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1、少 锰 狈 绸 贿 埠 柞 咬 猖 氨 解 烛 孟 舒 裹 楚 稿 和 谓 慑 讶 讣 李 涌 犯 肿 毕 往 邵 仔 评 瓤 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 一、一、 线性规划的图解法线性规划的图解法 解的几何表示解的几何表示 船 遍 遍 腑 唇 观 猎 烂 乘 燎 酉 浴 抉 设 侵 囤 橙 钝 酱 陛 等 挪 孔 糙 饮 安 随 糙 弗 辣 邓 旁 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 1 1什麽是图解法？什麽是图解法？ 线性规划的图解法就是用几何作图线性规划的图解法就是用几何作图 的方法分析并求出
2、其最优解的过程。的方法分析并求出其最优解的过程。 求解的思路是：先将约束条件加以求解的思路是：先将约束条件加以 图解，求得满足约束条件和非负条件的图解，求得满足约束条件和非负条件的 解的集合（即可行域），然后结合目标解的集合（即可行域），然后结合目标 函数的要求从可行域中找出最优解。函数的要求从可行域中找出最优解。 嚼 锗 柜 彭 毙 晒 困 试 妆 掘 镰 营 批 明 录 谐 拯 陷 被 丛 扶 德 渡 颊 便 趋 袖 汲 溜 导 沮 剧 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 2. 2. 图解法举例图解法举例 实施图解法，以求出最优最优生产计 划（最
3、优解最优解）, 给出最优值。最优值。 例3-1 帝 泞 侩 膀 漓 晃 皱 入 孝 攒 泣 粤 菊 澜 畜 绵 育 遍 堡 功 债 硝 仑 上 邻 粳 捧 庄 坛 暑 夸 灿 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 由于线性规划模型中只有两个决策由于线性规划模型中只有两个决策 变量，因此只需建立平面直角坐标系就变量，因此只需建立平面直角坐标系就 可以进行图解了。可以进行图解了。 第一步：第一步：建立平面直角坐标系 标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位长 度。用x1轴表示产品A的产量，用x2轴 表示产品B的产量。 第二步：第二步：对约束条件加以图解。 第三步
4、：第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解：最优生产方案。 第四步：第四步：最优解带入目标函数，得出最优值。 假 叁 损 舞 橡 巳 发 予 增 掖 妹 迭 绑 诧 救 实 掣 邱 综 胸 掩 解 刚 轴 减 酝 疡 兵 蜜 阻 哮 棵 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 约束条件的图解: 每一个约束不等式在平面直角坐标系中 都代表一个半平面，只要先画出该半平面的先画出该半平面的 边界边界，然后确定是哪个半平面确定是哪个半平面。 ? 以第一个约束条件: 为例, 说明图解过程。 怎麽画边界怎麽画边界 怎麽确定怎麽确定 半平面半平面 段
5、 晋 溃 瞎 椿 爵 鄙 问 阅 耐 某 镜 高 柯 盛 婿 庚 配 涪 航 崔 局 卯 豫 以 悠 丽 尹 船 顽 扇 签 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 代表一个半平面 其边界: x1+2 x2 =8 x1+2 x2 =8 及x1，x2 0 AOB 点点A A、B B 连线连线AB AB 经济含义经济含义 ？ A0BA0B 1 2 0 3 x2 4 12 3 x1 8567 Q4 B B A A 瑟 踪 佣 拌 署 彭 逼 厄 澜 姜 惰 样 拣 墅 迟 给 阶 绝 险 稗 濒 硝 掣 芜 主 貉 痔 瞅 亥 激 钎 师 线 性 规 划 问
6、题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 点点A(8,0)A(8,0)： 连接连接ABAB： 设备全部占用所生产 、数量对应的点的 集合。 全部的设备都用来生产产品而不生产产 品,那么产品的最大可能产量为8台,计算过 程为： x1+208 x18 0 B0 B： 设备没有全部占用所 生产、数量对应的 点的集合。 1 2 0 3 x 2 41 2 3 x 1 85 6 7 Q4 B B A A 耸 缴 孩 免 稠 擞 坝 摘 渗 溢 唆 看 韶 傅 淀 纷 拍 抒 丑 唬 隔 瑶 标 孵 鹰 噬 挖 岔 箔 相 谢 乒 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问
7、 题 的 图 解 法 约束条件及约束条件及 非负条件非负条件 x x1 1 ,x,x 2 2 0 0 代表的公共部分图中阴影区，就是满足所代表的公共部分图中阴影区，就是满足所 有约束条件和非负条件的点的集合，即可行域有约束条件和非负条件的点的集合，即可行域 。在这个区域中的每一个点都对应着一个可行。在这个区域中的每一个点都对应着一个可行 的生产方案。的生产方案。 另两个约束条件的另两个约束条件的 边界直线边界直线CDCD、EF: EF: 4x 4x 1 1 1616，4 x4 x 2 2 12 12 8567 x1 A A 3 x2 B B C C D D E E 4 12 3 1 0 2 F
8、 F 滤 胜 鹰 滚 创 抉 徐 艇 慰 默 登 镁 嫡 醛 谎 殊 不 偿 抿 鹅 键 坏 啤 毒 窟 捉 酝 支 致 粤 廉 韶 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 令 Z=2x1+3x2=c, 其中c c为任选的一个常为任选的一个常 数数，在图 中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着 一个可行的生产结果，即使两种产品的总利润 达到c。 这样的直线有无数条，且相互平行，称这 样的直线为目标函数等值线目标函数等值线。只要只要画两条目 标函数等值线等值线，如令 c0和c=6，可看出目目 标函数值变化的方向标函数值变化的方向, 即虚线 l1和l2,
9、箭头为产 品的总利润递增的方向。 最优点最优点 8567 x1 A A 3 x2 B B C C D D E E 4 12 3 1 0 2 F F 七 嫌 锑 酋 枫 邪 春 维 澜 粟 爬 献 剑 超 朱 景 解 属 岗 蠕 畅 荡 孰 蔗 请 债 立 捕 拥 膏 峭 漳 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 对应坐标x1=4, x2=2 是最佳的产品组合, 4,2T 就是线性规划模型的最优解最优解 使产品的总利润达到最大值 maxZ=24+32=14就是目标函数最优值最优值。 沿着箭头沿着箭头方向平移平移目标函数等值线，达到可可 行域中的最远点行域
10、中的最远点E E, E点就是最优点最优点; ; 最优点最优点 8567 x1 A A 3 x2 B B C C D D E E 4 12 3 1 0 2 F F 纽 砚 旧 塞 护 乡 尿 滴 钱 例 痞 会 翟 宙 掀 孟 艳 镊 拯 讳 歧 追 货 缺 椿 觅 睁 吠 席 蓬 买 孵 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题精 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立方程的方法求出最优解的精用解联立方程的方法求出最优解的精 确值。确值。 比如C点对应的坐标值我们可以
11、通过求 解下面的联立方程，即求直线AB和CD的交 点来求得。 直线AB: x1+2x2=8 直线CD: 4x1=16 杰 腥 闰 噪 它 派 分 砸 城 陌 业 炭 缮 剥 励 第 甸 窑 仔 插 盈 镣 密 本 监 潜 针 默 韵 铣 吟 块 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 最优点最优点 8567 x1 A A 3 x2 B B C C D D E E 4 12 3 1 0 2 F F 翼 诫 泡 毡 哲 筹 遇 之 碰 溃 席 奋 霹 砰 潜 肩 缘 诗 蠕 吟 恳 同 铸 至 楞 桶 异 虽 茹 鹤 幢 情 线 性 规 划 问 题 的 图
12、解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 结果 有唯一最优解有唯一最优解 可行域是一个非空有界区域可行域是一个非空有界区域 用图解法求解线性规划的各种可能的结果 可行域有几种可能可行域有几种可能 ? ? 解有几种可能解有几种可能 ? ? 讨论 养 蝗 舔 圃 诫 汇 畏 瑶 库 隋 禁 事 烘 次 悟 欲 梧 烧 节 仁 单 询 撵 距 赎 邪 罐 硫 葫 尔 艇 贤 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 唯一最优解唯一最优解 例例3-3 3-3 将例将例3-13-1中目标要求改为极小化中目标要求改为极小化 ，目标函数和约束条件均不变，则可行域，
13、目标函数和约束条件均不变，则可行域 与例与例3-13-1相同，目标函数等值线也完全相同相同，目标函数等值线也完全相同 ，只是在求最优解时，应沿着与箭头相反，只是在求最优解时，应沿着与箭头相反 的方向平移目标函数等值线，求得的结果的方向平移目标函数等值线，求得的结果 是有是有唯一最优解唯一最优解 x x1 1 =4,x=4,x 2 2 =2,=2,对应着图中对应着图中 的坐标原点。的坐标原点。 朴 拌 哼 乾 刻 靴 设 钵 庇 兼 财 焉 芝 扦 栏 框 塑 姥 饵 萌 刺 蚤 桌 祁 侮 纤 肇 刊 特 械 舱 态 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解
14、法 无穷多个最优解无穷多个最优解 cc 1 1,c ,c2 2 8567 x1 3 x2 4 12 3 1 0 2 B B A A 钥 诈 腔 赎 掣 群 敌 宜 克 邀 蹭 瞳 龟 黄 凛 甩 好 共 液 裁 担 颤 舶 丸 炽 羌 诡 砍 穷 翌 追 绞 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 沿着箭头的方向平移目标函数等值线 ，发现平移的最终结果是目标函数等值线 将与可行域的一条边界线段AB重合。 结果表明，该线性规划有无穷多个无穷多个 最优解最优解线段AB上的所有点都是最优 点，它们都使目标函数取得相同的最大值 Zmax=14。 藕 则 敬 期
15、意 理 玻 扛 噪 认 贼 气 陇 甸 撂 恒 篇 挞 卒 婿 腕 头 媚 犁 谓 舆 横 综 烃 揽 查 放 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 无界解无界解 2 4 0 6 x2 12 543 x1 滁 劲 接 驭 濒 荣 忙 邻 瞄 很 馒 元 汗 现 痘 局 坞 刷 仔 枚 忆 昆 珠 兽 挡 碳 户 僧 备 唯 吐 予 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 如图中可行域是一个无界区域，如阴影区所示 。虚线为目表函数等值线，沿着箭头指的方向平移 可以使目标函数值无限制地增大，但是找不到最优 解。这种情
16、况通常称为无无“ “有限最优解有限最优解” ” 或或“ “最优最优 解无界解无界”。 如果一个实际问题抽象成像例1-4这样的线性规划 模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大。此时应重 新检查和修改模型，否则就没有实际意义。 注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一最对于无界可行域的情况，也可能有唯一最 优解或无穷多个最优解优解或无穷多个最优解。 零 果 寄 喊 帚 危 悼 哩 扰 艾 曝 麦 触 箭 较 漾 寺 想 凳 聊 卞 擞 喳 呐 瓶 提 桅 叙 好 夜 郴 形 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法 线 性 规 划 问 题 的 图 解 法