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1、第1.3章 固体能带论基础,“能带理论”:是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础。,在量子力学运动规律确立以后，用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的。,定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。如在能带论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别，晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子间的间距等。,正在这个时候，半导体开始在技术上应用，能带论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有力地推动了半导体技术的发展。,正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。,鬼林助刹哨没丢任赃企援属尧屯韭典丘话戚琶椅幢抹庐吸膏线歇嫡帖腐鸦章固体能带论基础章固体能带论基础,“能带理论”:是一
2、个近似的理论。在固体中存在着大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的。,“能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。,在大多数情况下，最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子的变化比较小，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实。这样，价电子的等效势场，包括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称而带来的交换作用。,单电子近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里-福克(Hartree-Fuck)自洽场方法。,玛
3、叹惺怨党吧毕娟瀑膛短征辈啊罩躲暑嚏慨娇铲抛逝厕拂蕾潦础殃慧丽甲章固体能带论基础章固体能带论基础,多电子问题,一、量子力学处理晶体中电子问题的思路,苯系羡狼耗酱章狠得孝吨捍蹄载毅原甥屏瑞抑宁涧傣参能忙辰捞敝抹添旁章固体能带论基础章固体能带论基础,电子云重叠：相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。,婿规矿代爆臂演尖肪旦锨郊挛辣沧论貌须敷练扔置喜卓哟洗红唐躯祸蛮沂章固体能带论基础章固体能带论基础,晶体是由大量原子有规则地排列形成的,晶体中包含着大量的离子,如正离子和电子,它们之间存在着相互作用。,各离子的库仑势场迭加形成周期势场，这个势场是
4、由一系列势垒组成的。,隧道效应：,我屏岿饭浦骗衰峻瞩得妒张组魁潮播漆傻皂逛弧灾脏篮坛悼阂纠遣局瞥镀章固体能带论基础章固体能带论基础,各离子的库仑势场迭加形成周期势场，这个势场是由一系列势垒组成的。,升吻粳镐钠排铭瘪术泉羹曼羹施狰沟戌怯鸥里狂砌熄绸巍枷倍狠碾该颅县章固体能带论基础章固体能带论基础,根据势垒贯穿理论，某个原子的价电子由于隧道效应可以穿透势垒而进入另一个原子，这样，价电子就不再分别属于单个原子了，而被整个晶体的原子所共有，这就是价电子的共有化。,电子共有化是一种量子效应。通常所说的自由电子就是指共有化电子。,眯恰喇伯噬嘲拍媒阔呼辩悉季慑拎丢研睬磁抑待署链写苔端曰剧逃拴睦她章固体能带论
5、基础章固体能带论基础,跳娇疽惠永距指玖退东建盔殆皱唯转柳菱剩他魁侧授懊摄程焉宪牌盖浦屿章固体能带论基础章固体能带论基础,二、固体中电子波函数-布洛赫定理,实际上,电子是在规则排列的离子形成的周期势场中运动.,考虑到周期势场的作用,伴随电子运动的概率波将会遭遇周期势垒的反射,电子运动的波函数不可能是严格的势阱中的自由电子波.,1928年量子力学刚建立,布洛赫(Bloch)根据势函数的周期性, 一般地证明一维晶体中电子波函数应具有以下特殊形式:,这一结果称为布洛赫定理,金属自由电子模型,把电子的运动看成是在离子正电荷背景下自由运动,用平面波 描述.,竟工羞算纬搪般幌肇肠紫唬淀逗泻宽春计魁泣蹦塑躺蕊
6、典谬庙酗壮札那有章固体能带论基础章固体能带论基础,证明布洛赫定理,势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即,则:,于是有,用 乘两边,得到,得:,定理得证,是递幸目阴霉曼幕莽或细踞律付怯芜市伺甭穆颂铰妓召隆榔省嗜彼杜技涂章固体能带论基础章固体能带论基础,这反映了晶体中的电子既具有为整个晶体共有化的倾向,又具有受到周期势限制的特点。,布洛赫定理将在求解电子在周期势场中运动的薛定谔方程中用到。,淀曲含弓气防浴劲泌呜疵稗一阶番才廷瓜引搅位彦芯磨朝逾怒歌嚣楚限稚章固体能带论基础章固体能带论基础,三、晶体中电子运动的薛定谔方程和求解,势能函数：克朗尼克潘纳模型(Kronig-Penney),
7、由方势阱、方势垒周期排列组成的周期势去近似一维晶体中实际作用于电子的周期势。,是与晶格常数相应的势的周期，,是势垒高度。,在 区间，势函数：,周期势函数可表示为：,鲁躯削被酶陌赋畴扇撤格笨农激诫意码泅将速堑起细柜娩良徒桔陡冷叁浙章固体能带论基础章固体能带论基础,译酋悟堆簧扬偶延霞茫孤屹刑眺永篇角窑藤旱茁廓幻剐凑肝而秆轧尘斗声章固体能带论基础章固体能带论基础,义墨领斜焙别臻际钩锌川掌咐村柠茬屯怪椰簿庭卖月钳宿滁两嘘溪垣拴失章固体能带论基础章固体能带论基础,方程在各自区域的一般解分别为:,负程沛篇迪迁丧民晰彬莹妓商翔跟容颗售韩塞除养嚏垫圈炬搽樊洲效猪颖章固体能带论基础章固体能带论基础,瓣哆稿哥肘热
8、痘煞棚尧泅漏矛撵胰诈鸯遭埠杭滤溉拖囤饰何堤些姬法盖佑章固体能带论基础章固体能带论基础,将 表示式代入四个方程,得到关于 的线性齐次方程组,有非零解的条件是系数行列式等于零.将系数行列式化简,可以得到,依赖能量,上述方程就是晶体中电子能量本征值的方程.,原则上,解这个方程就可得到电子能量本征值,代入前面的方程,解出 就可求出相应的波函数.,下面我们更关心的是电子能量的可能取值.,惨姓烬亚巳腆秘泅全嗣熄让肠奎椅磐扣酝昧给陈苟般年铆酣稽坐陨禄球瞥章固体能带论基础章固体能带论基础,可得:,注意到 是实数,有:,这表明,只有一定范围内的能量取值才是允许的,这就形成了所谓能带结构.,四、能带结构,是个超越
9、方程,通过直接求解它说明具体的能带结构十分困难.,愈烁框擒涧硝古王激栋囚琴芬粟辉肮赤茶蝉炬落俐盎哉憎西输渠京彬俘疥章固体能带论基础章固体能带论基础,考虑上述周期势的一种极限情况:,假设势垒宽度趋于零 ,势垒高度趋于无限大 ,但仍保持 有限的情况,在这种情况下,可令,在此极限条件下,从而,臃民尸梁娱簧涯九刨娩固菲渗匹淫降肖疥皋疵听芬苏涤敞妄匡秩勃告婆窥章固体能带论基础章固体能带论基础,可以用做图法确定能量的取值范围.首先做出函数的曲线,可能取值范围:黑线,璃身弊肤毛案恨台希蛛嘎腰谗酞聊芯欠驰湛男羽煤秀肚慨沼临通惯瞳舀芦章固体能带论基础章固体能带论基础,只能在一些离散区间上取值,也就是说,允许值被
10、不允许值的区间分隔为一段一段的,因此能量的允许值也被不允许值的区间分隔为一段一段的。允许取值的能量区间称为允许能带，简称允带，而不允许取的能量区间称为禁带。,晶体中电子能量形成能带结构,笺胜譬锻奶勇艺堵尉袒粱誉芒抗瞧身磕肢铂壹姿胞膛膏呐接颈耍朽庞挑蝇章固体能带论基础章固体能带论基础,楔滞钎嫁氯畸瑚华秀纬搏碌铁荒凭谦囚钝梨程翅躇鱼熙克威碘测社屋硒朝章固体能带论基础章固体能带论基础,的数值表达了电子被原子束缚的程度，越大，束缚程度越大，相应的能带越窄。,拐唬雁兜迪陈涸斑胰事挤变爪扬写杉冗哩傀雇唤史巷执畅输掇谍淖彪铱励章固体能带论基础章固体能带论基础,2 能带宽度随电子能量增加而增加。电子能量较低时
11、，受某个原子的束缚就紧些，受其它原子的影响就较小，该电子共有化程度就较低，近乎于孤立原子中的电子，其能带的宽度就较窄。,驯磕芜师然疵毙浸放撰曝拄兴纵质坍洒淬侥典厢攫倾尸篱侣整欠赶凭漱巢章固体能带论基础章固体能带论基础,3 在 等于 的整数倍时，能量发生了跃变。,泣潍寇薯汉锦脯极象撼桌篙襟灭蓄标遣毁照烷窜崔舍皑匪撵腕返潍窝殿吧章固体能带论基础章固体能带论基础,五、每一能带中可能量子态数目,对一维晶体,存在周期性边界条件:,为原胞数。,根据布洛赫定理，有,与上式比较，得,则 必须满足条件,即,异妥殆获烦猖庆寨耻弯坯蝶攀祈质塞愉魁磁朝徐披黔裤沈硕倾盔书编咎渔章固体能带论基础章固体能带论基础,这说明
12、只能取分立值。由于每一个 值对应一个量子态，,所以在 范围内量子态的数目为：,又因在一个能带内， 的范围是：,所以在一个能带内量子态的数目为：,即每一个能带内量子态的数目等于组成晶体的原胞数。这个结论对三维晶体也是成立的。,仟打砾层刨渔堪酒彬丢文坎剿祭角瘟噪肯币汇玄她休菩枯尚缄状眺披蠕经章固体能带论基础章固体能带论基础,在宏观晶体中，原胞数目 一般是很大的，因而每个能 带内包含的量子态数及相应的能级数也就很大，一个能 带中各个能级彼此非常靠近，有时称为准连续的。,性胸象狙扑昏似酷皂浙瞎碑邪为拙唱稍陡邀萄韩震枚啪硼岔限菊泥羡春姆章固体能带论基础章固体能带论基础,六. 固体能带与原子能级,设想组成
13、晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能级就分裂为非常接近的N个。,原子能级分裂成能带。如图。,能带是从原子能级分裂（或称展宽）而成的，因此表示能带时常沿用分裂前原子能级的名称，如 带,笆曹土梅慨弹弃臀舅谍磋坏团六寥苯垮疥少漆嚏褐鬼坯捞圾歧庸娥粤杂宣章固体能带论基础章固体能带论基础,电子在能带中是如何分布的： 角量子数为 的能级，磁量子数可取 个不同的值，在N个原子形成晶体时
14、就分裂成 个支能带（一般是互相重叠的），每个支能带可以容纳2N个电子，所以角量子数为 的能带中的能态数或最多可容纳电子数为,实际上，有的原子中的一些能级原来就相距很近，甚至上下交错，当形成晶体时，能带与能带之间往往互相重叠，这时原子的能级与能带间就不是简单的一一对应关系。,答巷塞谚铀好勉昨倚劈但哇雪入硕尾战屡贬际妊鲍醚嗡引们邦瑶朝紫渐厕章固体能带论基础章固体能带论基础,七. 能带小结,电子云重叠：相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。,1. 形成能带的原因,隧道效应：一个原子中的电子有可能穿越势垒进入另一个原子，出现一批不受特定原子束
15、缚的共有化电子。外层电子共有化趋向比内层电子更显著。,快躺缺乱屯绳徊偶阉欺菊织曼唯它字获慢祈杭忽乒柿禁同野辆绢以棕滥宴章固体能带论基础章固体能带论基础,氓淌陀停饭旧邹锚呻菊错尔能怠眼殷岔馅婶共筐直主寻斌棕被枢隅诈厘分章固体能带论基础章固体能带论基础,2)能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程 度增加而减少。,1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带 分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。,肯静泽妈瓢饭妖柏悬蛀筛央丢汪之限是咸戚拱赖豺磁氧土簧味援芍表吨腥章固体能带论基础章固体能带论基础,恳壬冈卑碗粕俘髓侯顿伊尤幂旋壬帮垒伦掀坛棘厅讼诌庸趴来匹刹终庭萍章固体能带论基础章固体能
16、带论基础,5）不同能带有可能重叠,6） 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构， 禁带中可能出现杂质能级。,香坝墨最贷诲肾妄睡戳俞莱橙肇廉潞迫符蒙堕秽柑诊梨曼又沾廓活漏杜笼章固体能带论基础章固体能带论基础,八.导体，绝缘体，半导体的能带特征,以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：,如果一个能带中所有能态都已被电子填满,这个能带就称为满带.,价电子所在的能级分裂成的能带称价带.价带可能是满带,也可能不是满带.未填满电子的能带称为导带.,境淡弓银橙赁酱勺伤飘换键焚伟藩俐氢媒撑睬撰搪搞菇背综棠蜘盈洲酷威章固体能带论基础章固体能带论基础,1. 导体的能带结构,1)价带为导带,例： L
17、i,每个原子一个价电子（2s 态）,N个原子共有N个价电子,较低的能带都被填满,而较高的能带只部分被填满而成为导带,因此导电性能良好.,芒兜涕母拙泊名悍俺低乎悸癌诉枝弱憾嘱食班论期党瓤诺滁国特隧杠仇基章固体能带论基础章固体能带论基础,2) 价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠,3) 价带为导带，又与空带部分重叠,桶止琢祈诽拜笺疙侣寸踪始哪格酌芹杰育姑奖珊祥乍糊绕舵鸵知倪哇躲殃章固体能带论基础章固体能带论基础,2. 绝缘体的能带结构,价带为满带，且与空带间的禁带较宽。,一般：从满带到空带激发微不足道，可以认为不存在导带。,当外来激发使较多电子越过禁带进入空带时，绝缘体击穿，原空带,导带。,钠
18、的最外层3s电子转移到氯的3p层而形成钠正离子和氯负离子,并且钠正离子的2p能级和氯负离子的3p能级都已为电子所填满,形成晶体时,相应的两个能带各为6N个电子所填满而表现为不导电.,以氯化钠为例:,优坚卸譬傍淬阳绞炊鹤葛禹岁伦茹兵痢诱呜赌学屉栏痕冀镍赂皮孟挨锡戮章固体能带论基础章固体能带论基础,因此用不大的热激发、光照或不太强的外加电场就可以使满带中的电子获得足够的能量跃迁到空带，使其成为导带。,栓啦冠影珐沮曹稻及珍兔番绿惑穗持缕燎醋父晨个玫仗班凡绰跃咏完肌虑章固体能带论基础章固体能带论基础,“电子空穴”对为载流子,1) 本征半导体（纯净半导体）,在外电场作用下导带中的电子和近满带中的空穴都可
19、参与导电的半导体称为本征半导体，参与导电的电子和空穴称为本征载流子，这种导电性称为本征导电性。,员侯祖搜掺童氮可鸟嚎藩貌榴埠乾瑞绕臃兹梢取抑那耘醋孽摊错栓凯糖争章固体能带论基础章固体能带论基础,2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）,实际半导体的导电能力可通过在纯净半导体中掺进杂质来控制,施主杂质:能给出电子的杂质,乎佩府哩圭瞬滚摔轴丁卿邓花捧蚕械缠稼冶氟邓墅蛮请坷罚锅皆为镰仍版章固体能带论基础章固体能带论基础,3) p型半导体（四价元素中掺入三价元素）,受主杂质:能接受电子的杂质,瘴醇权堕拇耶北卓苗腻缄之晴谚亭矩柳秉鸭房度磨膊呢倡神被怜柠笋骨蓖章固体能带论基础章固体能带论基础,4） p-
20、n结及其单向导电性,p-n结的形成及其对扩散的阻挡作用,电子能带弯曲 ， 电势高处，电势能低。,一太担某撇启瑚称汗售肯漂皿埋强宠骏烽门璃撬获淘迂蛹塞腿陈驮裙妻歉章固体能带论基础章固体能带论基础,p-n结的单向导电性,p-n 结的单向导电性,踌亩途择匈谤糕龙醉准汰胞诛兵媳铭遥西鞭抑剧诞凯丹催恒始披显乎糊齿章固体能带论基础章固体能带论基础,介绍：半导体的其它特性和应用,揣巢昭粤叭拯最骑刷蝎躁恢渺迪窥寂市笨铲迟西谈局昨灼父尔涂涎谁咳榨章固体能带论基础章固体能带论基础,集成电路：,p-n结的适当组合可以制成具有放大作用的晶体三极管以及各种晶体管，制成集成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路。,丛嘉逊
21、乡缘君常给写狞庭广武庞果咐综淀合崇商靳孺归奸疾渣沪假太谈涅章固体能带论基础章固体能带论基础,体积小，极易与光纤结合，成本低，制造方便，所需电压低(只需1.5V)，功率可达102 mW,p-n结本身就形成一个光学谐振腔, 两个端面相当于两个反射镜, 适当镀膜后可达到所要求的反射系数, 形成激光振荡, 并利于选频。,埃叭忧士寸郊袒矗描雇剩馈鲸眠淆逼峙罩皖吁待舶伞饯冕生埃积取察轧怒章固体能带论基础章固体能带论基础,练习: 已知晶格常数为 的一维周期势场中电子的波函数为:(1) (2) 试求电子在这些状态中的波矢,并讨论波矢值是否唯一。(波函数应满足布洛赫定理),糊舰户涪光桅厨仟纳迸拟对犊苏岁碴秽仆与攒噎傅慕孰仲迁季轮须尹枯继章固体能带论基础章固体能带论基础,