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1、.常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解dydyx2xy分离变量Ce 2 ， C 为任意常数1.xdx ， ydxy2.xydx1x2 dy 0dyxdx ， yCe 1x2， C 任意常数分离变量1x2y3.xyy ln ydy1dx ， yCex0 分离变量xy ln y4.( xy2x)dx2yydyxdx， (1y2)(12) C( xy)dy 0 分离变量y22x11 x5. dy(2 x y 5)2令 u2x y 5则 du2dydxdxdx， du2dx ， 1arctan ux C1u2226. dyxydy1yy ，dyx du ，代入得1u21x，令 uududx，原方程
2、变为dxxydx1yxdxdx1u2xxyyy2arctan uu ln xC， ux 回代得通解 2arctanxln xxC方程变形为 dyyy2y ，代入得dudx7.xyyx2y2010 ，令 udxxxx1u2xln x C ， uyyyarctanux 回代得通解 arctanxln xxC8.x dyy ln y ，方程变形为 dyy ln y ，令 uy，dudx， ueCx 1 ， yxeCx 1u(ln u1)xdxxdxxxx9. dy2xy4x，一阶线性公式法 y2xdx4xe2 xdxC)Ce x22e(dxdx10. dyy2x2,一阶线性公式法 y12x2 e1d
3、xC)x3Cxe x (xdxdxdxx11.(x21)y2xy4x22x4x2一阶线性公式法y1(4x3C)，方程变形为 yx2yx21x2311.12.( y26x) dy2 y 0 ，方程变形为dx3x1y 一阶线性公式法y1 y2Cy3dxdyy2213.y3xy xy2 ，方程变形为1dy3x 1x 伯努利方程，令 z y1 , dzy 2 dy 代入方程y2dxydxdx得dz3xzx 一阶线性公式法再将 z 回代得13 x2Ce 2dxy1314. dy1 y1 (12x) y4 ，方程变形为1dy1 11(12x)伯努利方程，令dx33y4 dx3 y33zy 3, dz3y
4、4dy 代入方程得dzz2x1，一阶线性公式法再将z 回代得dxdxdx1Cex2x 1y315.y5y6 y0，特征方程为 r 25r6 0 ，特征根为 r12,r23，通解yC e2 xCe 3 x1216.16y24y9y0，特征方程为 16r 224r90 ，特征根为 r1,23，通解43 xy(C1C2x)e417.yy0 ，特征方程为 r 2r0 ，特征根为 r10,r21，通解 yC1C2 e x18.y4y5y0，特征方程为 r 24r5 0 ，特征根为 r12i, r22i ，通解ye2 x (C1 cosxC2 sin x)19.(x2y)dxxdy0 ，全微分方程 x2d
5、x( ydxxdy)0 ，d x3d( xy)0 ，通解 x3xyC3320.( x3y)dx( xy)dy0，全微分方程x3 dx( ydx xdy)ydy 0 ，d x4d(xy)d y20 ，42通解x4xyy2C42.21.(x2y2 )dx(2 xy y)dy0 全微分方程 x2dx( y2 dx2xydy) ydy0，d x3d( xy2 )d y20 ，通解 x3xy2y2C323222.(x cosycosx) yy sin xsin y 0 ，全微分方程( x cosydysin ydx)(cos xdyy sin xdx)0， d(x sin y)d( y cosx)0 ，
6、通解x sin yy cosxC23.(3x2y)dx(2x2yx)dy22x2ydyydxxdy 0 ，积分因子1，方程变C ，3x dxx2为 3dx2ydyydxxdy0 ， d3xdy2d y0 ，通解 3xy2yCx2xx24.xdxydy ( x2y2 )dx， 积 分 因 子1， 方 程 变 为xdxydydx 0 ，x2y2x2y2d 1 ln(x2y2 )dx0 通解1 ln( x2y2 )x C2225.( x2y2y)dxxdy0，( x2y2 ) dxydxxdy0，积分因子x21y2 ，方程变为dxydxxdy0 ， dxd arctan x0，通解 xarctan
7、xCx2y2yy26.ye3xsin x ，可降阶 y( n)f (x) 型，逐次积分得通解y1 e3 xsin xC1 xC2927.y1y 2 ，可降阶令 p(x)y ，原方程化为 p1p2 可分离变量型，得 yptan(x C1 ) ，积分得通解 yln cos(xC1 )C228.yyx ，可降阶 yf ( x, y ) 型，令 p(x)y ，原方程化为 ppx ，一阶线性非齐次公式法得 ypC exx1，积分得通解 yC1ex 1 x2xC212.29.y30.y31.y32.y33.y.y 3y ，可降阶 yf ( y, y ) 型，令 p( y)y , yp dp ，原方程化为
8、p dpp3pdydy即 p dp(1 p2 ) 0 ， p0 是 方 程 的 一 个 解 ， 由 dp(1 p2 ) 0 得dydyarctan p yC1 即 yptan(yC1) ，通解为 yx C2C1arcsine2 yxf ( x)exPm ( x)型，1 是特征方程2210 的y 4xe ，二阶常系数非齐次重根，对应齐次方程的通解为Y(C1C2 x)ex ，设特解为 y*x2 (axb)ex ，代入方程得(6ax2 )x4xa2 ,b0，故原方程的特解为y*2 x3 ex ，原方b exe ，得33程通解为 y(C1C2x)ex2 x3ex3a2 yex ，二阶常系数非齐次 f
9、( x)ex P (x)型，2a20，特征值为r1,2aim特征方程 r，对应齐次方程的通解为 YC1 cosaxC2 sin ax ，1 不是特征根，设原方程特解为 y*AexAexa2 Aexex ，得 A12 则 y*1ex2 ，原方程通，代入方程得1aa解为 yC1 cosaxC2 sin axex1a2yx cosx ，对应齐次方程的通解为 YC1 cosxC2 sin x ，设 yyx 的一个特解为y1AxB 代入此方程得 A1,B0 ，故 y1x ；设 yycosx 的一个特解为 y2Ex cosxDx sin x 代入此方程得 E 0, D1，故 y21 xsin x ；原22
10、方程通解为 YC cosxC sin xx1 xsin x1226y9y ex cosx ， 特征方程 r 26r90 ，特征值为 r1,23，对应齐次方程的通解为YC1e3 xC2 xe3 x ，1i 不是特征根，原方程特解设为 y*ex (a cos xb sin x)代入 方程得a3 , b4，则 y*ex ( 3 cosx4 sin x)25252525，原方程通解 为.YC1e3xC2 xe3xex ( 3 cosx4 sin x)252534.已知 y1e3 xxe2 x , y2exxe2x , y3xe2 x 是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该方程的通解y（）答案： y
11、C1exC2 e3 xxe2 x ，y1y3e3x , y2y3ex 是对应齐次方程两个线性无关的解35.函数 yC1exC2e 2xxex 满足的一个微分方程是（）( A) yy2y3xex( B) y y2 y 3ex(C ) yy2 y3xex( D ) yy 2 y 3ex解析：特征根为11,22 ，则特征方程为 (1)(2)0 即220 ，故对应齐次方程为 yy 2 y0 ； y*xex 为原方程的一个特解，1,为单根，故原方程右端非齐次项应具有xf ( x)Ce 的形式。36.微分方程 ( yx3 )dx 2xdy 0满足y x 16）5 的特解为 （答案：yx1 x25，提示：一
12、阶线性微分方程满足下列微分方程初始条件的特解37. xdxydy0, y x 00， 分 离 变 量y(1 y)dyx(1x)dx， 通 解 为1 y1 xy2y3x2x2Cy x 00C0y2y3x2x22323，由得，所求特解为 232338.yxy , y x12，令uyududx1 u2ln xC，将 u 回代得通解为yxx 则原方程化为x 得 2y22x2 (ln xC) 由 y x 12 得 C2，所求特解为 y22x2 (ln x2)39.y3y2y5, yx 01, yx 02，特征方程r 23r2 0特征根为r11,r22，对应齐次x2x*5方程的通解为 YC1eC2e ，
13、y2 为非齐次的一个特解，故原方程的通解为.C151yC1exC2e2 x5C2C15,C2 72解得2 ；由初始条件得C12C22 ，故所求2x72 x5特解为 y5e2e240.y y 4xex , y x 00, y x01，特征方程 r 2 10 特征根为 r11,r21，对应齐次方程的通 解为Y C1exC2 e x，1是 特 征 方程 的单 根， 故 原方 程的 特解 设 为y*xex ( AxB) 代 入 原 方 程 得 ex (4 Ax 2A2Bx)4xex比 较 系 数 得A1,B1， 从 而y*xex (x1)， 因此 原 方 程 的 通 解 为y C1exC2e xxex (xC1C201) ，由初始条件得 C1C21 1解得 C11,C21，故所求特解为 yexe xxex ( x 1).