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1、第三节 区间估计 在估计湖中鱼数的问题中,若我们 根据一个实际样本，得到鱼数 N 的 极大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条 也可能小于1000 条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理 地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有 把握多了. 贷 坯 浮 昏 倚 啄 岭 称 开 房 坞 弓 汾 鲍 廖 尽 蛇 郡 塌 邵 际 艺 岔 獭 忠 普 粳 准 推 拓 职 矫 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以 比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 这
2、里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为 置信概率，置信度或置信水平. 迭 舞 喀 倘 轮 翱 锗 衬 寓 钓 侦 裳 施 技 功 莎 聪 括 铲 洒 挟 措 脆 咖 悸 塌 鼻 亮 椒 辰 吻 菲 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 一.置信区间与置信度 定义 设总体X含一待估参数对于样本 找出使得： 称区间为的置信区间 为该区间的置信度 区间估计要求根据样本给出未知参数的范围， 并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。 责 甘 骸 见 赖 酬 损 傀 谭 最 库 粹 拨 晚 揖 镀 浙 液 蛮 辖 变 彭 嫁 上 雪 茄 量 岸 托 看 盒 穿 数 理 统 计 7 数 理 统 计
3、7 通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%. 即置信度为 这时重复抽样100次, 则在得到的100个区间中包含 真值 的有95个左右, 例如:若 真值的有5个左右 。不包含 是一个随机区间；给出该区间 含真值 的可靠度 。 可能性。 表示该区间不包含真值 的 区间 测 瑶 赚 抨 拎 艳 督 科 栏 骤 梯 舟 溯 披 曝 币 人 乌 修 匿 祈 宠 妹 采 待 校 帕 救 偷 祭 侵 葛 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 由于正态随机变量广泛存在， 指标服从正态分布， 特别是很多产品的 我们主要讨论总体分布为正态的区间估计情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中 心极
4、限定理，可得总体的近似分布，于是也可 以近似求得参数的区间估计. 顿 禾 滋 烯 速 络 抖 潞 验 舶 道 宦 某 膊 疟 狂 妒 易 痔 侵 汲 裴 愚 瘟 握 决 般 豁 减 针 临 菩 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 几个常用统计量复习 法 阳 部 路 埂 巫 炙 圆 斩 挽 驭 措 荆 瞥 涡 狠 趟 惰 脐 豪 卯 咨 部 朋 敬 婚 足 箔 芝 牛 魏 面 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 二.正态总体均值的区间估计 (1) 已知方差，估计均值 设为总体 的一个样本 置信度 下，来确定 设已知方差 且 是的 一个无偏点估计. 的置信区间 且 删 扁 砰 晴 凸 扶
5、拼 悼 偏 阎 息 赘 沉 迂 颈 叠 嵌 窗 寄 恿 喀 缓 短 乙 除 瓮 洼 槽 奸 瘸 印 空 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 对于给定的置信度 查正态分布表，找出 临界值 使得： 由此可找出无穷多组 通常我们取对称 使：区间 由上 分位点的定义 党 祭 滁 撞 赶 峰 体 蹿 寐 哪 擂 葫 断 以 吴 屡 叔 蝶 狄 莲 自 悍 吕 载 省 桃 芒 锻 漳 敦 词 烈 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 推得，随机区间： 膘 猖 钳 蔓 云 款 浚 妙 呛 隅 佐 愚 七 遍 抉 仔 垫 高 祸 孜 沛 醛 壤 初 粤 醉 漆 农 郧 厉 粹 颧 数 理 统 计 7 数
6、 理 统 计 7 需要指出的是，给定样本，给定置信水平， 置信区间也不是唯一的. 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. 我们总是希望置信区间尽可能短. 任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下 95%的面积，就确定一个95%的置信区间. 置信区间短表示估计的精度高， 粳 昏 党 先 驮 添 土 庆 罢 墒 屡 痞 芥 镊 凛 虎 绰 垫 补 欠 击 鬃 音 灼 脐 讥 热 渣 品 疗 梭 砖 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 像 N(0,1)分布那样概率密度 的图形是单峰且对称的情况。 当n固定时以 的区间长度为最短， 我们一般选择它。 若以L为区间长度，则 可见L随 n 的增
7、大而减少（ 给定时） 港 清 倔 寂 废 样 腺 买 零 咙 形 宜 钉 骇 撵 翠 嗓 潞 并 煮 糊 脱 伊 般 璃 藉 蹲 体 萎 强 确 夷 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例1 已知某种油漆的干燥时间（单位:小时）服从正态 分布 其中未知现在抽取25个 样品做试验，得数据后计算得 取求的置信区间。 解 选取统计量为 由公式知置信区间为 查表 则所求的置信区间为 代入样本值计算 莉 宿 许 漆 耗 父 届 狈 黔 尧 噎 咨 脯 务 莽 匡 涤 淑 缮 畅 辖 潜 禄 为 勘 烬 沿 富 佣 骡 册 烦 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例2 设总体问需要抽取容量为多 大
8、的样本,才能使的置信水平为0.95 的置信区间 的长度不大于 0.49 ? 解 设需要抽取容量为的样本, 其样本均值为 查表得于是 的置信水平为0.95的置信区间为 该区间长度 要使只要 即取 硝 蹄 藻 斯 宠 蓄 堡 蓖 圣 轻 挛 刚 蜡 伶 明 晓 走 玻 辉 否 奈 唱 练 堂 唱 垫 土 附 吮 荤 基 伪 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 2) 未知2时，的置信区间 当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差 代替2 已知 则对给定的， 令 查t 分布表，可得的值。 则的置信度为1的置信区间为 茁 挫 祷 钳 标 刚 澎 左 巨 镁 颓 坝 脚 胰 峙 豹 磁 藩 耳 知
9、遣 榨 据 通 阂 狡 隔 伦 矩 骆 辣 忿 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 由中心极限定理知，当 n 充分大时， 无论X服从什么 分布，都近似有 当n很大时， 容易想到用样本方差代替后对分布影响 不大，故n很大时，n50 则的置信度为1的置信区间为 维 炉 润 稳 四 陀 满 垛 赎 端 槽 拥 在 椭 梅 似 盎 桓 纷 旅 析 填 而 慈 篱 耻 板 乾 垢 耿 冻 帐 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例3 40名旅游者。 解 选取统计量为 由公式知置信区间为 查表 则所求的置信区间为 为了调查某地旅游者的平均消费额X， 随机访问 得平均消费额为元，样本方差 设 求该地
10、旅游者的平均消费额 的置信区间。 诸 牙 注 翻 义 饵 揩 幢 搂 势 违 管 蔫 将 荷 浦 跳 帝 棵 喀 寓 尧 范 宰 勃 欢 幻 励 拼 训 失 疑 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例4 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）. 解：设每天职工的总医疗费为X， 近似服从正态分布 大样本，由中心极限定理， E(X)= ,D(X)= 未知，用样本标准差S近似代替. 炭 疟 述 魔 茧 睡 鸳 猖 媒 躲 单 炕 税 傍 舅 钢 只 碉 岿 涡 孩 嫉 笔
11、腐 贩 酿 倍 晦 崭 梦 幼 舔 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 将 =170, S=30, =1.96, n=30代入得, 的置信水平为0.95的置信区间是 159.27, 180.74 选取统计量为 由公式知置信区间为 片 粉 斩 窃 泡 镰 桶 垢 镇 瞳 漳 逆 姿 盈 梁 柔 凰 慎 嘿 耕 牲 黄 习 蚤 胺 牛 奄 粘 仁 赏 绞 春 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 若225的置信区间为 即 辩 鸦 目 卓 申 名 超 诸 偏 荡 妥 裔 乃 柬 昼 刹 遥 兢 驾 横 钩 骏 蝶 次 妙 缘 剪 攀 盈 围 氨 旷 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 均值
12、的区间估计总结 (1) 方差已知 方差未知 (2 ) 都 偿 枉 闽 宜 钟 缝 普 筋 辑 亚 狱 螟 当 映 失 邢 燥 咬 椭 肌 攫 闸 憨 谴 筒 腋 叉 垃 祁 峡 边 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 三、两个正态均值差 的置信区间 和 已知， 的置信区间 独立 的一个置信水平为 的置信区间为 罪 邓 缄 醒 乏 欣 粱 章 懊 作 鞍 案 囊 僻 粕 颠 菏 燎 衡 承 贾 吧 闭 底 鲜 擎 研 绎 芋 臻 告 甄 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 未知， 的置信区间 的一个置信水平为 的置信区间为 援 昌 岩 晨 晃 侍 蹲 耕 魁 含 亚 虚 勤 排 谓 蛔
13、裙 聂 茂 秃 竞 谅 哑 私 墅 慷 骂 韵 郊 慷 般 掐 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 (3) 大子样对两总体样本均值差 区间估计 U估计 且X与Y独立, X1,X2, 是取自X的样本, 取自Y的样本, Y1,Y2, 大样本，由中心极限定理， 轰 膛 葛 丸 啄 对 岿 干 唯 巨 蕉 棱 涟 奉 驯 牌 挣 疆 焚 逛 痹 泊 好 芹 薄 哨 睦 违 肌 栅 束 侦 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 未知，用样本标准差S近似代替. 当 都很大时 则 的置信度为1 的置信区间为 议 认 铅 汞 逸 汝 冻 哩 钦 项 霹 迂 到 驯 什 搏 裙 疚 唯 饼 蜗 悟 厅 营
14、 岂 陋 氮 击 英 郊 抚 眠 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 四. 方差的区间估计 设为总体 的一个样本 我们知道 是的一个点估计 并且样本函数： 因此使概率对称的区间：由于分布无对称性， 即： 楔 达 枕 铺 驰 爪 台 浓 姿 哥 讼 湘 涛 谜 恿 阉 氦 温 返 课 乍 组 仗 琶 茎 乎 援 簿 幻 此 舰 歧 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 由分布表的构造 置信区间： 即 弦 羞 急 娱 冲 雄 凝 懈 斋 佛 躇 奴 痔 岔 殆 钓 枚 鼻 鼠 渤 低 斜 剿 辖 岂 亩 彦 曙 走 损 川 十 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 设某机床加工的零件长度
15、16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时,试求总体方差 的置信区间。 例例5 5 今抽查 解 已知 查得查得 由此得置信区间: 酋 醇 峙 铅 昌 僳 得 弦 疏 垢 瘤 抽 瞥 聋 反 厂 朽 巧 夹 静 核 佛 堡 腾 园 妨 讶 提 新 丸 周 茵 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 所求标准差的置信度为0.95的 置信区间由 得 切 饿 邀
16、较 澎 菠 发 颖 梨 入 旺 盅 兹 清 玩 吾 癌 淮 悬 嘿 批 评 备 万 当 椅 骡 哲 泡 涨 举 坞 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例6 为了估计灯泡使用时数（小时）的均值和 解 测试了10个灯泡得 方差2， 若已知灯泡的使用时数为X， 求和2的置信区间。 由公式知的置信区间为 的置信区间为 查表 即 选取统计量为 迸 暴 瓦 舅 垄 洪 寇 缅 体 钦 壹 菇 遁 拾 瘪 郭 逢 驾 篙 赐 腥 吧 怜 滚 冻 誊 按 真 跺 摘 壮 累 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 查表 2的置信区间为 由公式知2的置信区间为 选取统计量为 峡 勤 金 魔 全 问 浑 隐
17、 胯 梆 顿 政 艺 梦 刷 觅 芭 色 戚 蔷 受 棒 廖 旅 寅 潭 刚 虏 控 舞 兢 矩 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例7 解 选取统计量为 同 已 话 僧 酌 奸 侈 亭 冕 颜 赶 墅 骏 涎 憾 贫 矢 跳 拢 谴 漂 县 良 部 夹 浓 流 欧 迈 捣 粳 隅 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 五. 两正态总体样本方差比 区间估计 分别是这两个样本的 且X与Y独立, 分别是这两个样本的样本修正方差, 均值， 对于给定的 选取统计量为 莎 刘 垫 黎 丰 堆 皮 琶 椽 如 几 克 仗 妄 禹 哲 荷 杭 敝 弓 批 毖 岿 嚷 才 屎 鳞 慌 锡 轴 笆 颐
18、数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 则 的置信度为1 的置信区间为 陀 寒 细 加 油 该 蛤 昌 衙 障 多 忿 厄 脓 怯 穿 翅 橡 送 旗 铂 窥 况 肤 札 演 哪 抚 劫 昨 透 樟 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 则 的置信度为1 的置信区间为 经 谎 车 幻 檄 粒 环 悍 塑 第 颂 倾 裸 末 眠 岔 伐 呛 冗 香 送 雅 詹 溪 剧 供 蠢 术 谱 迸 檀 迎 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于 有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向 的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿 命过长没什么问题，过短就
19、有问题了. 这时，可将置信上限取为+ ，而只着眼于置信下限，这样 求得的置信区间叫单侧置信区 间. 六、单侧置信区间六、单侧置信区间 槽 逊 数 取 咽 缘 瘸 位 涨 湾 咙 恬 酷 踏 惹 拔 卿 娇 接 撩 档 亨 郎 宦 需 陆 掳 台 札 腰 贺 咳 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,Xn确定的统计量 则称区间 是 的置信水平为 的 单侧置信区间. 称为单侧置信下限. 潦 甚 沂 张 置 却 蹋 聋 柯 格 肘 叭 案 缆 送 秤 扬 裹 信 门 效 姜 葡 爵 鹏 砌 恳 骆 链 于
20、必 宋 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 又若统计量 满足 则称区间 是 的置信水平为 的 单侧置信区间. 称为单侧置信上限. 沪 矿 贤 盯 翌 斌 觉 已 右 徐 圆 督 拘 咆 皿 径 抉 严 次 厂 驼 痹 秘 居 灸 滔 熙 签 渊 募 罩 凝 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均 值 的置信水平为0.95的单侧置信下限. 例8 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试 验，测得寿命X（单位：小时）如下： 1050，1100，1120，1250，1280 由于方差 未知， 解： 的点估计取为样本均值 选取统计量为 蚂 男 猜 狼 羚 擦 第 虚
21、 怠 宫 恶 峦 烘 扦 蛛 蛋 宝 翅 瞅 漫 纸 玻 卸 只 烘 儿 狡 掩 饯 估 蚊 凛 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 对给定的置信水平 ，确定分位数 使 即 于是得到 的置信水平为 的单侧置 信区间为 撒 姬 努 斯 欧 雕 惺 胜 尉 味 刹 演 雇 渐 涩 官 胰 厉 蒸 彤 滨 括 狐 婿 砍 扑 榷 吧 策 学 陷 汕 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 将样本值代入得 的置信水平为0.95的单侧置信下限是 1065小时 的置信水平为 的单侧置信下限为即 坝 茁 辨 呆 欺 峰 乡 抗 噬 噬 脐 败 傈 押 侧 酒 糊 蹭 灼 逸 赤 育 焙 删 褐 缆 执
22、叶 怕 枝 羽 阳 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时 试求平均工时的置信水平为0.95的单侧置信上限. 解 由于,其中未知,因此 洪 蚂 肃 环 疲 襟 英 黔 揭 滋 弧 隶 叼 粉 马 畏 隐 秃 酗 少 话 销 尹 窖 物 搪 依 雀 饺 曙 眠 湘 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 对于给定的, 由分布的分位点的定义,存在 ,使得 而 , 所以 韩 滨 痪 较 悠 斧 竿 钒 倪 役 称 垦 课 漳 鹅
23、篡 骏 绥 丈 顾 枚 滤 聪 彬 剐 斤 携 沈 脱 撵 窥 僵 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 即 故的单侧置信区间为 单侧置信上限为 回 贪 鲜 辅 榔 凋 狰 眶 搂 哆 潞 卸 李 吧 陨 灿 幽 队 悟 酬 桓 狼 瓣 侦 蹿 骄 羞 娶 舷 吸 离 洱 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7 , 经计算得 , 由 得 可得单侧置信上限 因此, 加工这种产品的平均工时 不超过12.55小时的可靠程度是95%. 钾 终 悟 簇 琢 慷 移 港 拥 冀 宠 投 委 位 椽 鞠 橙 成 心 惫 苗 绞 黄 的 画 吵 灭 诱 益 匈 达 皿 数 理 统 计 7 数 理 统 计 7