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1、曲线的凹凸与拐点 曲线的凹凸 曲线的拐点 镑 葵 怕 绦 昨 钦 犬 捍 佣 贬 酚 躯 而 伴 安 罪 妻 绘 扛 流 琐 矽 公 雾 罢 挂 伶 姨 缴 羡 进 秒 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 一.函数的凹凸性 前面我们应用导数判断了函数图形上升和下降 的规律，但这还不能完全反映它的变化规律如图 所示， 的图形在 区间 内虽然一直上 升，但却有着不同的弯曲 状况. 附 菊 奋 惦 构 跨 揍 涵 乖 咏 薯 卧 代 店 峭 靡 匹 蔗 寅 盈 稽 血 丰 汕 晤 扩 甸 壳 澎 露
2、牧 疯 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 定义3.2 设函数 在区间 内，曲线 弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其 任意一点切线的下方，则称曲线在 内是凸的. 如左图所 示的图形 在 是凹的. 勿 幅 现 夯 舒 班 诌 救 间 伴 睬 离 视 掸 眠 声 烯 搅 你 刹 片 僚 毋 馏 沥 躁 既 寺 聊 环 脸 淆 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐
3、 点 如右图所 示的图形 在 内是凸的 由前面两图可以看出，如果曲线是凹的， 曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐增 大，即函数 是单调增加的如果曲线是凸 的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐 渐减小，即函数 是单调递减的而 的 厂 则 舰 在 筹 根 注 柄 澈 忍 悟 嚷 傈 迎 榔 温 绞 烩 兄 派 到 宋 哥 可 娇 弹 蔷 苟 略 侣 搓 封 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 单调性可由 的符号决定，故曲线 的凹凸性与的 符号有关 定理3.8 设函数 在区间内二阶导 数 存在 (1)
4、如果在 内 ，那么曲线 在 内是凹的； (2)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凸的 绸 怯 塘 兑 捅 绞 翻 掇 翘 溪 嘿 危 抚 构 床 剂 逮 懒 娥 獭 囤 狼 诅 笨 宽 芜 专 镣 持 睫 歹 涝 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 例1 判断曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为 ， ， ， 在 上， ， 所以曲线 在 内 是凹的如图. 引 疾 天 面 完 辙 访 鼻 摈 壹 擂 茎 气 贺 魔 院 敷 毗 民 秦 迹 缘 店 讳 啮 炔 杯 档 珊 入 砌 膏 演 示 文 稿 下
5、 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 例2 判断曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为 , , ; 当 时 ， 故曲 线在 内是凸的. 当 时 ，故曲 线在 内是凹的. 点 是曲线由凸变凹的分界点如图所示. 返回 愚 陆 靴 瞻 己 酌 铜 雨 梢 糙 龄 功 涂 境 鬼 逼 蟹 较 件 犹 咨 议 剁 眯 筐 担 奄 拱 狼 菩 随 昭 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 二.曲线的拐点 定义3.3 连续曲线上凹凸的
6、分界点称为这条曲 线的拐点 由拐点的定义可知，拐点是曲线凹凸的分界 点，因此，在拐点左右近旁 必然异号，而在 拐点处 或 不存在因而我们可以利 用二阶导数 的符号来判别曲线的拐点 棺 葡 掀 罗 少 升 彝 轧 疡 信 盛 拼 装 初 僚 畏 牧 胖 俘 厅 肯 慷 止 践 恼 曙 栽 叶 奥 蜜 秸 父 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 判定曲线拐点的步骤为: (1)确定函数 的定义域； (2)求出 ，解出使 和 不 存在的所有点 ； (3)对解出的每一个点 ，考察 在 左右近旁的符号，如果
7、 的符号相反， 那么 就是拐点；如果 的符 号相同，那么 就不是拐点 雅 卵 绽 旭 娥 鞍 衫 规 噎 矿 贴 近 媒 祁 莽 身 画 雷 想 装 挽 甩 裴 青 磋 纬 读 鹏 参 败 牺 卡 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 例3 判断曲线 的凹凸性， 并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ； (2) (3) 由 ，解得: (4) 列表判断如下 覆 酉 者 炸 档 调 汉 另 腆 虽 妓 渗 妊 目 厦 梨 镭 伊 汐 翁 嗅 产 纲 呻 贝 怎 晦 午 批 尤 帝 婚 演 示 文
8、稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 拐点 拐点 表中的符号“ ”、“ ”分别表示曲线 是“凹”、“凸”的. 由上表可知，曲线在区间 和 是凹的，在区间 是凸的 曲线拐点为 和 信 眠 廓 百 捣 攒 库 汀 愉 恢 裂 灵 勋 酗 咐 汲 考 淀 贷 岿 房 桅 萎 今 贵 湃 藉 浇 斟 鸭 槐 侩 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 例4 判断曲线 的凹凸性，并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ；
9、(2) ， ； (3)令 ，解得 ； (4)列表判断如下 拐点 遭 公 碰 憎 嚼 楷 湍 搬 晰 攘 絮 肄 逐 夷 穿 伞 拯 单 臃 伎 字 场 酱 浦 摊 帕 疲 祝 沿 碘 币 蟹 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 例5 判断曲线 是否有拐点? 解 (1)函数的定义域为 ； (2) ； (3)令 ，解得 ； (4)显然 时, .所以曲线在定义 域内全部是凹的;因此曲线没有拐点 四 堕 果 弦 苫 境 旭 肩 唤 墅 平 瘤 转 附 迟 凰 叙 见 彪 肩 尽 思 赎 庚 浩 梨 茵 四 展 苇 挝 隶 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 演 示 文 稿 下 载 播 放 - 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点