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1、江苏省昆山市学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题. 已知倾斜角为的直线经过点() ， ( ， ) ，则的值为 .【答案】【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得，解出即可 .【详解】倾斜角为的直线经过点，解得，故答案为 .【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题. 已知直线和直线平行，则的值为【答案】【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.【详解】由题意得，所以，（舍） .【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题. 若长方体的三个面的对角线分别为，则长方体的对角线长度为【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为，则，所以，即对角线长为.【点睛
2、】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题. 直线被圆截得的弦长等于- 1 - / 15【答案】【解析】【分析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为，弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设, 则，解得，所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和，则这两个平面之间的距离是【答案】或【解析】【分析】先根据条件
3、得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为，因此这两个平面之间的距离是或- 2 - / 15【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段, 则，因为点为中点 , 所以，从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 如图，在棱长为的正方体中，四面体的体积等于【答案】- 3 - / 15【解析】【分析】根据割补法得结果.【 详 解 】 四
4、面 体的 体 积 等 于 正 方 体 体 积 减 去 四 个 小 三 棱 锥 体 积 ， 即.【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 如图，空间四边形中，平面，为的等边三角形，为棱上的一个动点，则的最小值为【答案】【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【 详解 】 先 将 平 面展开 到 平 面,则的 最小 值 为 此时 ,.【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是【答案】- 4 - / 15【解析】【分析】可得直线分别过定点（，）和（，）且垂直，可得三角换元后，由三角函数
5、的知识可得的最大值【详解】由题意可得（，），由于直线，即（），显然经过定点（，），注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，则有，设，则，且，可得 ， ，）（）， ， ， ， ，当 时，（）取得最大值为，故答案为：【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题. 关于异面直线，有下列四个命题过直线有且只有一个平面，使得过直线有且只有一个平面，使得在空间存在平面，使得，在空间不存在平面，使得，其中，一定正确的是【答案】【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确，举反例说明命题错误.【详解】过直线上任一点作直线平行线, 则直线必相交，即
6、确定一个平面，因为若存在平面，使得，则，与为异面直线矛盾，- 5 - / 15故过直线有且只有一个平面，使得；当时可得，这与不一定垂直矛盾，所以错；过直线上任一点作直线平行线, 则直线必相交， 即确定一个平面，过直线上任一点作直线平行线, 则直线必相交，即确定一个平面，因此平面平面，再任作平面，使得，即得，；若，则, 与为异面直线矛盾，所以不存在平面，使得，；综上，正确的是【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题. 已知圆，圆，若圆上存在点，过点做圆的两条切线，切点为、，使得，则实数的取值范围是【答案】【解析】设 ( ， ) ，则. 又在圆上，则( ) ( ) . 由
7、得，所以. 已知为平面内一点，且，若，则点的横坐标等于【答案】【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点的横坐标.【详解】设，则由，得，即，解得- 6 - / 15【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题. 若实数：满足，则的最大值为【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值 .【详解】因为，所以在单位圆上，且因为，所以，因为, 其中为中点 .又因为, 所以, 即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题. 已知直线经过点且斜率
8、为（）求直线的一般式方程- 7 - / 15（）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程【答案】（）（）（）【解析】【分析】（）先写点斜式方程，再化一般式，（）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】 ()() 设所求方程为因为过点，所以()设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 如图一个圆锥的底面半径为，高为，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱（）试用表示圆柱的高（）当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少【答案】（）（）【解析】- 8 - / 15【分析】（）
9、根据比例关系求结果，（）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（）（）圆柱的全面积当时，答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 如图，在直三棱柱中，点为中点，若, 求证：（）（）【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）连接交于，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（）根据线面垂直判定定理依次证得即得结论 .【详解】连接交于，连接 ,- 9 - / 15因为直三棱柱，所以四边形为矩形，所以 为的中点，又因为为的中点，所以,因为，所以（）因为四边形为矩形，所以, 又,
10、所以,因为所以，因为四边形为矩形，所以四边形为正方形，,因为所以.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.() 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.() 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.() 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，为等边三角形，是中点，平面与棱交于点 .（）求证：；（）求证：平面；（）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值 .- 10 - / 15【答案】（）见解析（）见解析（）【解析】【分析】（）由为正方形，可得再由线面平行的判定可得平面. 再由面面平行的性质可得；（）由为正方形，可得结合面面垂直
11、的性质可得平面从而得到. 再由已知证得由线面垂直的判定可得平面；（）由（）知，利用等积法把用表示，则的值可求【详解】（）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，- 11 - / 15所以.（）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是 中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（）解：由（）知，则【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题. 如图， 已知圆的方程为，过点的直线与圆交于点、，与负半轴交于点。设，（）若，求出、
12、两点坐标（）当直线绕点转动时，试探究是否为定值 .- 12 - / 15【答案】（）（）【解析】【分析】()设坐标表示点坐标，代入圆方程解得坐标，即得直线方程，与圆方程联立解得坐标，() 设坐标表示、点坐标，代入圆方程，化简可得.【详解】（）设，因为，所以，所以，因此，由得（）设,因为，所以因此，【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的 . 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用- 13 - / 15推理，到最后必定参数统消，定点、定值
13、显现. 如图，已知圆和圆（）求两圆所有公切线的斜率（）设为平面上一点， 满足：若存在点的无穷多条直线与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的倍，试求所有满足条件的点的坐标【答案】 ()或或， ()【解析】【分析】（）先设公切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列方程，解得结果，（）设直线点斜式方程，再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系，利用条件列等量关系，最后根据恒成立解得点坐标 .【详解】（）由题意得公切线斜率存在，设公切线方程为所以所以或，或，解得或或，（）设圆和圆的圆心到过直线距离分别为，- 14 - / 15则设，过直线方程为，所以，因此或，或，因为存在无穷多条直线，所以，即【点睛】定点的探索与证明问题() 探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点() 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关- 15 - / 15