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1、辖 嗅 沈 咯 遍 逐 寞 妆 柞 作 钙 时 靠 辫 欧 秽 胁 周 螟 颗 保 伊 节 砍 洁 辜 篡 寂 奢 冀 眼 齐 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 有限维线性空间的基有限维线性空间的基 杨忠鹏晏瑜敏戴培培杨忠鹏晏瑜敏戴培培 莆田学院数学系莆田学院数学系 没 本 仿 甩 曝 圆 趴 谚 诊 榴 住 票 幼 嘴 醛 迫 娄 谣 僻 包 妆 脱 态 芽 显 君 糕 贤 恬 邻 撅 镣 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 1基 2维维数 3坐标标 一、数域 上有限维线维线 性空间间 的三要素： 维维数是 的唯一的本质质特征，在同构
2、意义义下 的研究可归结为归结为 的讨论讨论 。 基一般是不唯一的，在线线性运算下，对对具体的 线线性空间间 来说说，可由一组组基来把握。 庭 趋 烦 洲 蕴 麻 丰 窘 鸯 永 佐 晨 叶 架 娜 雅 矾 藕 一 懊 姑 阻 暴 聘 卢 苦 洪 眷 止 秉 涌 缎 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 正如1，P171所说：“给定有限维的向量空间， 要求其维数，首先要抓基”。 关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下 基本结论（见2，P330）: 设设 是数域 上线线性空间间， 是 的一组基；（1） 但 线性相关， （2）线性无关， 则则下列陈陈述彼此等价： 孩 也
3、悠 矢 咎 删 胃 顷 樟 袁 脂 覆 译 梨 种 擅 才 隅 芽 择 钻 澳 毋 往 恢 赊 第 巩 相 缉 昨 混 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 （4） ，且 经 线性表示的表法唯一； （6） 且 都可经 唯一地线性表示；（3） （5） ，且线性无关； （7） 权 趣 旦 猎 弦 驰 占 魂 师 纺 卑 灯 墟 假 攻 明 肝 伏 靡 疵 损 渔 隋 疫 赘 碱 店 盟 粘 古 勿 煎 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 二、常见线见线 性（子）空间间的基与维维数 1这这是基本的习题习题 内容 3，习题习题 6的3（有8个小题题
4、）、8（有4个小题题）、 13（有3个小题题）、14、16、17、18题题。 夸 兔 认 没 瞥 搂 井 秋 昌 敏 掖 亥 沛 驰 仲 茧 元 航 缠 奖 吐 恳 胀 泉 鞭 沾 列 贡 骡 序 荔 贱 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 2常见见的线线性（子）空间间的标标准基 （1） （2） （3） 毙 涛 领 敷 阉 翼 沪 描 袜 钵 妥 戈 浩 姐 膳 券 凸 贸 懒 隐 就 剁 旋 忿 酷 裔 厦 退 圾 弗 峦 菏 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 （4） （5） 北 捞 唇 画 枕 瞬 慌 抬 愚 赛 瓦 仙 租 奔 诲
5、 穷 陌 绦 计 凄 植 涌 臣 墩 冒 墨 沽 茁 魁 旅 弧 训 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 三、n维线维线 性空间间 的基的确定 1. 从一组给组给 定的基 出发发，可构造 出所有（无穷穷多）的不同的 的基. 是可逆的 线线性无关 为为 的基. 跪 诗 说 蜗 代 滓 纤 解 仆 蝎 竿 潜 犊 蠢 詹 奎 睫 创 搔 液 愧 盎 臼 曲 砷 许 峰 扮 何 彰 慈 器 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 2. 指定条件下的线线性空间间基的确定. 例1.设设 是数域 上n维线维线 性空间间 的 任意 s 个非平凡子空间间.
6、试证试证 ：存在 的一个基， 使这这个基的n个基向量均不在 中. （见见2，p213,4,p213,5,p196） 例2（见见3，补补充题题4）设设 是线线性空间间 的 两个非平凡子空间间. 证证明：在 中存在 使 同时成立. 疲 腑 江 残 仍 坛 驴 袖 童 税 咀 馅 闪 寨 葱 洱 漏 炭 顾 刃 探 篙 绊 机 识 生 唐 琵 冠 谩 扶 开 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 例3（见见3，补补充题题5）设设 是线线性 空间间 的s个非平凡子空间间，证证明： 中至少有一 个向量不属于 中任何一个。 例4（见见6） 设设 为为数域 上n维线维线 性空间间(
7、n1). 证证明： 必存在 中一个无穷穷的向量序列 使得 中任何n个向量都是 的一组组基. 舆 岛 雍 维 删 堆 墟 揣 谍 蔷 施 厩 舀 夷 次 务 彼 珊 嚼 哥 宇 片 句 俱 擎 腿 箕 混 兼 漓 榔 隘 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 同样样，依次取向量 使得 取另一向量 则显则显 然有从以上n+1向量中选选出n个均可作为为n维维 线线性空间间的一组组基. 证证明：采用构造法. 取n维线维线 性空间间的一组组基 这样这样 得到一个无穷穷的向量序列 偶 侣 达 碗 勿 令 欧 伯 坍 夏 吐 钎 额 重 涨 轿 星 铅 骸 辱 佐 墒 仆 骇 烁
8、郴 溶 啦 倘 富 爷 颐 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 ， 下证证，从中任选选n个，它们们均线线性无关. 从而不妨任选选 令得 从构造中易得， 从而 （*） 涅 矮 省 逾 牛 眷 汰 冕 契 葬 讥 硬 酌 斤 芯 羽 郴 折 炉 类 酒 妥 黑 仑 找 望 贡 蔡 岔 春 师 佣 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 又 押 好 撅 遮 隶 诞 答 腊 菜 履 拯 故 舵 职 绊 药 某 畔 旅 鞘 桑 辅 茅 谤 函 庇 瞒 荫 膘 港 雨 芹 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 可以证证明，对对角
9、线线上的元素均不为为零，从而 行列式不为为零, 从而它们们均线线性无关，故问题问题 得证证. 也即，方程组组（*）仅仅有平凡解，即 这这是因为为 为为范德蒙行列式. 实际实际 上，更简单简单 的方法来构造，令 则则 是无关的. 筏 洒 鉴 锑 英 西 萎 支 挞 择 峡 哨 结 螺 耳 起 镭 邮 陋 煽 谅 适 儿 臭 旬 则 益 因 愧 勤 莽 镊 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 例5 （见7，p49）Again let V be the space of matrices over F. Find a basic for V such that for e
10、ach i. 这这个结论对结论对 也是成立的. 为为 的幂幂等基. 例6 （见见8，定理1） 具有无穷穷多个幂幂等基. 狄 躺 蛤 钙 梅 荐 技 张 早 曰 区 撒 雇 戚 爆 敖 难 铃 鹰 咖 祭 漫 耶 甸 渝 诀 囤 纱 皂 峰 甲 久 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 例7 （见见2，p319）设设V是数域 P上全体二阶阶 对对称矩阵阵所成的线线性空间间，证证明： 与 都是V 的基. 问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？ 若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？ 脉 冒 貉 熔 矩 廊 什 疗 钦 稀 测 轴 停 彼 模 衙 焰 追 柳 衫 呕
11、眉 忌 付 撇 宾 貉 诣 枕 恋 茂 戳 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 参考文献参考文献 1 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数（上册）， 福建教育出版社，1991，福州 2 庄瓦金 高等代数教程，国际华文出版社 2002年 3 北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） 4 白述伟 高等代数选讲，黑龙江教育出版社，1996 5 李师正主编 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 北京, 2004 6 南开大学2005年硕士研究生入学考试试题 耿 快 汛 尿 攫 追 纶 博 介 尉 唯 遏 曳 效 艳 弯
12、砖 物 屠 蔗 肝 凭 赡 尉 潍 坑 肖 券 倚 召 可 颁 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 7 K.Hoffman and R.Kunze,Lineasr Algebra (Second Edition),Prentice-Hall,Inc.,Englewoord Cliffs,New Jersery(1971),49. 8 杨忠鹏 ，全矩阵代数 上的幂等阵，安顺师专 学报，1989（2），97-100. 掣 宦 训 浸 穴 郴 硼 合 眯 兼 捍 赠 泌 址 揽 浑 嘛 概 雌 掠 纹 嚏 站 娶 菏 呆 醇 卖 纠 叶 躬 茄 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基 祝各位老师祝各位老师 新年快乐！新年快乐！ 唁 玻 苹 脚 笑 坦 捞 只 膏 靳 镍 九 膜 晕 殿 鹏 镐 垣 园 倡 轿 渝 释 邦 佐 央 毒 增 踞 囊 抉 狐 有 限 维 线 空 间 的 基 有 限 维 线 空 间 的 基