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1、.1 凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M，点 P、 Q 分别是 AMD 和 CMB 重心， R、 S 分别是 DMC 和 MAB 的垂心求证 PQRS证：过 A、C 分别作 BD 的平行线，过 B、D 分别作 AC 的平行线这四条直线分别相交于 X、 W、Y、 Z则四边形 XWYZ 为平行四边形，且XW AC XZ则四边形 XAMD 、 MBYC 皆为平行四边形由其对角线互相平分知MX 在 AMD 中线所在直线上，MY 在 BMC 中线所在直线上，且MP1MQMX = 3 = MY XY PQ故欲证原命题，只需证XY RS，这等价于XSDAPRMZQCWBYSY 2 SX 2 = RY 2
2、 RX 2 下证上式：由S 为 AMB 垂心知 SB AMSB WY同理 SA WX则勾股定理知SY 2 = SB 2 + BY 2 = BY 2 + SW 2 WB 2 = BY 2 WB 2 + SA 2 + WA 2 SX 2 = SA 2 + XA 2 得SY 2 SX 2 = BY 2 WB 2 + WA 2 XA 2 同理得RY 2 = YC 2 ZC 2 + RD 2 + DA 2, RX 2 = DX 2 + RD 2故 RY 2 RX 2 = YC 2 ZC 2 + DZ 2DX 2 由 XWDB YZ, WY AC XZ 有 BY = DZ , WB = XD , AW =
3、 YC, AX = ZC比较两式右边即有 SY2 SX 2 = RY 2RX 2由此即有 XY RS，从而得出 PQ RS，证毕02已知 E、 F 是 ABC 两边 AB、 AC 的中点， CM 、 BN 是 AB、 AC 边上的高，连线 EF 、 MN 相交于 P 点又设 O、 H 分别是 ABC 的外心和垂心，连接 AP 、OH求证 APOH 同苏炜杰 03证：引理：如图，设 BAP =, BAP = ，则 sin BAPsin BAP AP 与sin CAP= sin CAP.AP 重合引理的证明：事实上，式即sinsinsinAsin Asin A= sin Asin=sinsin A
4、 cot sin A = sin A cot cos A= 即 AP 与 AP 重合引理得证.B( )P ( P )AC回到原题：为了看得清，我们画两张图表示，过A 作 AQ OH = QA我们证明 AP 与 AQ 重合：由引理只需证sin 1sin 3sin 2= sin 4 先看右图，E、 P、F 三点共线，以A 为视点运用张角定理得sin BAC=sin 1+sin 2APAFAE综合上二式有ME P F NBC1111sin 1AF AN EMAP ANsin 1 =AM AEsin 2sin 2= AM AE NF 又易有 M、 B、 C、 N 四点共圆 AM AB = AN AC，
5、即2AM AE = 2 AN AF A3 4sin 1EM=NF sin 2再看右图， AQH = ANH = AMH = 90 ， A、 M、 Q、 H； A、 Q、 H、 N 分别四点共圆MEFO NQ HGBC MHQ = 3, BHQ = 4在 MOH与 BOH 中分别运用正弦定理有MOOHBOOHsin 3 = sin OMH, sin 4 = sin OBH 两式相除有sin 3=OM sin OMH，其中 MO sin OMH = OM cos OME = EM sin 4OB sin OBN过 O 作 OGBN = G，由 OGN = GNF = NFO = 90 知 OGNF
6、 为矩形 OG = NF , OB sin OBN = OG = NF sin 3EMsin 4 =NF 综合知式成立，故AP OH ，证毕03 设 H 为 ABC 的垂心， D、 E、 F 为 ABC 的外接圆上三点使得AD BE CF， S、 T、.U 分别为 D、 E、 F 关于边 BC、 CA、 AB 的对称点求证 S、 T、U 、H 四点共圆何长伟 02，但解法不同证：我们先证明一些关于四边形HUST 的性质：延长 AH 、 BH、 CH 与 ABC 外接圆交于A 、 B 、 C 熟知 H 与 A 关于 BC 对称， H 与 B 关于 AC 对称， H 与 C 关于 AB 对称又 D
7、 与 S 关于 BC 对称，故四边形CDHA S 关于 BC 对称故 DHA S 必为等腰梯形四边形HFUC 与 HTEB 同理亦然 HS = A D , HU = C F, HT = B E, SHA = HA DBU记FCE 所对圆周角为，由 AD BE, DE = AB 知DE 所对角为 C, AC 所对角为 B, CE 所对角为AD 所对角为 B C SHA = HA D = B C 11UHC = HC F = CC F = 2BC BF= 2BC CE = A , AHC = 180 C HA = B UHA= 180 C HU + AHC = C + 同理可得 THA= B +
8、得 UHS = B；得 SHT = C又 A D = A B + AB + AD = 2 90 B + C + B C = 2 90 A D = 2R sin 90 HS = 2R sin 90 同理可计算出 C F = 2R sin90 B +, BE = 2R sin90 C从而 HU = 2R sin90 B +, HT = 2R sin 90 C由此有 HS : HU : HT = sin 90 : sin 90 B +: sin 90 C综上我们得出了一些关于四边形HUST 的性质：HUsin 90 B +HTsin90 C UHS = B, SHT = C,HS =sin 90 ,
9、 HS =sin 90 同AD BHETCAS下面我们利用这些性质判定H 、U、 S、 T 四点共圆：作 XYZ ABC，即 X = A, Y = B, Z = C在 ZY 与 X 异侧作 ZYW1212交于 W，连= 90 B + , YZW = 90C YW与 ZW接 XW ZWY = 180 ZYW + YZW = 180 180 BC = B +ZXY X、 Z、 W、Y 四点共圆 XZW + XYW = 180 * XYW = XYZ + ZYW = B + 90 B += 90+, WXY = WZY = 90 C 由正弦定理知WYsin WXYsin 90 CHTWX= sin
10、XYW =sin 90 += HS C = 180 XZYW又 YWX = YZX = C = THS，WZX HTS.从而 WYX = HTS同理可得WZX = HUS * ， HTS + HUS = 180 从而 H 、T、 S、 U 四点共圆证毕评注： 这一作法的出发点是想通过对线段长度以及角度的计算揭示H 、T、S、U 四点的一些并不明显的性质，利用熟知结论 “垂心关于边的对称点在外接圆周上”将类似线段转化为可求的，刻画了“对称”条件角度的推算多次利用弧长，刻画了“平行”条件，后半部论证精神为同一法事实上， 一个四边形中若已知一个顶点引出的三条线段及两个角，则这个四边形便已确定4 在
11、ABC 中， D 是 BC 边上一点，设 O1、O2 分别是 ABD、 ACD 外心， O 是经过 A、O1、 O2 三点的圆的圆心，记 ABC 的九点圆圆心为 Ni ，作 O E BC = E求证 NiEAD证：以 ABC 外接圆圆心为原点建立复平面，设其半径为1设 A cos , sin、 B cos, sin、 C cos , sin， ADB =由正弦定理知ABAC12AO 1= 2 sin= AO2=且 BAO CAO1 O1AO2 = BAC，从而 AO1O2 ABC 且相似比为2 sin由 BAO1 = 90知 ABC 变换为 AO1O2 为一个绕 A 逆时针旋转 90 及以 A
12、 为1中心位似比为的位似变换之积2 sinAO = cos, sin对应复数为cos i sin，则 AO 对应复数为 cos i sin1cos 90+ i sin 90 = A 记为 2 sin则 A =1 sin + i cos 2 sinAOO2sin sin+O1 O = A + A ，+ cosNiO 的横坐标即为=2 sin2 sinBE DC E 点坐标为sin+2 sin, sin又由九点圆性质，设O 为外心， G 为重心，则NiO3OG =2 且 Ni 与 O 在 G 异侧设 G 为 G 点对应复数， Ni 为 Ni点对应复数，则Ni =3G =3A + B + C 22于
13、是 Ni坐标为cos,sin + 2 sin22设 NiE 斜率为 k，则sin+ 2 sin sinsinsink = cos2= cos= tan sin+sin sin+2 2 sin又 ADC = ， AD 斜率亦为 tan，故 AD 与 BiE 平行，证毕05 设 ABC 的边 AB 中点为 N， A B，D是射线 AC 上一点，满足 CD = BC，P 是射.线 DN 上一点，且与点A 在边 BC 同侧，满足PBC = A，PC 与 AB 交于点 E，BCBCEA与 DP 交于点 T求表达式TC EB 的值解：我们先证明 CP 平分 ACB，且 CP BD 用同一法作 ACB 平分
14、线 CP 交 DN 于 P ，则 BCP = ACP = CBD = CDB = 1 C2 P C BD我们证明 P BC = A事实上，这只须证BCP ADB P (P )A又由于我们已知BCP = ADB = 12 CCPBC故只须证BD= AD ENBTC注意到 P C BD ，故 CPCTBD = BT 又 CD = BC，故 CTCDBT = AD D对直线 NTD 截 ABC 运用梅涅劳斯定理有BT CDANCT DANB = 1 N 为 AB 中点，AH = NBCTCDBT = AD ，得证从而 BCP ADB P BC = A PBC = P BC， P 、P、 A 皆在 B
15、C 同侧， P 与 P 皆在 ND 上， P = P即 CP 平分 ACB 且 CP BD BCEABC TD NA下证 TCEB = 2，对 ACD 截 BTN 有 EB DN AB = 1 N 为 AB 中点，BC2DN2NTTC =TD= 2 + TD CP 平分 ACB， EAAC，我们证明2NTAC即可EB= CBTD =CB CD = BC， 只须证 2NT CD = 1 TD AC对 BTC 截 AND 运用梅氏定理有DC AB NT2NT CDBCEACA BN TD= 1 ，即 TD AC= 1故 TC EB = 2综上所述，所求BCEAYC EB = 2 评注：从题目的问题
16、得到提示，使用梅氏定理，比例的转换方向明确.06 ABC 中， BD 和 CE 为高， CG 和 BF 为角平分线， I 是内心， O 为外心求证D 、I 、E 三点共线G、 O、F 三点共线证：记 BAC = A, ABC = B, ACB = C，BC = a, AB = c, AC = b， ABC 外接圆半径为 R，内切圆半径为 r易得 AO = R, AI =rA2, AD = c cos A = 2R sin C cos A, AE = 2R sin B cos A, sinAEAI = IAD = 2 , GAO = 90 C, OAC = 90 B由 AF + FC = b,
17、AF=c解得 AF =bcbcFCaa + c 同理可得 AG =a + bG由张角定理知， G、 O、 F 三点共线sin Asin GAOsin OACEAO=AF+AGsin A=cos B+cos CBRbcbca + ba + cbc sin A = R a + bcos B +a + ccos C 利用正弦定理2 sin A sin B sin C =sin A + sin Bcos B +sin A + sin Ccos C2 sin A sin B sin C = sin Acos B + cos C + sin B cos B + sin C cos C利用 sin B co
18、s B + sin C cos C =1sin 2B + sin 2C= sinB + C cos B C = sin A cos2B C 消去 sin A 得2 sin B sin C = cos B + cos C + cos B C 再对左边积化和差有cos B C cos B + C = cos B + cos C + cos B Ccos A = cos B + cos C *另一方面， D、 I 、 E 三点共线sin Asin EAIsin DAIAI=AD+AEsin Asin 2Asin 2ArA= 2R cos A sin B +2R cos A sin C sin2消去
19、sin2A 、去分母有r sin B + sin C= 2R sin A sin B sin C cos A又 S = 2R 2 sin A sin B sin C =1r a + b + c ，2 2R sin A sin B sin C=a + b + c = sin A + sin B + sin C正弦定理 r2R故 sin B + sin C = sin A + sin B + sin Ccos A右边和差化积，右边利用熟知的三角形内恒等式sin A + sin B + sin C = 4 cos AB2 cos 2cosC2 有ABCABC2 cos 2cos2= 4 cos 2c
20、os 2cos 2 cos AAO FIDHC.消去 2 cosABC2再对 cos 2 cos2 积化和差有B CB CB + CB CAcos2=cos2+ cos2cos Acos21 cos A = sin2 cos ABC2Acos A2 cosBCsinA= cos A2 cos2sin222BCB + C2 cos2cos2= cos A cos B + cos C = cos A 积化和差 故 D、 I 、 E 三点共线cos A = cos B + cos CG、O、F 三点共线 D、 I 、 E 共线G、 O、F 三点共线，证毕7 ABC 中， A, B 为锐角， CD 为
21、高， O1、O2 分别为 ACD 和 BCD 内心问，ABC 满足怎样的充要条件，使得A、 B、 O1、 O2 四点共圆解：所求充要条件为C = 90 或 A = B其中 C =ACB, A =CAB, B =CBA 记 AC = b, BC = a, AB = c，外接圆半径为RC过 O1 作 O1H AB = H ，过 O2 作 O2I AB = I ， O2E O1H = E，则11O 1FO 2 O AB =2 A, OBA =2 BE12故 A、 B、O1、 O2AHDIB四点共圆 BAO1= FO 2O1 1 O2E AB， FO2E = 2 B FO 2O1 = EO2F O1O
22、2E， FO 2O1 =1B O1O2E2 A B1 21 2B A2 1= tanB A2 = 2 O O E O O E =2tan EO O2记 O1H =r A, O2i=rB ， ADC=90 ，由直角三角形内心性质知r A =DH=AD + DC AC2BD + CD BCO1Er A rBAD BD + BC AC同理 r B =2, tanEO 2O1= HI=rA + rB= 2CD + AB AC BC 易有 AD = b cos A = 2 R sin B cos A, BD = 2R sin A cos B, BC = 2R sin A, AC = 2 R sin B,
23、AB = 2R sin C代入有tan EO2O1=sin B cos A sin A cos B + sin A sin B=2 sin B sin A + sin A + B sin A sin B2 sinBAcosB A2+ A22 cos B2 sin B sin A + sin Csin A sin B.sinB ABABA cos B2+ A )22 sin 2 ( cos2 BA = cos22 sin A sin B + sin C sin A sin B下面分情况讨论：1 A = B 时，左右两边皆为 0，式成立；2 A B 时， sinB A2 sin A sin B +
24、 sin C sin Asin B = 2 cos 22可约去，得B AB + A2cos2利用 2 sin A sin B = cos BA cos A + B= cosB A + cos C, 2 cos 2B A= cos B2B AB + A= cos A + cos BA + 1, 2 cos2cos2三式代入化简得cos A + cos B + cos C = 1 + sin A + sin B sin CABC而由三角形内熟知恒等式cos A + cosB + cos C = 1 + 4 sin 2 sin 2sin2得A + BA BA + BC1 sin A + sin B
25、sin C = 1 + 2 sin2cos2 2 sin2sin2 = 1 + 2 cosCABA + BABC2cos2 cos2= 1 + 4 sin 2sin2cos 2结合两方面知sinCC C = 90 2= cos 2综合 1 、 2 知 C = 90 或 A = B故 A、 B、O1、 O2 四点共圆 C = 90或 A = B得证8 ABC 的外心是 O，三条高线 AH、 BK、CL 垂足分别为 H、 K、L A0、 B0、C0 分别是AH、BK 、CL 中点， I 为内切圆圆心， 内切圆切 ABC 三边 BC、CA、AB 于 D、E、F 证明 A0D、 B0E、 C0F 、O
26、I 四线共点证：首先以引理的形式给出本图的一些内在特征引理 1：AB CD ，CD 中点为 Q， AB 中点为 R，AC 与 BD 交于 P，则 P、Q、R 三点共PCDQ线 也即 QR、 AC、 BD 三线共点A引理 1 的证明： PCD 与 PAB 为以 P 为位似中心的位似关系，PQ 为 CD 中点， PR 为 AB 中点故 Q、 R 为一对对应点，从而P、 Q、 R 三点共线RB引理 2： A0I 与 BC 交于 D ，则 D 为 ABC 在 A 内旁切圆与BC 的切点，并由此有O在 DD 中垂线上.引理 2 的证明：延长DI 交 I 于 J，延长 AJ 交 BC 于 D 过 J 作 I 切线交 AB、 AC 于 B 、 C ，则 B C DI , OI BC B C BC ， AB C 与 ABC 构成以 A 为位似中的位似关系显然 I 为 AB C 在 A 内旁切圆，故J 为旁切圆切点