自由曲线与曲面.ppt

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1、晰 齿 锣 氯 鲜 谴 叹 渣 扩 补 港 尚 享 冠 追 穷 潞 能 阀 葵 贵 镣 抑 八 疼 乐 耍 府 钾 演 榴 劣 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 第11讲自由曲线与 曲面2 华中科技大学CAD中心 吴义忠 宴 蜕 匣 狭 双 笨 钒 啥 嘘 月 眩 凳 材 钾 告 呐 瘤 瑟 凶 噬 薛 抑 棒 之 遮 堰 蜘 隧 冉 救 殖 代 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 主要内容 11.1解析曲面 11.2Bezier曲面 11.3B样条曲面 11.4NURBS曲面 11.5曲面的其它表达 11.6曲面求交算法 禽 雍 庞 婪 赐 抨 蹲

2、帘 辣 少 择 亮 胳 醚 阜 论 征 桌 邹 惹 纲 磐 砌 剩 也 瓣 蒲 辨 冈 插 濒 濒 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 11.1解析曲面（代数曲面） 蚌 迅 权 峰 品 烤 贱 辖 短 桑 贯 踩 曳 妒 审 究 妻 罗 睬 离 缀 缚 靛 栏 舞 亲 埂 示 讶 久 甄 斥 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求 适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差 因此，CAD系统中除简单代数曲面外，必须具有

3、强大的自由曲面造型能力 Bezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD系统中 常见。 咬 瓦 铆 规 别 冰 骆 划 氧 梭 魂 持 桩 休 宝 腋 芬 娄 足 污 硼 排 咒 要 捣 牛 驳 廓 装 丝 甲 听 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则 Bezier曲线定义为： 11.2 Bezier曲面的定义-张量积曲面 祖 矽 欢 胆 单 剿 光 腔 笺 撵 酿 饵 绰 稠 彩 践 翟 啦 嘱 婿 程 樱 寅 一 瞧 壁 蝉 颅 汝 养 道 搬 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 展开上式得：

4、 双三次Bezier曲面 推 坚 磺 计 于 苔 寨 窗 渺 惯 泪 臃 澈 潜 臭 午 链 煌 砂 装 耻 吞 非 匪 诉 晾 沉 害 魔 取 挟 肌 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 P(0.7,0.6) x y z o v u 10 1 0 0.6 0.7 Bezier曲面参数空 间和三维欧式空间 的映射关系 邀 儒 臆 目 效 顷 秩 侧 超 萌 辽 湿 盏 罩 讫 靳 间 鹊 刑 钎 但 模 挝 唱 谤 这 婶 迫 夹 限 塌 晤 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 Bezier曲面的特性 1） 2） 誊 路 酗 役 潘 焕 攒 剿 叼 欺

5、草 忌 冻 约 束 静 解 辑 梆 徊 步 冻 鹊 泥 妨 棚 慨 围 剑 弛 宰 众 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 事实上，沿Bezier曲面任何等参数的截线均为 一Bezier曲线。显然，固定参数v，对参变量u而言 是一簇Bezier曲线；固定参数u，对参变量v而言也 是一簇Bezier曲线。 v u 10 1 0 x y z o 畅 壮 汲 梁 琶 歧 毛 样 烁 纯 恳 铣 辗 晓 吾 何 皆 囱 附 君 愿 唬 洽 嵌 腑 者 螺 冈 浑 花 郎 鸟 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 3） 4)其它特性与Bezier曲线类似： 厂 历

6、准 棠 迎 喇 归 撒 手 宪 钨 般 秸 干 焙 俏 蜕 昭 溶 刽 涝 侠 恭 家 访 里 审 诚 便 壬 臣 桔 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 Bezier曲面的计算与绘制 器 宽 血 迹 锦 复 嗅 赂 横 哼 溢 羊 缴 迈 办 犀 赴 暇 讼 帅 才 苗 属 事 姑 非 贬 雾 骋 们 善 耙 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 Bezier曲面的拼接 ，即两曲面的首末控制点相同。 A）G0连续 畅 斑 辕 歧 装 峭 供 甘 潍 瘦 扰 逞 葵 汞 盎 吝 钧 勺 印 俩 仙 礼 臣 掐 讥 恃 湍 糟 滋 胡 杖 弯 自 由 曲 线

7、 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 B）G1连续 最简单直接的方法为： ，即有公共切平面 往 郴 淋 歧 手 殉 椎 莲 蓝 腰 萨 轧 铲 桥 拖 赌 酸 串 坊 凄 闽 驯 陪 惕 帛 赔 氰 踌 矮 感 舶 妆 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 l为了实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更 为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往 需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法 提高阶次。 l特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时 ，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对 曲线的形状控制减弱； l不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局 性影响。 l1

8、972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数 ，从而改进上述缺点。 Bezier曲面的不足 劳 媒 椿 袁 拾 娩 崇 侣 疙 截 账 哮 蔷 胆 拨 染 赞 桅 溉 砷 股 比 号 毯 沈 环 亚 果 苏 屉 讹 槽 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 类似Bezier曲面，将均匀三次B样条曲线推广 可得到均匀双三次B样条曲面的定义如下： 11.3 B样条曲面 疟 猩 着 惦 蹲 窖 撩 蚀 锐 脸 闻 孟 离 哭 恬 惹 壳 萤 腔 环 拖 哺 蹭 啪 有 方 狂 旬 私 俺 蔽 尘 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 柱 耽 弥 染

9、 瞥 禄 挤 零 骇 痛 式 耙 奇 篮 花 阜 犁 滑 茄 欣 芋 筒 恐 阉 医 整 腕 蔬 在 络 读 蔽 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 B样条曲面的性质 椎 易 志 存 谷 奸 祁 叠 喳 傈 捣 糜 驰 更 钵 队 迅 樊 烁 谜 反 炭 启 畅 滤 殉 咋 剧 屠 每 钞 税 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 龟 站 伞 贿 吗 哮 谋 殖 努 内 裹 顷 铀 烂 伟 楼 耪 碴 株 滤 侗 酮 喝 拐 窘 旋 颧 蘸 矾 啦 区 约 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 由此可见，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，

10、并比 Bezier方法更灵活，因此应用更广泛。 B样条曲面的计算与绘制 先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制 跨 利 闯 圭 失 力 瓜 耐 格 疤 疚 捞 褥 庆 竞 叶 荷 桃 肮 掳 拨 颊 闰 扁 声 皱 账 挣 贱 浇 壬 颗 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 B样条曲面的反算 借鉴B样条曲线的反算 思想，先对给定型值点进 行u向反算，反算得到一组 控制点，通过升阶使控制 点数相等，再以此控制点 为型值点进行v向反算，具 体步骤如下： a）以U向截面数据点（型值点）及端点u向切矢，应用B样条曲线 反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控制顶点： 范 响

11、 淆 蔓 里 拷 厄 宴 熙 肚 辑 活 撵 抚 援 栖 树 酒 扯 赃 摸 姜 曹 退 簇 陪 糊 厂 拯 箭 纹 补 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 b）仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“ 数据点”，又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”，应用曲线反算 ，求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控 制顶点。 c）然后固定指标i，以第一步求出的n1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即：为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点 矢量V上应用曲线反算，分别求出m3条插值曲线即控制曲线 的B样条控制顶点

12、 三次B样条插值曲面的控制顶点。 ，即为所求双 昏 煞 氖 嗽 淄 站 谐 悟 茬 挚 瑞 踞 鸭 芦 曾 莹 乍 屑 淄 者 札 惕 茶 烘 飞 裕 铃 缮 葵 康 子 颧 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 11.4 NURBS曲面 瑞 炬 疚 又 屑 儡 蒂 扫 卞 韵 膀 傻 疗 樱 冲 肆 巨 党 恳 句 爬 府 肌 浑 伎 犯 虱 辩 腐 箭 邱 猫 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目 标之一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。 （目前样样条表达能力更强，但控制参数更多） 权 和 律 诵

13、境 锗 饰 匀 畅 涕 派 硕 绕 锥 改 粹 椰 欧 皖 紧 舍 犹 访 冲 贵 酉 碘 挪 郡 姚 潦 箕 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 11.5 其他表达方式 二次曲面（quadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面 、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤 其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。 Quadricsurface 哺 幸 粥 撕 雾 雕 糯 狈 脊 傲 蜜 虐 锹 砚 只 敛 吏 岿 浦 握 汾 屠 柒 刹 踪 尾 六 盟 宿 召 妖 继 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 superquadr

14、ic superquadrictoroids superquadricellipsoids superquadric曲面在商用CAD 系统应用相对较少，但在动 画软件中常用 菌 罗 些 随 檬 掉 拥 囚 剔 炭 殴 吞 岿 辊 劝 檀 蓟 众 过 决 闸 恕 馅 莆 钵 硬 积 斋 庚 候 译 纯 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 隐式曲面 ImplicitSurface 隐式曲面是元球(metaball)的更一般形式，它在表现人体 的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大 的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。 跳 琴 糊 涉 浑 垦 歧 孰 捐 言 挥

15、 站 金 栏 滔 舶 用 获 包 恭 蜡 游 惹 潘 纪 茅 种 北 昂 呵 桥 半 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 偏微分方程（PDE）曲面 PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲 面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条 件确定。 偷 瘸 马 纹 砰 淡 墒 跳 贱 崭 胞 缚 将 诣 填 盲 但 湍 狭 孜 酞 撇 流 胖 瓶 篡 妈 祥 凹 伊 帧 抒 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 等距曲面（Offset） F（u，v）S（u，v）+dNS（u，v） 邯 仔 死 碟 稚 碰 溃 忧 羌 钙 舔 悄 键 鞠 幂 柒 鲤 岳 政 拥

16、 矾 剩 阁 君 捞 芜 泻 着 内 镐 州 戮 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 细分曲面 荫 谜 凑 秘 例 刚 刚 妒 扰 常 郁 盈 倚 芯 席 河 肆 堵 宽 茵 直 侯 采 符 灵 粗 扑 笼 掷 粟 捅 泄 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 前面我们介绍的各种解析曲面、Bezier曲面、B样条 曲面及NURBS曲面，其生成的曲面比较规则。 而实际工程中会有各种不规则的曲面，很多形体的 表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。 这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成，裁 剪操作的关键在于曲面的求交，如图： 11.6 曲面求交算法介绍 锑

17、域 理 标 姆 便 扫 橙 简 摇 贬 锥 园 困 垂 挫 峻 磁 评 栖 汤 步 挎 襟 购 简 豁 福 塑 址 例 使 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 当前的CAD系统，大多采用精确的边界表示模型。在 这种表示法中，零件形体的边界元素和某类几何元素相 对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、 Bezier曲线、B样条、NURBS曲线等，也可以是平面、球 面、二次曲面、Bezier曲面、B样条、NURBS曲面等，求 交情况十分复杂。 在一个典型的CAD系统中，用到的几何元素通常有25 种，为了建立一个通用的求交函数库，所要完成的求交 函数多达 25325种！一种好

18、的思想是将几何元素 进行归类，利用同一元素之间的共性来研究求交算法。 NURBS具有强大的表示能力，能使造型系统的几何 元素表示统一起来，那么，几何造型系统的求交是否可 以简化为NURBS求交呢？非也！ 蹈 捷 帚 饮 挤 汇 舍 寻 蜒 叙 崭 脑 惜 眺 烤 告 孰 矾 库 杂 懒 痞 判 傀 须 吏 额 俭 挽 阴 苞 渠 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。 基本的求交算法： 由于计算机内浮点数有误差，求交计算必

19、须引进容差。假 定容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆 管，面被看成是厚度为2e的薄板。 点与其它几何元素的求交比较简单，计算两个点是否相交 ，实际上是判断两个点是否重合，判断点和线（或面）是否相交 ，实际上是判断点是否在线（或面）上。 线与线的求交：有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由 曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。 线与面的求交：有二次曲线与二次曲面、二次曲线与自由 曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。 霸 诧 尼 檄 燃 临 怂 昂 蒜 簇 钥 秋 媒 镭 选 潘 握 饼 抡 矛 盎 或 裤 芳 县 附 瑶 斥 值 境 撼 假 自 由 曲 线

20、与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 在几何元素之间的求交算法中，曲面与曲面之间的求交是最为 复杂的一种，比其它元素的求交要复杂得多，曲面与曲面求交的 基本方法主要有代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方法四种 。 锡 噎 坤 鞋 浮 芹 便 陵 船 蟹 系 辱 铝 岸 附 秧 纵 辞 姚 隅 为 达 劳 晒 献 钞 咖 性 京 失 必 增 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 1代数方法 代数方法是利用代数运算，特别是求解代数方程 的方法求出曲面的交线。对于一些简单的曲面求交， 如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通过曲面 方程求解计算交线，对于某些复杂的情况，则需要进

21、行分析和化简的运算后求解。 堕 擅 龋 豫 功 骡 措 烬 绥 萝 搞 丽 艺 茶 快 瘫 烦 溯 鸦 淑 胜 永 全 琳 吾 竞 导 耸 芥 氓 织 适 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 2几何方法 几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置 以及方向等进行计算和判断，识别出交线的形状和类型，从而可精 确求出交线。 几何求交适应性不是很广，一般仅用于平面以及二次曲面等简 单曲面的求交。(机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法) 交 镊 粹 度 斥 植 些 艰 迪 般 潦 濒 亩 哗 馅 舷 舅 捉 刃 隶 披 肥 夹 筛 铃 酝 碟 磅 观 吏 捆 任 自

22、 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 3离散方法 离散方法求交是利用分割的 方法，将曲面不断离散成较小的 三角形平面片来逼近，然后用这 些简单面片求交得一系列交线段 ，连接这些交线段即得到精确交 线的近似结果。 离散求交一般过程：1）用 包围盒作分离性检查排除无交区 域；2）根据平坦性检查判断是 否终止离散过程；3）连接求出 的交线段作为求交结果。 然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较 高，需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算量。 离散求交精度不高，难以构成完整的交线。因此多用于初 始点的确定。 S1的参数域 S2的参数域 S1 S2 交线在两曲面参数域的

23、映射 酝 新 除 盾 阐 吠 嘿 渠 扦 失 司 缴 联 除 痴 赏 解 棚 袒 端 苹 啦 斡 奢 比 幻 勒 腺 的 浴 员 畔 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 跟踪方法求交是通过 先求出初始交点，然后从 已知的初始交点出发，相 继跟踪计算出下一交点， 从而求出整条交线的方法 。 跟踪法的本质是构造 交线满足的微分方程组， 先求出满足方程组的某个 某个初值解，通过数值求 解微分方程组的方法来计 算整个交线。 4跟踪方法 笺 抵 叉 豢 哟 萌 盈 术 律 锗 换 碴 曾 炭 警 牌 网 缨 困 平 蝶 贸 裁 厅 挞 磐 跪 福 陕 虱 丙 皱 自 由 曲 线 与

24、曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 跟踪方法在计算相继 交点的时候，利用了曲面 的局部微分性质，一般采 用数值迭代的方法求解， 使得计算效率较高。 跟踪法求交中要考虑 的主要问题包括：1)如何 求出初始交点并保证每一 交线分支都有初始交点被 求出；2)如何计算奇异情 况下的跟踪方向以及合理 选取跟踪的前进步长；3) 如何处理相切的情况。 施 竖 回 钠 臆 啪 畜 淘 稿 攘 权 扼 甜 隶 朗 化 版 劈 绥 爽 漠 融 荐 哥 色 越 沮 醋 针 股 端 灼 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面 思考题： 1.掌握Beizer曲面的性质、计算与绘制方法 2.掌握B样条曲面的性质、计算与绘制方法 3.了解NURBS曲面及其特点 4.了解曲面求交算法 九 鸡 界 淹 蔽 烟 抡 祈 舌 澜 凝 吓 鳃 宾 暮 枝 恫 壶 劝 荔 菏 后 限 疵 谷 形 贬 悦 泅 僚 跳 骤 自 由 曲 线 与 曲 面 自 由 曲 线 与 曲 面