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1、知识网络 本 章 归归 纳纳 整 合 誓 搀 卧 惦 鹃 奠 感 输 薯 亦 捻 氯 缔 鞍 祈 财 苯 姿 鼠 图 亥 缄 甩 奖 饭 矾 饿 鸟 暂 酮 披 赣 知 识 网 络 知 识 网 络 两个计数原理 分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决 问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时 ，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的 正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事 到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的 关键注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分类中 有分步，两个原理往往交错
2、使用 要点归纳 1 替 霄 牟 彪 舱 刻 绵 抬 硷 志 弱 含 檄 疲 递 谓 验 产 簧 省 盖 池 摩 靖 葬 香 遵 侦 棉 磁 桑 嗜 知 识 网 络 知 识 网 络 排列与组合 主要是排列数与组合数计算公式、性质的应用以及排列组合 应用题 排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其 中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式， 在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本 遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组 合问题 有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：(1)元素 分析法：先考虑特殊
3、元素的要求，再考虑其他元素(2)位置 分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置 2 些 射 乳 象 符 创 修 儒 尉 词 谣 槛 压 萝 脊 静 袜 先 凛 莎 增 膜 襄 纂 财 煽 缘 畦 香 伊 籍 器 知 识 网 络 知 识 网 络 组组合应应用题题的难难点是与几何图图形有关的问题问题 ，此时时一般要 与两个原理结结合应应用，还还要结结合图图形的实际实际 意义义 排列与组组合综综合应应用题题中也有很多重点和难难点，比如分配 问题问题 ，一般方法是先分组组，后分配，分组问题组问题 又要注意均 匀分组组和不均匀分组组的区别别，均匀分组组在各组组逐一满满足后 还还要除以均匀分组组组组
4、数的全排列；而有公共元素的分配问题问题 ，则则可以利用图图示法求组组数，这样这样 可以避免分组组中的重复 二项项式定理 这这部分常考知识识、题题型、主要方法以及注意点大体如下： (1)与二项项式定理有关，包括定理的正向应应用、逆向应应用，题题 型如证证明整除性、近似计计算、证证明一些简单简单 的组组合恒等式 等，此时时主要是要构造二项项式，合理应应用展开式； 3 趋 庐 也 滑 竖 批 幕 惮 很 趋 丧 阂 搐 慑 渭 谚 劫 馏 厚 烛 承 庶 粟 剐 晴 赤 戚 挥 束 憋 胖 灸 知 识 网 络 知 识 网 络 (3)与二项项式系数有关，包括求展开式中二项项式系数最大的项项 、各项项的
5、二项项式系数或系数的和、奇数项项或者偶数项项的二项项 式系数或系数的和以及各项项系数的绝对值绝对值 的和，主要方法是 赋值赋值 法，通过观过观 察展开式右边边的结结构特点和所求式子的关 系，确定给给字母所赋赋的值值，有时赋值时赋值 后得到的式子比所求 式子多一项项或少一项项，此时时要专门专门 求出这这一项项，而在求奇 数项项或者偶数项项的二项项式系数或系数的和时时，往往要两次赋赋 值值，再由方程组组求出结结果，在求各项项系数的绝对值绝对值 的和时时 ，则则要先根据绝对值绝对值 里面数的符号赋值赋值 求解 撮 萨 迅 仪 抒 协 兰 研 协 耽 副 封 减 咐 协 家 岛 姻 敖 士 舆 榜 询
6、 得 骋 鼻 懒 而 泅 萨 毖 怯 知 识 网 络 知 识 网 络 专题一两个计数原理 选择选择 使用两个原理解决问题时问题时 ，要根据我们们完成某件事情采取 的方式而定，确定是分类还类还 是分步要抓住两个原理的本质质分 类类加法计计数原理的关键键是“类类”，分类时类时 ，首选选要根据问题问题 的特 点确定一个合适的分类标类标 准，然后在这这个标标准下进进行分类类；其 次分类时类时 要注意，完成这这件事的任何一种方法必须须属于某一类类 ，并且分别别属于不同类类的两种方法必须须属于某一类类，并且分别别 属于不同类类的两种方法是不同的方法分步乘法计计数原理的关 键键是“步”，分步时时首先要根据问
7、题问题 的特点确定一个分步的标标准 ；其次，分步时还时还 要注意满满足完成一件事必须须并且只有连续连续 完 成这这n个步骤骤后，这这件事才算完成，只有满满足了上述条件，才能 用分步乘法计计数原理 考 赚 砾 孟 骂 从 独 爷 勿 杭 橱 挫 躇 缉 随 荒 惩 掠 丁 之 庇 召 杠 胃 碧 冻 杭 镣 凡 蓖 惹 绣 知 识 网 络 知 识 网 络 有3封信，4个信筒 (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种 寄信方法？ 解(1)分3步完成寄出3封信的任务务；第一步，寄出1封信 ，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三 步
8、，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务务，根据分步乘 法计计数原理，共有4444364种寄信方法 【例1】 喷 箩 依 卒 荧 赫 孜 翘 阀 倍 屁 措 炳 烬 滋 嫩 痛 餐 法 裤 们 集 斌 绵 戎 辉 局 短 蛇 沈 住 掀 知 识 网 络 知 识 网 络 排列组组合应应用题题是高考的一个重点内容，常与实际问题实际问题 相 结结合进进行考查查要认认真阅读题阅读题 干，明确问题问题 本质质，利用排 列组组合的相关公式与方法解题题 (1)在求解排列与组组合应应用问题时问题时 ，应应注意： 把具体问题转问题转 化或归结为归结为 排列或组组合问题问题 ； 通过过分析确定运用分类计类计 数原理
9、还还是分步计计数原理； 分析题题目条件，避免“选选取”时时重复和遗遗漏； 列出式子计计算并作答 (2)处处理排列组组合的综综合性问题问题 ，一般思想方法是先选选元素( 组组合)，后排列，按元素的性质质“分类类”和按事件发发生的连续连续 过过程 “分步”，始终终是处处理排列组组合问题问题 的基本方法和原理，通过过 专题二排列组合的应用 擒 谚 芦 猾 肆 委 晰 伟 绵 科 伏 函 必 蜒 裂 掏 肾 婆 卞 赶 槐 尧 小 酸 酝 揪 饶 港 具 舔 洪 拾 知 识 网 络 知 识 网 络 解题训练题训练 注意积积累分类类和分步的基本技能 (3)解排列组组合应应用题时题时 ，常见见的解题题策略
10、有以下几种： 特殊元素优优先安排的策略； 合理分类类和准确分步的策略； 排列、组组合混合问题问题 先选选后排的策略； 正难则难则 反、等价转转化的策略； 相邻问题邻问题 捆绑处绑处 理的策略； 不相邻问题邻问题 插空处处理的策略； 定序问题问题 除法处处理的策略； 分排问题问题 直排处处理的策略； “小集团团”排列问题问题 中先整体后局部的策略； 构造模型的策略 然 鸟 棵 撮 卖 储 掣 饯 赢 塞 肚 夜 贴 澳 傲 秆 你 坑 蔑 灰 举 义 翰 默 结 脂 朵 暗 凉 端 炬 潍 知 识 网 络 知 识 网 络 某运输输公司有7个车队车队 ，每个车队车队 的车车均多于4辆辆， 现现从这
11、这个公司中抽调调出10辆车辆车 ，并且每个车队车队 中至少抽 取1辆车辆车 ，那么共有多少种不同的抽调调方式？ 【例2】 寿 呐 异 纽 舀 仍 片 把 栗 怖 开 倦 吮 炊 损 焚 焰 策 谁 阂 调 骇 刺 示 狠 彼 松 椭 瑰 肃 司 劲 知 识 网 络 知 识 网 络 (1)一条长长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻邻2人之间间 至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？ (2)一条长长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰 有2个空位相邻邻，共有多少种不同的坐法？ 【例3】 浴 添 怖 鸦 梢 诽 鸭 朔 撵 证 绣 匀 靶 龙 磷 秧 鸥 丢 宛 瑚 需 邪 购 往 彼 遏 嚼
12、 副 臣 性 贼 薛 知 识 网 络 知 识 网 络 四 灾 醋 冕 钮 攻 枣 锋 挝 札 六 麓 饼 疤 便 镑 澡 民 景 型 滞 炯 窗 毫 揣 先 竹 社 凿 怒 疲 娠 知 识 网 络 知 识 网 络 二项项式定理是历历年高考中的必考内容，解决二项项式定理问问 题题，特别别是涉及求二项项展开式的通项项的问题问题 ，关键键在于抓 住通项项公式，还还要注意区分“二项项式系数”与“展开式系数” 二项项式定理的应应用主要有以下几个方面： (1)近似求值值利用二项项式定理进进行近似计计算，关键键在于构 造恰当的二项项式(pq)n(其中|q|1)，并根据近似要求，对对 展开式的项项合理取舍 (
13、2)解决整除问题问题 通常把底数化为为两数的和或差的形式， 且这这种转转化形式与除数有密切的关系，再利用二项项式定理 展开，只考虑虑前面或后面的一两项项就可以 专题三二项式定理及应用 本 弹 豪 控 适 苞 潜 大 踢 军 载 咋 典 哲 舍 曾 蜒 弘 鲍 抽 顺 斡 燕 跺 绒 吏 肃 运 鲸 霸 跨 铸 知 识 网 络 知 识 网 络 (3)求和求二项项展开式系数和的基本方法是赋值赋值 法在 解决有些数列求和的问题时问题时 ，要注意对问题实对问题实 施转转化， 为应为应 用二项项式定理创创造条件 (4)解不等式或证证明组组合恒等式用二项项式定理证证明不等 式时时，通常表现为现为 二项项式
14、定理的正用或逆用，再结结合不 等式的证证明方法论证论证 而证证明组组合恒等式的关键键在于构 造不同的二项项式，比较较系数进进行证证明 农 掸 跃 奄 亲 诲 亚 柑 拼 饼 孩 函 褥 利 秤 盔 归 扮 弄 屑 许 哗 坎 鳃 抑 妆 厅 萄 腰 芦 芋 摩 知 识 网 络 知 识 网 络 【例4】 嘎 忙 捞 运 挎 短 贪 稳 吠 匆 懦 腹 蚕 灾 赦 岿 挤 婴 陶 牌 试 淆 懈 线 袱 杖 锡 摹 刀 昨 帕 锈 知 识 网 络 知 识 网 络 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0， 求(1)a1a2a7的值值； (2)a1a3a5a7的值值； (3)a0a2a4a6的值值
15、解(1)令x0，则则a01，令x1， 则则a7a6a1a027128 所以a1a2a7129； (2)令x1，则则 a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7 ， 【例5】 降 段 讳 誊 浙 誉 蓝 另 斯 举 锡 房 腆 酝 欺 医 通 寿 尘 肯 冀 忙 匆 泅 媳 富 壮 章 憋 纹 蟹 簿 知 识 网 络 知 识 网 络 求证证：133233n1能被26整除(n为为大于1 的偶数) 【例6】 抑 嚎 丘 膛 荫 煌 毛 赋 箕 似 孔 家 都 坪 琵 狮 拱 敢 汗 进 嘛 拉 仗 吟 日 搭 胚 院 烘 痘 凰 阳 知 识 网 络 知 识 网 络 排列、组组合试题试题 从形式上看有以
16、下几种最为为常见见的问题问题 ：数 字问题问题 ，人或物的排列问题问题 ，几何问题问题 ，选选代表或选样选样 品的 问题问题 ，集合的子集个数问题问题 试题试题 的难难度与教材习题习题 相当， 为为体现现高考的选选拔功能，少数题题有难难度，多为为几何问题问题 二项项式定理试题试题 每年一道，题题型为为以下几种：求展开式中的 某一项项或某一项项系数的问题问题 ；求所有项项系数的和或者奇数项项 、偶数项项系数和的问题问题 ；二项项式某一项为项为 字母，求这这个字母 的值值的问题问题 ；求近似值值的问题问题 ，试题难试题难 度不大，与教材习习 题题相当 命题趋势 烦 箍 葬 闸 书 罩 侗 氢 凛 数 羽 抛 郭 阂 肠 伞 紫 宙 褂 傍 嫂 堕 搪 穿 滴 演 像 傲 瘦 雏 狼 召 知 识 网 络 知 识 网 络