： 4C.
2、1 ： 5D. 1 ： 65. 如图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是BA.B.C.D.6. 下列判断正确的是 ( C )A. “x2” 是“ln( x 3)”的充分不必要条件B. 函数 f ( x)x291的最小值为 2x29C. 当 ，R 时，命题“若, 则 sinsin”的逆否命题为真命题D. 命题“0 2019 x20190”的否定是“x00 , 2019x2019 0 ”x ，- 1 - / 77.与直线 y4x1平行的且与曲线yx3x2 相切的直线方程是（D）A.4 xy0B.4xy40或 4xy 20C .4xy2 0D.4xy0或 4x y408. 已知 tan
3、(4)1，且20 ，则 sin 22sin 2等于（ B）2A.25B2C2255D 5559如右图所示，AD是三角形 ABC的中线， O是 AD的中点，若，其中，则的值为AA.B.C. D.1，则 a，b，c 的大小关系是 （C ）10. 设 alog 20182019,b log 2019 2018, c2019 2018A.B.C.D.11. 教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有4 个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2 名教师选择同一个国家的概率为（C）A 3B 4C 9D 989163212. 已知 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数， g( x)f ( x)
4、x2 ，且当 x,0 时， g( x) 单调递增，则不等式f (x1)f ( x2)2x3 的解集为（B）A. (3 ,)B.(3,)C. (,3)D.(,3)22第 II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共20 分）13. 数列中，若，则 _ 34_ 2 x1,( 1x0)114. 已知函数 f (x)x2 ,(0x,则1f ( x)dx 的值为 _ .11)415. 抛物线 y2=4x 上的点到（ 0， 2）的距离与到其准线距离之和的最小值是_ 5 _.- 2 - / 716. 已知球O的内接圆锥体积为2，其底面半径为1O的表面积为25，则球34三、解答题（共70
5、分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）17. (本小题 12分 )在平面四边形ABCD 中，已知ABC3,ABAD ,AB1.4（ 1）若 AC5 , 求ABC 的面积；（ 2）若 sinCAD254, 求 CD 的长， AD5解：（ 1）在ABC 中， AC 2AB2BC 22AB BC COS ABC5 1 BC 22 BCBC224 0 ,解得BC2BCS ABC1 AB BC sinABC112212222（ 2）BAD900 , sinCAD25cosBAC25sinBAC5555sinBCAsin(BAC )42 (cosBACsinBAC )2 ( 255 )102
6、25510在ABC 中，ACAB,AB sinABC5sinABCsinBCAACBCAsinCD 2AC 2AD 22 ACAD cosCAD5 162545135CD1318. (本小题 12分 )如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD / / BC,ADC90 ，平面PAD底面 ABCD ，Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点且 PM3MC ， PA PD 2 ,BC1 AD1，CD =2 2- 3 - / 7(1) 求证：平面 PQB 平面以 PAD；(2) 求二面角 MBQC 的大小解：（ 1）ADBC ， BC1AD ， Q 为 AD 的中点， 四边
7、形 BCDQ 为平行四边形，2CDBQ ADC90AQB 90,即 QB AD 又平面PAD平面ABCD ，且平面 PAD平面 ABCDAD ， BQ平面 PAD BQ平面 PQB ，平面 PQB平面 PAD （ 2） PAPD ， Q 为 AD 的中点， PQAD 平 面 PAD平 面 A B C D， 且 平 面 PAD平 面A B C DA ，D PQ平面 ABCD 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系，则平面 BQC 的一个法向量为n0,0,1，Q 0,0,0, P 0,0,3 , B0,2,0,C1,2,0，设 Mx, y, z ，则 PMx, y, z3 ， MC1x,2 y,
8、z ，x3x31x4 PM3MC ， y3 2y，3，yz33z2z34在平面 MBQ 中， QB0,2,0， QM3 , 3 ,3，424设平面 MBQ 的法向量为 mx, y, zm QB02 y0则, 即3 x3 y3 z0m QM0424 平面 MQB 的一个法向量为 m1,0,3,- 4 - / 71,0,30,0,13 cos m, n2，2由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30 .19. (本小题 12 分 )已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 2an=2+Sn（）求证：数列 an 是等比数列；（）设bnan log2nnan ，求数列 b 的前 n 项和 T 解：
9、（）证明：数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 2an=2+Sn，可得 2a1=2+S1 =2+a1，解得 a1=2；n2时， 2an -1 =2+Sn -1 ，又 2an=2+Sn，相减可得2an-2 an-1 =2+Sn-2- Sn-1 =an，即 an=2an-1 ，可得数列 an 是首项、公比均为2 的等比数列；（）由（）可得an=2n， bnan log 2 an =n 2nTn1 2 2 223 23n 2n2Tn1 22 +2 23 + + n-1 2nn 2n 1 - 得： Tn222232nn 2n1整理得： Tnn1 2n 12数列 bn 的前 n 项和 Tnn 1 2n
10、 1220.( 本小题12 分 )已知椭圆 x2y21(a b 0) 的离心率为2 ，且经过点 A 2,0 a2b22求椭圆的标准方程；设 O为椭圆的中心，点D ( 2，0) , 过点 A 的动直线 l 交椭圆于另一点B，直线 l 上的点 C满足 OB OC4 ，求直线 BD与 OC的交点 P 的轨迹方程解：椭圆的离心率，且，- 5 - / 7椭圆的标准方程为，设直线 l 的方程为当t 存在时，由题意，代入，并整理可得，解得，于是，即，设，解得，于是，直线 BD与 OC的交点 P 的轨迹是以 OD为直径的圆除去 O， D两点，轨迹方程为，即，21（本小题10 分）已知函数f ( x)ln xa
11、x(aR) .（）当 a2 时，求 f ( x) 的单调区间；（）若对于任意的x(0,) ，都有f (x)0，求 a 的取值范围 .解：（）当 a2 时， f ( x） ln x2x ，f (x)的定义域为0，+f (x） 1212xxx1 ， 令 f ( x)1令 f ( x)0,即12x 0, 得 x0,即1 2 x0, 得 x22又f ( x)的定义域为0，+f ( x)的单调递增区间为（11）0，），单调递减区间为（，+22（）由题知f ( x)0 对于任意的 x(0,) 恒成立，即 ln xax0 对于任意的 x(0,) 恒成立，ln x(0,) 恒成立，等价于 a在 xx令 g(x)ln x ， g ( x)1 ln xxx2令 g (x)=0 ，解得 xe ，g (x)的递增区间为（ 0，e), 递减区间为 (e,+ )- 6 - / 7，即22（本小题10 分）已知函数 .（ 1）求不等式的解集；（ 2）若存在实数满足，求实数a 的最大值 .解：（ 1）当时，由，得当时，由，得当时，由，得所以不等式的解集为（ 2）由（ 1）知依题意有，即解得，故的最大值为 3- 7 - / 7