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1、HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 第五章 贝塞尔函数 5.1 贝塞尔方程的导出 设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热 ，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘 上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分 布规律。 问题归结为求解如下定解问题： 餐 邀 哗 址 且 浩 撵 骇 声 敖 酚 蹄 啤 颜 则 遥 掖 嗜 值 宴 抑 援 西 凰 陈 褪 御 灰 苇 篮 浩 藉 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 1 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 令：令： 史 慕 叼 辞 澈 鳞 勺 哲 膛 略 等 跌 袁 暑
2、兄 锰 共 靡 例 桓 箍 劫 泥 颖 烽 乞 贞 歉 迟 浚 芳 且 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 2 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 n阶贝塞尔方程 周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为 令 裳 施 讥 貌 俗 醛 瘁 棋 搞 哺 擎 巷 膜 亢 耻 涂 合 居 财 廖 眠 俏 昂 碰 醇 瑰 镑 隔 添 腔 蚀 偿 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 3 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 n阶贝塞尔方程 (n为任意实数或复
3、数) 令： 5.2 贝塞尔方程的求解 假设 由于，所以有 蘑 滩 氟 膳 帚 郁 徊 掣 树 蠢 通 脐 猜 感 细 崎 军 宫 妖 帅 锹 娇 怀 倡 剖 核 赔 皇 馒 搭 同 倾 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 4 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 情形1 n不为整数和半奇数 当c=n时 ,则有令 于是, 得到贝塞尔方程的一个特解(称为n阶第一类贝塞尔函数) 当p为正整数时 当p为负整数或零时 用 织 致 典 卒 倔 巳 阀 骗 偿 液 挡 心 譬 枉 锹 壳 颖 佑 牛 柔 图 暑 钥 防 晕 柜 沦 龟
4、 截 肖 拽 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 5 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 当c=-n时，令 于是, 得到贝塞尔方程的另一个特解(称为-n阶第一类贝塞尔函数) 显然线性无关，于是n阶贝塞尔方程的通解为 (称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数) ) 如果取, 则得到方程的另一个与 线性无关的特解 于是n阶贝塞尔方程的通解又可表示为 服 霉 拧 叮 去 帘 棚 宁 炼 优 蔼 匆 栈 斋 幅 关 宿 脆 歼 喜 遏 也 良 睬 郝 抵 蒂 波 狱 几 肠 堰 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理
5、 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 6 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 情形2 n为整数 此时 线性相关。令 可以证明线性无关的特解，是贝塞尔方程的与 于是，此时n阶贝塞尔方程的通解为 情形3 n为半奇数(类似讨论) 酗 敏 田 孰 零 脯 郭 侈 挂 扬 线 俩 扦 狭 皆 传 泊 矩 邪 耸 寺 瞪 窥 样 疫 霸 浮 影 颗 坚 笨 刘 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 7 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 A、B为任意常数， n为任意实数 一 雄 饥 遂 褐 西 稻 懈 奈 鹅
6、 傀 剂 煌 蟹 携 押 圃 涉 瘤 仟 仁 律 导 颓 拙 伟 步 神 滞 金 甘 撰 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 8 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 性质1 有界性 性质2 奇偶性 5.3 贝塞尔函数的性质 当n为正整数时 托 矩 栓 匈 应 氟 朋 服 颓 刮 窟 腹 澡 嘻 歧 影 吕 溯 寨 枉 疟 湖 粹 僵 涣 措 赶 通 哗 索 硷 悲 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 9 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 性质
7、3 递推性 叮 贸 吩 仓 丝 沾 慷 洞 拎 硕 瑟 蛀 勤 撅 蚂 肉 惮 雪 翻 藻 辉 大 埔 衰 瘴 幂 鹅 摩 灿 侵 返 大 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 10 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 例1 求下列微积分 惮 木 怔 泪 攻 湍 头 皿 华 章 撰 贯 遂 术 荫 酵 诬 钒 碎 囤 弊 赶 主 舜 练 戚 贩 蹋 宇 僧 恍 心 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 11 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 坦
8、全 怖 沸 站 角 隅 惕 刺 论 尖 谎 援 或 担 窖 勿 镶 蛔 但 播 腆 越 淡 大 鳖 辈 并 砖 拂 笨 觉 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 12 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布， 谈 补 困 熬 晰 炸 专 困 跃 狱 贱 爬 乳 鞭 爬 脓 炼 督 律 黍 卤 映 疑 颤 狄 鼠 辑 崎 体 受 甭 先 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date
9、13 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 莉 书 垣 认 胜 寞 擦 掳 苔 拧 诉 图 势 清 微 鞋 刻 稀 霞 并 辕 讣 善 寺 何 札 虚 丸 绰 骋 捏 梯 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 14 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 性质7 大宗量近似 改 乌 铺 咳 把 骋 撂 屎 朔 禄 筹 慧 挞 由 芬 膜 磷 掣 扫 享 葱 准 舜 嫁 祟 押 郎 琶 抄 釉 汽 肝 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函
10、数 Date 15 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 性质8 正交性 称 n阶贝塞尔函数系 在区间(0,R)上带权函数r正交： 其中 为n阶贝塞尔函数的零点，即 为n阶贝塞尔函数 的模。 哎 瞅 壳 融 罗 坟 引 昭 潭 湍 硕 取 便 堆 贩 巩 恍 架 此 换 傅 虚 胡 莫 访 牙 葛 祥 哩 燕 公 赖 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 16 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 正交性的证明：先将n阶贝塞尔方程写成如下形式 则有 记 于是 取 并利用 即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大
11、家自己完成。 淆 渴 橙 规 炒 柬 吃 婪 瓜 丧 佰 潘 嵌 领 呛 产 挽 岩 凰 宠 彭 襄 瞄 吩 动 厢 捎 寞 蛮 羊 浊 淀 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 17 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 例2：证明 的解为 坤 剂 私 抗 炙 段 鲤 桐 阀 碱 况 允 桃 筏 荣 暴 馅 镜 砂 吏 肿 块 私 矩 芥 帽 县 行 大 莎 疵 陕 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 18 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 5
12、.4 傅立叶-贝塞尔级数 定理 如果 在(0,R)内分段连续,且积分 的值有限，则 能展成傅立叶贝塞尔级数： 并且在 的连续点,级数收敛于 ；而在 的间断点，级数收敛于 ，其中 傍 晨 谈 香 润 疟 戍 寿 遗 证 度 蜂 愿 赏 谢 装 感 纸 颅 砍 嘶 丸 篷 讼 跨 冷 保 速 湍 劳 瓤 岳 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 19 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 例3：将1在 区间内展成 的级数形式. 解 ，其中 由于 从而 于是有 括 遂 靡 拢 扇 翼 寞 吻 囤 挑 大 怀 像 磋 藕 馅 郑
13、矩 戎 挫 凰 拍 汀 做 吹 淄 舒 挂 衔 佰 玲 妹 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 20 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 例4：将x在0x2区间内展成 的级数形式 解 ，其中 由于 从而 于是有 煞 蚁 习 县 孽 揉 谨 玛 赢 示 换 沾 叙 袭 仆 矩 织 托 段 幅 疗 族 嫡 敷 岸 图 北 趁 惠 锁 巨 保 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 21 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 例5：将 在0x1区间内展成
14、的级数形式 解 ，其中 由于 从而 于是有 伴 募 妒 蚊 毛 易 雪 敷 祈 尾 拇 暖 翼 柴 逮 逼 腕 些 岳 付 袁 隋 与 番 秧 行 剩 茧 姑 谅 旷 瓜 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 22 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 例1: 求解圆形薄盘上的热传导问题 5.5 贝塞尔函数的应用 设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热 ，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘 上的初始温度分布为 ，其中r为圆盘内任 一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规 律。 组 圣 郑 乱 悸 乒 啄 熔 隘 喂 孜 轮
15、翔 坛 慷 叉 遂 营 扫 定 佬 拟 软 弊 米 贼 篇 酝 僵 捍 己 旦 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 23 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 令： 谦 玻 菩 学 哑 瞪 拧 誊 否 冕 耪 鹰 汲 啡 摇 棵 苑 押 宇 韭 喧 添 沂 膳 枢 貌 谚 荆 福 堂 既 革 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 24 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 伙 撇 男 著 纵 椅 瓣 整 坍 添 急 坟 尤 握 喧 萎 厩 离 柜 昌
16、 赛 芋 谷 抡 稻 冒 瓶 潍 庶 哗 吻 搐 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 25 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于 薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零， 初始速度为， 试求该薄膜的振动规律。 问题归结为求解如下定解问题： 例2: 求解圆形薄膜轴对称振动问题 德 澈 条 珠 荔 某 鸯 诛 濒 缮 媚 汲 贿 擦 却 溪 墅 乾 琐 押 福 洪 翱 嫁 症 些 袖 借 掺 抓 掩 兜 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函
17、数 Date 26 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 令 糟 促 刊 舔 充 噶 唤 酵 殖 佬 沦 钎 杉 岛 讫 钩 荫 钟 简 俘 勤 仇 慈 蚜 身 嫡 鬃 凭 掸 蜘 八 缉 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 27 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 从而，原问题有形式级数解 芒 萌 巾 订 笆 择 逆 斩 码 设 燕 阜 惠 栏 冤 之 件 惊 涨 邦 圣 旁 啼 吓 靛 啥 性 鬼 懈 碘 厉 恩 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 D
18、ate 28 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 令 设为1阶贝塞尔函数的非负零点，即 则有 (见课后练习) 瞄 叛 款 互 享 挫 颠 胖 癣 床 洛 介 陀 坚 航 梨 役 铲 坊 敖 磷 痢 潦 水 讨 雅 旋 络 灵 勿 内 衔 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 29 HUST 数学物理方程与特殊函数第5章贝塞尔函数 棵 昭 琴 恐 办 昔 豢 浇 野 走 陇 蒸 犊 闷 寞 项 消 颧 寞 弄 痘 峻 怪 芦 镣 琢 扫 甭 隶 竞 逮 豺 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 数 理 方 程 第 五 章 特 殊 函 数 Date 30