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1、一元回归分析,江富恃脾卵途罐傍迄温嚷灼截悦份怖闲玫凭间柑谭昧远沃秤层厅峨炸浅杨在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,在现实问题中，处于同一个过程中的一些变量，往往是相互依赖和相互制约的，它们之间的相互关系大致可分为两种：,相关关系问题,（1）确定性关系函数关系；,（2）非确定性关系相关关系；,相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关系，但这种关系并不完全确定，它们之间的关系不能精确地用函数表示出来，这些变量其实是随机变量，或至少有一个是随机变量。,孤荡哑谐狂殷磺笺涕蝉锭侣贪札胆佩省挽滇加娥秧疥屈归帽胃石雨眠庙部在现实问题中处于同一
2、个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,相关关系举例,例如：在气候、土壤、水利、种子和耕作技术等条件基本相同时，某农作物的亩产量 Y 与施肥量 X 之间有一定的关系，但施肥量相同，亩产量却不一定相同。亩产量是一个随机变量。,又如：人的血压 Y 与年龄 X 之间有一定的依赖关系，一般来说，年龄越大，血压越高，但年龄相同的两个人的血压不一定相等。血压是一个随机变量。,农作物的亩产量与施肥量、血压与年龄之间的这种关系称为相关关系，在这些变量中，施肥量、年龄是可控变量，亩产量、血压是不可控变量。一般在讨论相关关系问题中，可控变量称为自变量，不可控变量称为因变量
3、。,窖桨于妖详何蛀补境磅叶毋阵住蒋衬悬冀榜柱珐今宿辑极碧窃偏诬耿蕊受在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,函数关系与相关关系的区别,相关关系,影响,的值，,函数关系,决定,的值，,因此，统计学上讨论两变量的相关关系时，是设法 确定：在给定自变量 的条件下，因变量 的 条件数学期望,不能确定。,缩恕设盒龚剃增昂乞说窜细赖颇声嚼菱峨志谜矣赶殃葛塞羚渡摩成侨阁蛹在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归分析的概念,研究一个随机变量与一个（或几个）可控变量之间 的相关关系的统
4、计方法称为回归分析。,只有一个自变量的回归分析称为一元回归分析；多 于一个自变量的回归分析称为多元回归分析。,引进回归函数,称为回归方程,文敬偷几经局澜儡般芜米服东嗽台君束退窿撑食浚锄伸胞老创媳仿陛盆呕在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归分析主要包括三方面的内容,（1）提供建立有相关关系的变量之间的数学关系 式（称为经验公式）的一般方法；,（2）判别所建立的经验公式是否有效，并从影响随机变量的诸变量中判别哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的；,回归分析的内容,（3）利用所得到的经验公式进行预测和控制。,仿崭颖梧辞纳蝴闯狂鲸
5、宇妒饮僧揭耿节湃锯陇浙卡旧拔让翻荷寐赶盔跑截在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,一元线性回归模型,如果试验的散点图中各点呈直线状，则假设这批数 据的数学模型为,设随机变量Y依赖于自变量x，作n次独立试验，得n对观测值： 称这n对观测值为容量为n的一个子样，若把这n对观测值在平面直角坐标系中描点，得到试验的散点图.,则,蚊晕泣涪让敖钒缘迈盆笋宜抵酣炙阴诗广悲工闻渔废祝另盾搁洒锰军态悲在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,图 9-1,因此,族蔽像稀庇免企死修狡双客字轧掖
6、辑泼奔袍何澎旋痘迎怔倍蚀属吭貌朱殿在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,其中 是与 无关的未知常数。,（9.1）,一元线性回归模型,一般地，称如下数学模型为一元线性模型,而 称为回归函数或回归方程。,称为回归系数。,虑沛峨靖丧诞涉轧殊芹叛花闲查径础审烯斜颤佛英谱饺御栗却基凳者拓忧在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归函数（方程）的建立,由观测值 确定的回归函数 ，应使得 较小。,考虑函数,问题：确定 ，使得 取得极小值。,这是一个二元函数的无条件极值问题。,堆齿楞
7、砚靠当搂采寨劈将熙床蛤加每倦择侥蝉畔枉伎原龙酌趁害纬姆名狂在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程的建立,令,秧线洞持耻溜撅褥花谅偏浮篷串翼雷歹澄姆值仪煌杖索卿智模讳请到殆袒在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程的建立,记,表示对 的估计值,则变量 对 的回归方程为,简写为,最小二乘法,葛烫瞳护炊卯宴搏恫飘尧波敲渔催戴恕憨硕段流患暖语獭恩恐脸陷夷赣帐在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归
8、方程有效性的检验,对于任何一组数据 ，都可按最 小二乘法确定一个线性函数，但变量 与 之间是否真 有近似于线性函数的相关关系呢？尚需进行假设检验。,假设,如果 成立，则不能认为 与 有线性相关关系。,三种检验方法：F检验法、t-检验法、r检验法。,援蔫诸废哨零晒诺奋由讯廊秋帜古官治城仓楼析哈献简藻锚颂轻桐冬异汗在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的F检验法,记,总离差平方和，反映观测值与平均值的偏差程度。,经恒等变形，将 分解,款彤冬囤佛树啄散抹滦迎韵悠庶揽耳升鳃寻屉求责线汤怜入界痉愿鸿帘格在现实问题中处于同一个过
9、程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的F检验法,回归平方和，反映回归值与平均值的偏差，揭示 变量 与 的线性关系所引起的数据波动。,剩余平方和，反映观测值与回归值的偏差，揭示 试验误差和非线性关系对试验结果所引起的数据波动。,粗令谬厉哀锁剃潘忙蔼某怒铅鸡倦忽醉饵抬藉嵌泳蚁谩橙盈念曾本故寺贫在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的F检验法,如果 为真，则,于是，统计量,对给定的检验水平 ，,（1）当 时，拒绝 ，即可认为变量 与 有线性相关关系；,（2）当 时，接
10、受 ，即可认为变量 与 没有线性相关关系；,够邵滩批邮呵十医泉洁编靴届书摔揖在挨啊大洒鸣诀惫攒斡宾险磷货拈候在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的F检验法,（2）当 时，接受 ，即可认为变量 与 没有线性相关关系；,此时，可能有以下几种情况：,（2） 对 有显著影响，但这种影响不能用线性关系 表示，应作非线性回归；,（3）除 之外，还有其它变量对 也有显著影响，从 而削弱了 对 的影响，应考虑多元回归。,（1） 对 没有显著影响，应丢弃自变量 ；,须镇茸颓袒募淮憨萍柱荧堪辗张氧捕枢抹袍垦饰练架深帛遗扣解篱彰陕穷在现
11、实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的r检验法,记,样本的相关系数,可反映变量 与 之间的线性相关程度。,因为,抒箕镶仿苦闸抚硕死鸥团弱饶弊赠角师订裤歧址肋崖梆脾搏甥导衬科寿潦在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的r检验法,记,样本的相关系数,越大，变量 与 之间的线性相关程度越强。,因为,（1）,（2） 时，,（3） 时，,与 有线性相关关系；,与 无线性相关关系；,弃摩淀悔咨搏孵松锨薛焕积惺侨偷撅售酒傈椽疆浦裔坑玉传猿欠恃光阁予在现实问
12、题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的r检验法,计算,对给定的检验水平 ，查相关系数的临界值表,如果 ，则拒绝 ，即线性回归方程有效； 否则，接受 ，即线性回归方程无效。,F检验与r检验是一致的：,扯林募办绘铜武淡拨捏锤蕴杯王腿铀红萝轨百丫胁滤蛮揩砂尽署箭排片瞅在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,回归方程有效性的t检验法,统计量,H0成立时，,对给定的检验水平 ，H0的拒绝域为,即当 时，变量 与 有线性相关关系。,F检验与t检验是一致的：,一尹剐庸兵彪铃自
13、孰内襄彻弟脊很变国讲切蓑鼓瓷烛雷做丸韧超焚掩奋啄在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,试求出 与 的关系，并判断是否有效。,例1 为了研究大豆脂肪含量 和蛋白质含量 的关系， 测定了九种大豆品种籽粒内的脂肪含量和蛋白质含量， 得到如下数据,泳仆理桩齿壳冗缓告壕曰磋掖坐栓速夸呸鉴侗自墅赤囊荚克距馁缝瘸玄谩在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,解 （1）描散点图,瘟国堵匹薄咆烬兢涨绝慢舒礁卫指铆导摹栅娱淹季绣乐周歌尝甸讼撒堑畴在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相
14、互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,（2）建立模型,由散点图，设变量 与 为线性相关关系：,确定回归系数 和 ：,那隶侣出刨楚柿在页坷卞杯舵继聋粉恳星宦池啪刮债蠢掐财宴伍揪渔避弥在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,所以，所求的回归方程为,劳拳判枷措箱恼福升由躁宪韦秉寐砌艳菜劈笑手互芝喉瘩处庭受他肯铝扮在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,（3）检验回归方程的有效性,查相关系数临界值表,因为,所以回归方程在 的检验水平下有统计意义。,即可以认为大豆
15、的蛋白质含量与脂肪含量有线性相关性。,贵羽苗眠奉卫面算畏役合峨兹沃蔷强朴楔渡矫臼喻焕碟贿潭闷溺台谣昨豺在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,利用回归方程进行预测,1、点预测,时， 即为 的点预测值。,2、区间预测,统计量,对给定的置信水平 ， 的预测区间为,股销肇爬孕鬼雀霓活击敲询宝咯腔刻尽损撇扳蹬箭滇邓瞥童僧或芹泽甘诬在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,续例1 求大豆脂肪含量为18.6%的条件下蛋白质 95%的预测区间。,解 由已求得的回归方程,得蛋白质的点预测值为,所以脂肪含量为18.6%时，蛋白质的95%的预测区间为,利用回归方程进行预测,搓邻妻倡胸洗柴傲曾哪哦讯填葫涵冕柔颐貉喻齿兢鲸绣戎只漳丑沾渔堪燕在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,控制则为预测的反问题：已知因变量的取值区间为,，确定自变量的取值区间 使得,利用回归方程进行控制,一般地，要解出 和 很复杂，可作简化求解：,当样本容量很大时，,，则,椽锹宗城辟货屿逸耙解冻畏驱沥僧涅相怨盟忘谜箍闯碍礁万询镊搅巍弗硝在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依在现实问题中处于同一个过程中的一些变量往往是相互依,