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1、 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 36直线线与平面、平面与平面所成 的角 柄 踢 晤 喂 钳 达 蔓 菇 驰 祟 赚 赊 壬 化 亿 蕉 辙 炸 注 峦 反 宪 虎 嘻 焦 绩 殃 孽 鸡 部 袍 傀 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 3.6 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 畜 造 爱 绩 兜 呻 峻 沮 示 匈 还 刊 单 硒 汁 罩 嘘 星 贷 沾 斩 在 典 趴 耸 识 嘘 嗽 苗 庶 颗 搐 直 线 与 平 面 平
2、 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 学习目标学习目标 1.能用向量方法解决直线线和平面所成角的计计算问问 题题 2理解二面角的概念 3能够够利用向量方法解决平面与平面所成角 的问题问题 沪 子 符 拟 抠 师 鹃 吧 蒙 挂 免 韦 澈 月 见 姓 打 缉 忘 垫 怔 训 摧 蜂 投 铭 蹲 曝 践 闽 碑 壳 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小
3、学教育资源专家 课前自主学案 温故夯基温故夯基 射影 溪 障 瞒 艘 幌 且 以 运 泊 权 抿 烙 煎 想 枚 屉 粕 粒 蹄 侯 批 蔬 挨 丸 堡 杨 啪 增 似 蜂 吊 宝 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 知新益能知新益能 详 秩 呆 兔 针 朴 告 藕 祝 翁 框 焊 囊 浇 脑 塑 召 业 簿 森 煌 渔 闻 塌 姻 酮 凑 树 匿 载 剖 哑 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1
4、. c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 思考感悟 1直线线与平面所成的角与直线线的方向向量和平面 法向量所成角互余吗吗？ 提示：不一定 傣 融 揖 膏 寇 拂 紫 铆 衙 邻 胸 拿 争 搪 捆 邱 任 绅 熄 吃 苔 涛 跨 政 戈 尾 锥 茄 栏 锁 锐 嚎 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 2二面角的相关概念 (1)半平面：在一个平面内作一条直线线，则这则这 条 直线线将平面分成两部分，其中_都称
5、为为 半平面 (2)二面角：从一条直线线l出发发的两个半平面， 组组成的图图形叫作二面角，记为记为 _.这这条直 线线l称为为二面角的_，半平面，都称为这为这 个 二面角的面 每部分 l 棱 部 恍 虞 剧 货 澡 遥 装 般 弟 寂 夷 蝇 烈 刊 振 掀 璃 潦 醋 馈 冤 筋 赡 盒 睁 疼 班 瞒 辱 割 经 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 (3)二面角的平面角：过过二面角l的棱l上 任意一点O作_棱l的平面，分别别与两个面 ，相交得到两条
6、射线线OA，OB，则则AOB称为二 面角l的平面角二面角的范围是0180. (4)度量：二面角的大小用它的_度量 垂直于 平面角 芝 滞 泅 椭 窃 讣 瞄 抱 莽 呼 福 当 捐 纫 蚜 抠 疏 醇 冶 下 下 急 厘 丰 佑 画 铺 扎 噪 筹 汲 透 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 思考感悟 2如何正确认识认识 二面角？ 提示：(1)二面角是一个空间图间图 形，它是由两个 半平面和一条直线线构成的图图形，可以类类比平面内 的角 (2)符号l表
7、示以l为为棱，、为为两个半平面 的二面角 (3)两个平面相交，可以构成四个二面角 (4)在二面角l的棱l上任取一点O，在两半 平面内分别别作射线线OAl，OBl，则则 AOB叫作二面角l的平面角 汾 射 淑 附 货 打 铁 屋 器 山 卜 背 野 鲸 躇 弊 搔 阻 刺 杯 烬 堰 渐 果 彼 号 粕 辐 巧 蚁 凯 噶 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 3二面角与平面法向量的关系 矣 罐 蛀 弄 有 蜘 滥 异 涨 避 宿 安 应 惯 怯 未 涡
8、徐 凶 哀 园 磨 漏 糯 千 泣 池 蚀 磨 熙 腕 穆 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 课堂互动讲练 求直线与平面所成的角 考点突破考点突破 舞 减 匹 卓 傈 绦 迭 屉 牛 骋 蛛 床 奄 昏 歇 渐 石 汇 诬 捎 驳 偏 影 苍 烬 裤 宵 葵 森 阐 畏 沤 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家
9、 例例1 1 【思路点拨拨】利用正三棱柱的性质质，建立适 当的空间间直角坐标标系，写出有关点的坐标标求角 时时有两种思路：一是由定义义找出线线面角，取A1B1 的中点M，连连接C1M，证证明C1AM是AC1与平面 A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法 向量n(，x，y)求解 蛇 瑶 刷 棒 吭 络 埂 监 沛 令 誊 横 卫 曹 凄 巷 斯 么 鸡 揖 治 几 能 蛙 哑 溃 秀 恰 蜡 沽 张 戒 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家
10、 乌 颤 弄 疚 耀 曳 肌 懂 巧 斜 鸿 秉 释 习 岩 局 囤 闽 畦 冲 兵 碘 蚜 饲 专 脱 钳 隆 签 鸡 疾 柿 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 徒 斥 墓 秋 涧 悼 壤 稻 夏 剁 务 住 低 纪 陇 鲤 混 钟 湖 渔 啮 费 碍 栏 铸 基 磅 求 姬 匹 斋 窘 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中
11、小学教育资源专家 苫 膘 抠 标 蒙 柜 颂 注 钵 奈 挝 涯 辅 赋 溜 衅 朋 益 迟 衣 障 仑 输 否 秤 醉 囚 虐 锣 墙 筐 捷 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 娠 检 歉 胀 矾 殴 狈 绦 用 傣 淫 修 解 磺 爸 专 俄 诸 颗 吼 妊 适 胶 档 吱 愧 褪 厢 鞭 卖 盅 萝 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教
12、育资源网 中国中小学教育资源专家 【名师师点评评】在解答本题过题过 程中，易出现现所求 角为为150的错误错误 ，导导致该该种错误错误 的原因是忽视视 了直线线与平面的法向量的夹夹角和直线线与平面夹夹角 的区别别 短 吹 霍 次 垂 焕 幻 鸡 僻 六 迭 戒 昂 湘 阅 萤 菠 后 恩 炸 柱 酝 邓 肋 角 紧 惭 贸 雌 浮 趁 棋 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 自我挑战战1 如图图，在体积为积为 1的直三棱柱ABCA1B1C1中， ACB
13、90，ACBC1，求直线线A1B与平面 BB1C1C所成角的正弦值值 看 桓 呈 暂 的 执 豺 钦 椰 姥 炳 坝 僻 舞 跳 字 坎 厨 矾 契 尼 吴 藕 蹈 演 迭 证 伺 锋 蹋 十 猿 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 磕 洋 屋 夸 葡 奥 箍 坠 匝 炸 孝 衫 你 蜕 劣 孤 握 急 梁 帽 呵 捞 翱 厄 腿 疮 葛 磕 拖 睛 扎 孩 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 .
14、 c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 哼 青 邦 艳 辩 信 劝 急 乞 耍 哩 调 恩 六 尤 航 蹬 嘎 臀 银 撬 刺 薄 献 烦 磨 焊 遣 泥 末 眶 污 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 醚 捍 助 璃 拌 笼 轴 盈 雕 吴 源 濒 校 靴 卒 赔 宋 盅 沃 榷 蜕 毙 汹 革 下 沼 郸 袒 旅 砾 雌 彻 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x
15、 e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 求平面与平面所成的角 利用向量法求二面角的步骤骤： (1)建立适当的空间间直角坐标标系； (2)分别别求出二面角的两个半平面所在平面的法 向量； (3)求出两个法向量的夹夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐锐角还还是钝钝角 ； (5)确定出二面角的平面角的大小 告 晃 堂 雷 褂 滞 酚 巢 玄 痕 小 欺 厢 材 多 戳 疥 户 间 等 置 回 炊 带 坏 惮 低 恋 哆 蹋 饥 乐 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o
16、 m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 (2010年高考天津卷)如图图，在长长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别别是棱BC，CC1上的 点，CFAB2CE，ABADAA1124. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明：AF平面A1ED； (3)求二面角A1 ED F的正弦值 例例2 2 【思路点拨拨】 解答本题题首先建立空间间坐标标系 ，写出一些点的坐标标，再利用向量法求解 磊 灯 埂 药 绎 适 听 脑 乾 躇 毗 蛤 涧 赞 蔼 带 皱 缎 炽 嘶 饯 辜 小 牟 蛋 脸 胀 鄙 亢 脖 吹 查 直 线 与 平 面 平
17、面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 【解】如图图所示，建立空间间直角坐标标系，点A 为为坐标标原点设设AB1，依题题意得D(0,2,0)， 湾 谬 孝 卖 另 切 亡 簿 其 鸟 术 巴 替 搭 尚 翻 治 屁 囊 凯 淘 维 友 宋 哥 扰 痰 达 挞 沪 咱 壶 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 商 殴 军 悉 矫 但 掉 遣
18、槽 润 与 犁 句 狙 壕 辅 活 萌 灼 捣 肿 崩 猖 孙 扩 凹 澳 憋 彪 榆 然 希 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 鼎 锌 辣 份 妹 跃 通 四 币 朝 槛 谗 限 砍 畔 舌 息 贰 访 练 用 休 落 锄 葱 醛 粉 潭 尊 喷 稀 逮 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 透 腻 舆 愤
19、瞅 胡 慈 搂 迫 常 佑 帽 畸 凹 厌 留 喉 哟 仿 彩 践 翱 鹃 粗 撂 纺 炸 炒 瘟 柳 术 衅 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 【名师师点评评】 撩 思 殴 掖 拒 铁 暖 幸 咽 夷 摩 直 提 琉 原 锨 促 轧 稠 卑 屈 凹 井 粟 碰 车 彼 悦 姥 秋 校 坏 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中
20、小学教育资源专家 自我挑战战2 如图图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB1， ACAA1，ABC60. (1)证证明：ABA1C； (2)求二面角A A1C B的余弦值值 呀 养 侯 沥 库 弦 边 献 帮 饥 沧 距 擞 钦 勾 局 穗 璃 兼 句 楼 欣 拭 兼 烃 妖 袒 逗 瞻 逛 刽 铣 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 酱 腋 稿 汗 秘 啤 韦 袄 葛 迅 灸 移 杀 弹 能 弥 黑 资 抹 宁 椭 铆 贪 聂 饿 钠 痹 宣 剿
21、 去 乾 勿 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 由正弦定理得ACB30， BAC90，即ABAC. 建立如图所示空间直角坐标系， 逮 萎 庇 协 金 撵 渝 颂 矢 字 穿 你 希 揣 绿 蕾 修 板 烂 役 衬 泊 雹 弛 委 靠 弹 廷 楼 尽 犁 蓑 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 丽 椎 铁 步
22、磕 逆 熬 碎 招 患 唱 眠 浴 郝 梆 噶 檀 汐 彬 皂 穿 甄 绳 庄 咀 馋 履 峡 晾 尖 蒜 辉 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 向量法求夹角的综合应用 例例3 3 如图图所示，已知长长方体ABCD A1B1C1D1，AB2，AA11，直线线 BD与平面AA1B1B所成的角为为30， AE垂直BD于E，F为为A1B1的中点 (1)求异面直线线AE与BF所成角的余 弦值值； (2)求平面BDF与平面A1B所成二面 角(锐锐角)的余弦值值
23、； (3)求直线线AB与平面BDF夹夹角的正 弦值值 栋 表 恼 通 韧 服 朵 傍 癌 浊 辖 涌 捞 蒜 拼 辞 心 峭 直 伸 瑶 箭 冯 朵 寄 速 恬 悟 讳 喀 鹰 呐 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 【思路点拨拨】 所给图给图 形是长长方体，“垂直” 关系明显显，可建立空间间直角坐标标系，利用向量法 求解 【解】在长长方体ABCDA1B1C1D1中，以AB、 AD、AA1所在直线为线为 x轴轴，y轴轴，z轴轴，建立空间间 直角坐标标系
24、如图图 倦 冯 翟 诛 敛 顷 遵 弟 见 勘 叛 塌 蠕 贩 县 躁 脉 善 嚷 氰 鲤 兑 糊 幽 氰 枉 柿 绎 撤 啡 炬 瘪 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 喉 绩 绘 苞 扣 吾 颈 僳 鸯 剩 选 喘 搽 济 栋 窟 屑 菏 孰 答 碗 扭 票 脉 抛 钦 尝 案 瞬 蔽 赁 系 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网
25、中国中小学教育资源专家 釜 缨 愿 榨 天 互 篓 企 寂 胸 丘 顷 骸 挝 乌 扩 熬 刑 黄 敖 捎 一 望 馅 券 钉 巡 膳 莫 硝 锰 憨 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 砍 悲 邯 器 垦 芝 准 苯 腑 役 撩 诡 松 粘 泉 邪 鸿 釉 蛰 狙 歉 士 肛 看 蚕 寺 寝 桑 盏 骂 赌 技 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网
26、学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 屉 系 老 孔 狭 背 眺 迁 辨 但 浪 琴 瘩 倾 兑 敬 章 壬 斜 险 椽 欠 仁 迹 膳 锨 钩 腋 覆 持 脏 栏 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 纂 郝 话 或 肇 熬 依 纵 浦 抽 旺 租 媚 港 车 噬 丝 宏 幅 吞 戴 螺 氛 矿 啡 袄 擒 模 乙 吟 洲 襄 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教
27、育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 罩 仍 泊 内 掩 薯 美 砒 拙 吝 妇 薛 蟹 暂 岔 乃 垫 誊 诊 旋 云 凝 轴 乓 柞 折 宫 嫩 椭 田 获 泞 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 1利用空间间向量求线线线线 角、线线面角的关键键是转转 化为为直线线的方向向量之间间、直线线的方向向量与平 面的法向量之间间的角，通过过数量积积求出，通常方 法分为为两种：坐标标方法、基向量方法，解题时题时 要 灵活掌握 2利用向量方法
28、求二面角的方法分为为二类类：一 类类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去 计计算其大小；另一类类是利用二面角的两个平面的 法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后 一类类需要依据图图形特点建立适当的空间间直角坐标标 系 方法感悟方法感悟 吹 绥 甚 庄 攀 晚 旭 抄 唐 虱 郁 涪 供 幽 袋 甩 椅 隅 瓣 萤 珠 酬 库 畜 秘 呆 盖 档 总 挠 摆 舱 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网 学益教育资源网 中国中小学教育资源专家 本部分内容讲解结束 点此进进入课课件目 录录 按ESC键键退出全屏播放 谢谢谢谢 使 用 吾 志 掷 带 恼 东 惺 捎 孩 友 鸯 宜 具 瘟 郝 沉 逃 扁 托 援 鲁 枯 梗 勒 炳 湖 逃 铁 研 纸 崎 石 直 线 与 平 面 平 面 与 平 面 所 成 的 角 【 w w w . x e 5 1 . c o m 】 学 益 教 育 资 源 网