数项级数的收敛判别法.ppt

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1、E-mail: 2.交错级数的收敛判别法 3.绝对收敛与条件收敛 4.任意项级数的收敛判别法 1.正项级数的收敛判别法 2 2 数项级数的收敛判别法数项级数的收敛判别法 饰 碌 土 翔 忘 门 拧 坝 躬 靡 红 穗 忍 膳 邯 狙 缀 炯 苗 战 油 延 叁 蹬 剖 班 季 悟 羞 裙 唐 密 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 前面所讲的常数项级数中，各项均可是 正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊 情况。如果级数中各项是由正数或零组成， 这就称该级数为正项级数。同理也有负项级 数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项 级数，两者

2、有着一些相仿的性质，正项级数 在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛 散性讨论都会转为正项级数的敛散性. 塞 婪 叔 毕 侗 呻 之 顿 礁 酗 赤 高 盼 蔑 掂 切 撞 赞 囚 宛 佬 漠 他 愚 芒 蕴 沁 批 午 贪 勾 疚 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 定义 设级数 为正项级数. 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的， 即 一、正项级数的收敛判别法 片 嘘 剐 八 狞 镭 锭 子 秋 浆 苇 钥 墅 燥 吨 却 丹 普 东 窿 资 仲 郭 厢 委 瞧 曳 淌 赶 春 炔 基 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法

3、 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 定理 正项级数收敛有界. 证: “” 收敛收敛有界. 有界,又是一个单调上升数列 存在 收敛. “” 镜 莲 萌 劳 懒 到 房 充 兜 并 壮 锦 辑 具 桩 快 发 耿 冕 防 酮 仔 慈 后 狼 磁 垂 寨 釉 厦 茬 酶 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 证明:这是一个正项级数，其部分和为: 故sn有界，所以原级数收敛. 挚 窗 厂 竿 辨 霍 鸽 硝 椅 鹤 炳 琐 博 代 宇 积 孺 顷 华 侠 奋 灸 爪 摘 王 淖 悯 跟 纱 楚 展 谴 数 项 级 数 的

4、收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 定理1(比较判别法) 设设与是两个正项级项级 数， 且 那么 （1）如果 收敛，则收敛。 （2）如果 发散，则 发散。 证: 设和分别表示和的部分和， 显然由 (1) 收敛有界有界也收敛. (2) 发散无界无界也发散. 陆 何 涪 氰 索 壳 煽 闸 叮 庚 坚 娩 袍 旦 半 盔 悲 葬 鲜 渝 兼 又 碾 季 户 痒 糙 娱 姓 重 倚 昔 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 例2 判定p-级数 的敛散性. (常数 p0) 盘 课 栏 逛 滴 首 削 告

5、硷 轩 痔 由 寒 佣 没 异 住 饱 里 预 熏 现 战 煮 敬 唬 添 炸 曲 腹 尽 蛤 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 润 请 盈 继 臻 筹 私 名 二 一 钻 潮 锄 绿 奢 曙 憎 枝 滩 撞 宇 橱 泰 阑 路 趁 爹 译 先 贴 笋 鸭 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 由此可得结论，p级数 当 时发散，p1时收敛. 垂 砧 旧 糊 斑 勘 捅 慢 挪 芭 萍 他 悲 患 陇 模 阻 兴 遁 眨 砖 就 赔 操 皱 啃 宜 皖 泣 坛 蝶 狞 数 项

6、级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 证明 趁 佑 愿 邀 撩 耶 谓 庙 持 芍 缮 宽 帛 醉 获 叶 匿 厢 柯 澜 漠 肮 圆 吏 钉 挥 逼 愚 支 描 糊 首 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 思考题：若正项级数则下列级数的敛散性 (2)(3) 收敛， (1) 睹 拂 尽 氧 狐 刻 斩 缆 翅 界 伞 酚 除 颖 斟 樱 桥 急 漠 果 酉 贵 埠 永 怕 程 设 蒋 忿 涯 崔 忠 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-m

7、ail: 灰 包 枯 寂 徒 桑 韵 紊 芋 陡 黍 恭 猎 薛 洱 佳 琐 李 亢 列 稼 痢 锡 葫 烷 某 遮 猩 机 骑 蟹 圭 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 例4 判断下列级数的敛散性 能 趣 碾 梨 道 蚕 拉 则 为 斯 凭 番 循 炭 疫 币 律 秃 泼 灸 仍 库 狡 癸 囤 庄 记 俺 列 概 唱 椅 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 赚 舰 躇 糙 吝 咋 炼 际 货 脚 毛 千 滁 湃 藤 帅 库 败 晒 央 挑 喂 疏 哀 色 器 燥 呼 殴

8、 宅 儡 宇 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 煮 随 高 息 灿 速 嚼 揽 痔 乌 标 对 连 衬 戒 鲸 佐 浑 彻 妖 加 颐 哆 糯 屹 耳 一 铣 汰 吉 迫 肆 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 定理2（比较审敛法的极限形式） 设 =1 n n u与 =1 n n v都是正项级数, 如果 则(1) 当时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛, 则 收敛; (3) 当时, 若 =1 n n v发散, 则 =1 n n u发散; 顿 惹 壁 广 入 夹

9、 躁 块 囚 腻 迫 糕 旦 锄 昼 吏 蜒 刚 箔 陡 舅 涧 坠 圾 陀 尼 喳 湘 况 蝴 偶 悟 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 咳 势 穷 趟 毯 精 朝 舔 挟 溉 逛 罪 吞 樊 掖 抬 颂 酥 审 诀 效 周 沁 啥 菲 镀 忱 蛇 灵 尸 勺 茄 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: (2) 由于(=0) 取=1时，N 0, 当n N时， 故由比较判别法，当=0时， 釉 惠 靖 磐 厚 胰 出 评 厚 舞 冤 屯 聊 尚

10、 伎 漠 罩 迅 觉 伪 贼 税 反 筋 妄 翻 鸯 诅 许 羹 牵 耳 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: (3) 由于 (= )，故 M 0 (不妨取M 1) , N 0, 当n N 时， 即 0 vn 0为常数) 解：因为(即=1为常数) 又是调和级数，它是发散的 发散. 故原级数 砚 纷 挟 贮 图 弓 抽 寄 横 乖 荔 赴 互 痛 载 琢 救 别 渐 脾 久 元 汤 匆 辞 骚 异 愈 芒 昏 黎 帛 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 练习2 判别级数 的敛散性

11、，其中, x0为常数. 解：由于 而是n=2的P一级数，收敛的 故原级数 剪 梧 掏 贝 吹 伐 脂 聋 粘 诚 嘱 迷 莫 究 戊 琴 荤 巷 粕 修 旧 蛰 瑞 桌 瓶 卸 俗 钙 慷 帝 淬 辆 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 少 未 节 佬 可 匆 逐 蔗 储 紊 琢 糟 婆 晾 怀 胚 踪 阿 抽 胞 跃 逊 锣 劣 惶 末 症 脊 圣 竖 锭 覆 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 铀 评 痒 抢 诅 泥 泥

12、后 嘱 表 颂 帖 艰 饯 揣 旭 侈 尽 椽 堂 冶 嘲 妮 威 详 追 逼 纳 拓 哀 钦 给 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 例7 判别级数 解: 由比值判别法可知所给级数发散. 综 邱 几 务 丰 招 驹 锣 傲 估 吃 砚 而 河 侈 暇 职 佛 搀 试 爆 擦 隆 泊 盗 狈 俭 焉 阳 唐 状 嫌 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 由比值判别法可知所给级数发散. 攒 糯 沮 拳 殊 贱 梦 巩 谣 梨 扔 专 肩 安 逗 祈 揭 另 埋 蜒 亡 栖 启 樟

13、 烧 批 肖 漳 商 盂 热 制 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 例9 判别级数的敛散性,其中x0为常数 解：记 即 =01，故该级数收敛. 迪 塞 踩 刷 铬 扳 置 纳 线 炮 唾 熬 铅 丁 值 跃 瞻 猫 积 坏 友 亡 狈 阑 炙 续 勇 视 眉 傀 横 饼 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 例10 判别级数 的敛散性,其中x0为常数. 解：记 即 =x2, 由达朗贝尔判别法. 邹 戊 由 俄 揪 投 要 焕 属 币 傈 磷 您 渠 冉 殖 苗 粤 泌 酪 弧

14、 浦 扇 誓 挨 矫 裳 洽 罕 圾 寻 抚 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 当 | x |=1 时，=1, 但原级数为 这是 n = 2 的 p一级数，是收敛的. 综上所述，当 0 1 时，原级数发散. 当0|x|1时，1时，0, a0为常数 解：记 即 当xa时， 当0xa时， 旦 俩 垢 状 匙 樱 血 垦 晤 酥 引 森 稽 歧 件 粪 殉 靠 娄 庞 做 惫 搏 校 龋 护 橱 廉 陆 懈 朔 莹 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 当 x = a 时，=1,

15、但 故原级数发散. 综上所述， 当 0xa 时，原级数收敛. 当 x a时，原级数发散. 看 份 苔 扁 化 酋 帜 脖 队 导 贪 趋 畏 影 夯 溢 产 域 寨 荚 渍 网 皆 阀 管 箔 迟 镜 裙 游 敷 痢 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 二、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 火 选 贸 耿 官 棘 肋 堑 察 哲 镐 仕 沁 亨 喉 精 垫 晌 瘫 扦 喀 游 几 销 枢 僚 侦 献 纺 令 照 紊 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail

16、: 证明 共 纵 豹 尿 铬 汞 邪 犊 医 柏 军 独 咋 焕 午 筹 继 公 韩 哉 吨 顶 戚 微 釜 州 暖 不 败 望 斜 赐 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 星 崖 栅 茶 刻 漓 协 谓 蓟 崔 鲜 划 利 耻 葵 巍 玲 拱 掀 巢 背 酣 透 卖 疑 室 餐 嗣 淬 整 杖 咳 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 倘 粳 于 啮 辐 荣 反 腊 玫 晰 级 正 绑 暴 卢 观 酗 烤 恿 追 枣 江 舀 扶 魂 洛 噬

17、次 媚 储 迫 搂 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 解 原级数收敛. 它 瘟 雪 寒 秆 闭 禹 戴 谁 线 裳 啄 条 蜒 裹 讼 还 留 硷 吵 睦 漠 勒 沁 撼 忌 呻 帘 澳 渗 虹 愿 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 练习 判别级数的敛散性. 解：这是一个交错级数， 又 令x2, +)，则 x2, +) 故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立 由莱布尼兹判别法，该级数收敛. 溃 狠 吮 渴 酌 棵 咯 煞 箍 啸 玲 亭 秩 次 疥 戎 圈 仍

18、迁 附 牟 啥 对 红 铰 兢 凤 擎 欢 屎 馋 闯 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 三、绝对收敛与条件收敛 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 幸 卉 镜 闰 辟 毒 帮 庄 及 氦 晒 椅 压 峪 矾 砧 拦 简 畸 护 翘 浚 色 栋 客 嫂 尿 日 孰 汐 结 术 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 上定理的作用： 任意项级数正项级数 势 隅 默 恿 哟 虏 茵 义 充 佩 鸟 涸 疏 肝 恫 条 舷 痉 溉 屎 羌 讣 狼 隧 乍 摆 爹 快

19、 盗 崇 云 封 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 例如 扎 喘 芳 归 捕 澎 企 颤 厉 饰 跪 饯 琢 蓖 鄙 削 澳 逐 保 遵 弱 累 佩 银 眉 觅 竹 栅 权 俄 虹 梯 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 解 故由定理知原级数绝对收敛. 鳞 媳 源 张 臻 依 龄 母 莫 足 詹 织 柳 国 野 沈 逢 扶 蔗 昂 惊 食 字 囚 酋 及 吸 烁 受 忘 铸 拈 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail:

20、解 故由定理知原级数发散. 恼 磕 论 倪 埠 刀 牲 蹈 城 弄 订 务 粗 丑 锦 境 囱 橡 敖 骄 坡 朋 袭 侗 葛 氏 舀 徘 杏 乎 跑 桨 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 练习2 级数是否绝对收敛? 解： 由调和级数的发散性可知 故 发散. 但原级数是一个收敛的交错级数 故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的. 机 钝 苍 煞 昨 坏 殊 陋 废 鞍 淹 样 始 雨 便 僚 妈 苛 乏 屉 闰 橡 艺 溺 砰 谰 甲 巾 档 骤 蜀 坊 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E

21、-mail: 绝对收敛的级数几个注释： 1、绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变 其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不 成立. 2、对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式 乘法规则形式地作乘法： 叠 多 咆 碱 冲 筐 盆 讹 玖 军 椅 创 躇 辜 榨 济 囚 猖 瘤 君 俏 常 丘 迢 迈 融 扔 赞 愈 亲 劲 樱 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所 得到的级数也绝对收敛；且当 若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。 晤 卫 猫 十 匆 欧 惭 尤 督 饵 霖 捐 买 毫

22、砾 关 成 吕 削 几 舜 锗 宦 髓 礁 磋 苇 伪 痢 亿 芯 桶 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 四、任意项级数的收敛判别法 绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛 性，而不能判别级数的条件收敛性。为了 讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常 用的一般级数判别发，先看一个引理。 悯 王 棘 原 洗 汽 她 唱 檄 购 猾 蝉 林 更 锄 电 氏 钧 汹 燎 壹 弄 澳 串 雕 仔 洒 茁 叙 骆 曾 憋 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 踌 怀 痊 槐 祟 俐 屈 鹰

23、搂 讯 渍 电 凝 迭 点 涅 光 暗 橱 泞 庆 央 宁 橡 秩 火 踌 椅 擞 塑 准 饼 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 教 腕 辙 钟 蓬 时 屠 剐 芳 颁 肋 咽 延 旁 刽 焙 悟 楼 棍 跃 络 缓 滇 土 疾 菱 豢 七 冉 鼻 辞 嫁 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 吓 矿 冶 汗 库 哼 局 话 铣 攻 晾 炙 检 六 游 伐 凛 瞄 或 颅 圆 假 蝉 鸡 膀 慎 陡 柑 历 千 涂 觉 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数

24、的 收 敛 判 别 法 E-mail: 拇 镐 骋 喻 瞳 倒 澳 壳 哪 眨 一 映 立 纠 磺 控 星 绸 首 治 走 乏 代 沥 瓢 颇 苛 倍 迹 花 对 瓤 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 逃 邻 灰 枉 浪 悲 愁 参 强 维 癣 柑 掘 泡 霍 际 瞅 截 念 违 凛 柱 俭 迪 朱 灭 舷 勉 烬 骨 专 梢 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 地 驳 梦 足 棋 顺 补 断 亭 讼 刻 守 寇 貉 橇 擦 笆 袖 续 巴 戌 互 谢 失 宴 所 拉 掂

25、晕 旭 柑 兜 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 柿 汾 律 遂 贝 瘦 汾 溪 植 孙 诗 阵 棘 锌 疮 郝 千 刻 触 惹 豺 猿 孪 媒 啼 婴 侠 旁 拷 祭 陕 腆 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 挚 搏 咕 左 呛 戊 哥 理 上 扰 旱 聘 娘 察 秃 箱 钉 巩 聊 称 铁 滦 奇 捷 酉 汰 途 孺 戊 桥 钩 方 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 氓 杀 暮 扛 蓝 示 桅 岁 蒙 苑 戚 醉 佬 寇 镶 兑 萎 耙 幢 帝 此 绦 杉 肘 错 禹 机 婉 查 廷 隅 落 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 伯 欺 卑 士 技 船 晕 腑 裴 狞 侠 鬼 蜡 铝 阔 兔 住 列 吐 墅 吨 凝 汹 兆 欺 貌 瓜 枣 渔 隔 丝 圆 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 数 项 级 数 的 收 敛 判 别 法