点差法求解中点弦问题.docx

《点差法求解中点弦问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点差法求解中点弦问题.docx（25页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、最新资料推荐点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。【定理1】在椭圆 x2y21（ a b 0）中，若直线 l 与椭圆相交于M、 N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦a2b 2MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为kMN ，则 kMNy0b2x0a2 .22x1y11,(1

2、)( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则有a 2b 2证明：设M、 N 两点的坐标分别为(1) (2) ，x2 2y221.( 2)a 2b2得 x1 2x2 2y1 2y2 20.a 2b2y2y1y2y1b2.又kMNy2y1y1y22yyk MNyb 2.x2x1x2x1a2x2,x22x.xa 2x1 x1x【定理 2】在双曲线 x 2y 21（ a 0， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于M、N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是a 2b2弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNy0b 2.x0a 222x1y11,(1)a 2b

3、2证明：设 M、 N 两点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有x22y221.(2)a 2b 2(2) ，得 x12222y2y1y2y1b2(1)a2x2y12 y20.2 .bx2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y0y0.k MNy0b2.x2x1,x22x0x0x0a2x1【定理 3】在抛物线y 22mx(m 0) 中，若直线 l 与抛物线相交于M、 N两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 k MNy0m .1最新资料推荐证明：设 M、 N 两点的坐标分别为y122mx1 ,(1

4、)( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有22mx2 .(2)y2(1)(2) ，得 y12y222m( x1x2 ).y2y1 ( y2y1 ) 2m.x2x1又kMNy2y1 , y2y12 y0 .kMNy0m .x2x1注意：能用这个公式的条件：（ 1）直线与抛物线有两个不同的交点；（ 2）直线的斜率存在 .一、椭圆x2 y2 1 内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B 两点，使线段 AB 被 P 点平分，求此直线的1、过椭圆 164方程【解】法一：如图，设所求直线的方程为y 1k(x 2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k

5、1)2 16 0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 、x2 是 (*) 方程的两个根，8 2k2 kx1 x24k2 1 .P 为弦 AB 的中点， 2 x1 x2 4 2k2 k1，所求直线的方程24k2 1 .解得 k 2为 x 2y 4 0.法二：设直线与椭圆交点为A( x1， y1)， B(x2， y2)，P 为弦 AB 的中点， x1 x2 4， y1 y2 2.又 A、B 在椭圆上，2222 16.两式相减，得22) 4(y22x14y1 16， x2 4y2(x1 x21y2) 0，即 ( x1 x2)(x1 x2 ) 4(y1 y2

6、)(y1 y2 ) 0.y1 y2 x1 x2 1，x1x2 4 y1y22即 k 112. 所求直线方程为y 1 2( x 2) ，即 x 2y 4 0.AB2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3 的弦中点的轨迹方程【解答】解：设P（ x， y）， A （ x1， y1）， B（ x2， y2 ） P 为弦 AB 的中点， x1+x 2=2x， y1+y 2=2y 则+=1， +=1 ， 得，=3，整理得： x+y=0 由，解得 x=所求轨迹方程为：x+y=0 （ x）点 P 的轨迹方程为：x+y=0 （ x）；2最新资料推荐3、（ 2013 秋 ?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5

7、）的椭圆被直线3x y 2=0 截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 【解答】解：设椭圆=1（ a b 0），则 a2 b2=50又设直线 3x y 2=0 与椭圆交点为 A（x1，y1）， B （x2， y2），弦 AB 中点（ x0， y0） x0= ，代入直线方程得 y0= 2= ，由，得， AB 的斜率 k=?= ? =3=1， a2=3b 2联解 ，可得 a2=75， b2=25 ，椭圆的方程为：=1 故答案为：=1x2y 21（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率 e24、例 1（ 09 年四川） 已知椭圆2b 2，a2右准线方程为 x2 .( )求椭圆

8、的标准方程；( )过点F1lMN226l的直线与该椭圆相交于M N两点，且|22|，求直线的方程.、FF3c2ea2 ,a2, b1, c1 .所求的椭圆方程为x221.解：（）根据题意，得a 22y2.xc（）椭圆的焦点为F1 ( 1,0) 、 F2 (1,0) . 设直线 l 被椭圆所截的弦MN的中点为 P( x, y) .由 平 行 四 边 形 法 则 知 ： F2 MF2 N2F2 P . 由 | F2 M F2 N |2 26得 ：3| F2 P |26 .( x 1) 2y 226 . 39若直线 l 的斜率不存在，则l x 轴，这时点 P 与 F1 (1,0)重合， | F2 M

9、F2 N | | 2F2 F1| 4，与题设3最新资料推荐相矛盾，故直线l 的斜率存在 . 由 kMNyb2得：yy1.y 21( x2x). xa2x1x22代入，得 ( x1) 21 ( x2x)26. 整理，得： 9x245x170 .29172解之得： x，或 x.33由可知， x17 不合题意 .x2 ，从而 y1 .ky1.333x 1所求的直线 l方程为 yx1，或 yx 1.6、（ 2009 秋 ?工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点 M ，则点 M 的坐标为【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x1，y1），（ x2， y2），则，两式相

10、减，得=0，（y1 y2）（ y1+y 2） = 3（ x1 x2）（ x1+x 2），= 3，因为直线斜率为3，=3，两交点中点在直线x=， x1 +x 2=1 ， 3= 31（ y1 +y2）， = 所以中点 M 坐标为（ ， ）故答案为：（ ， ）7、如图，在 RtDEF 中， DEF90 ,| EF | 2,| EF ED | 5，椭圆 C：x2y 21，以 E、F2a 2b 2为焦点且过点D ，点 O 为坐标原点。（）求椭圆C 的标准方程；（）若点 K 满足，问是否存在不平行于EF 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点M 、N 且 | MK | NK | ，若存在，求出直线l 的斜

11、率的取值范围，若不存在，说明理由。解：（）略：OK1 ED. x2y21 ， K (0,1 )y3432D（）分析： | MK | | NK | ，设 MN 的中点为 H ，则 KHMN ，此条件EOFx涉 及4最新资料推荐到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差法”设 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), H ( x0 , y0 ) ，直线 l 的斜率为 k （ k0) ，则 3x124y12123x224 y2212 由得：3(x1x2 )( x1 x2 ) 4( y1y2 )( y1y2 ) 03x04 y0 k 0 又 | MK | | NK | ，则 KH

12、MN ，y0132 ? k1x0 2k, y0， 点 H (x0 , y0 ) 在 椭 圆 内 ， 则， 从 而 解 得x02x0 2y0 21 k 211k1 且 k 043422、x2y21 ab0 不垂直于x轴的任意一条弦， P 是 AB 的中点， O 为8已知 AB 是椭圆a2b2椭圆的中心 .求证：直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值 .证明设 A x1 , y1, B x2 , y2 且 x1x2 ，则 x12y121，（1） x2 2y221 ，（ 2）a2b2a2b212 得： x12x2 2y12y2 2，a2b2y1y2b2 x1x2， kABy1y2b2 x1x2.

13、x1x2a2 y1y2x1x2a2y1y2又 kOPy1y2，kABb21，kABkOPb2（定值） .x1x2a2a2kOP二、双曲线1、过点 P(4,1)的直线 l 与双曲线x24 y21 相交于 A、 B 两点，且 P 为 AB 的中点，求 l 的方程22 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 y12 1， x2 y22 1，两式相减得：4414(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)( y1 y2) 0， P 为 AB 中点， x1 x2 8， y1 y2 2.y2y1 1，即所求直线l 的斜率为 1， l 方程为 y 1x 4，即 x y 3 0.x2 x

14、122、设 A、B 是双曲线x2 y 1 上的两点，点N(1,2)是线段 AB 的中点， (1) 求直线 AB 的方程；2(2) 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C、D 两点，那么A、 B、 C、D 四点是否共圆？为什么？分析 要证明 A、 B、 C、D 四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、 B、 C、D 四点共圆，则CD 垂直5最新资料推荐平分 AB，据圆的性质知，圆心在直线CD 上， CD 中点 M 为圆心，只要证明 |AM| |MB | |CM| |MD |即可 解析 (1) 依题意，可设直线 AB 方程为 y k(x 1) 2，x2y2 1，得(2 k2) x2 2k(2 k)

15、x (2 k2 ) 2 0由2y k(x 1) 2，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)， x1 、x2 是方程 的两个不同的实根，所以 2 k2 0.由韦达定理得， x1 x2 2k(2 k).由 N(1,2)是 AB 的中点得， x1 x2 1.2 k22即 k(2 k) 2 k2.解得 k 1， 直线 AB 的方程为 y x 1.yx 1，(2) 由22 2x 30，解得 x1 3， x2 1.得 xx2 y 1，2A(3,4)， B( 1,0) CD 是线段 AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为y x3.y2由 x2 2 1，得 x2 6x110.y x 3，设 C(x3

16、， y3)，D (x4， y4)， CD 的中点为 M(x0，y0)由韦达定理，得x3 x4 6，x3 x4 11.从而 x1x ) 3， y x 3 6. 2( x03400| CD| 22) 2( x224x3 x4 410，( x x ) ( y y )x )2( x3 x4)343434|CM| |MD | 210. |MA | |MB |(x0 x1)2 (y0 y1)2 2 10.A、 B、 C、D 四点到 M 的距离相等，所以A、B、 C、 D 四点共圆23、已知双曲线的方程为x2 y2 1.试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理

17、由分析 易判断出点B(1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90 . 解析 解法一：设被B(1,1) 所平分的弦所在的直线方程为y k(x 1) 1，代入双曲线方程x2y2 1，2得 (k2 2)x2 2k(k 1)x k2 2k 30. 2k(k 1)2 4(k2 2)(k2 2k 3)0.解得 k .故不存在被点k2解法二：设存在被点B 平分的弦MN，设 M(x1， y1)、N(x2，y2)221yx1 2 1，则 x1 x2 2， y1 y2 2，且22y2x2 1.26最新资料推荐 得 (x1y1 y21

18、 x2)( x1 x2) 2(y1 y2)( y1 y2) 0. kMN 2，故直线 MN ：y 1 2(x 1)12x xy 1 2(x 1)，由2消去 y 得， 2x2 4x 3 0， 80.x2 y 1，2这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在点评 由本题可以看到：如果点B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在如果点B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在因此，点B 在内部无需检验，点B 在外部必须检验关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部4、设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 223x4

19、的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C 的方程；（）设直线 l : y2x1与双曲线 C 交于 A, B 两点，求 AB ；（）对于直线l: ykx1 ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线 C 的交点 A, B 关于直线l : yax4 (a 为常数 ) 对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由解：（）由y223x4得 y 22 3( x2) ，p3，抛物线的顶点是( 2 ,0) ，准线是33c2321,x.在双曲线 C 中，3.a21 , b21.321232a.3c23双曲线 C 的方程为 3x2y 21.y2x1,得： x 24x 20 .（）

20、由2y23x1.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1x24, x1 x22.| AB |(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (1 2 2 )(4) 24 22 10 .（）假设存在这样的实数k，使直线 l 与双曲线 C 的交点 A, B 关于直线 l 对称， 则 l 是线段 AB的垂直平分 线 .因 而 a1，从 而l: y14 .设线段AB的中 点为 P( x0 , y0 ) . 由 k ABy0b2得 ：kxx0a2k7最新资料推荐ky03 ，ky03x0 . x0由 y01x04 得： ky0x04k . , 由、得： x0k, y03.k由y0kx01得： 3 k21， k2 . 又由3x 2y 21, 得： (k23)x222 0.ykx 1.kx直线l与双曲线C相交于A B4k28(k23)06，且k 23.符合题意的k、 两点， ，即 k 2的值存在， k2 .5、在双曲线 y 2x21 的一支上有不同的三点 A x1 , y1，B26 ，6 ，C x2 , y2与焦点 F 0 , 51213的距离成等差数列证明线段AC的垂直平分线经过某一点, 并求出该点坐标 .解 : 依题意有y1y226，2212 13,2212 13,1213y112x113y212 x2则k ACy1y212 x1x2x1x2 ，13y1y2