2019年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一).docx

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1、.2019 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（5分）已知集合A=x| x2+4x 0， C=x|x=2n ， n1N ，则（ A B） C=（）A 2 ，4B0 ， 2C 0 ，2，4D x|x=2n ，nN2（5 分）设 i 是虚数单位，若，x ，yR，则复数 x+yi 的共轭复数是（）A 2iB 2iC 2+iD 2+i3（5 分）已知等差数列 a n 的前 n 项和是 Sn，且 a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A a5 是常数BS5 是常

2、数C a10 是常数D S10 是常数4（5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板 ”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A BCD5（ 5 分）已知点 F 为双曲线 C：（ a 0，b0）的右焦点，直线 x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若 AF 的中点在双曲线上， 则双曲.线的离心率为（）A BCD6（5 分）已知函数则（）A 2+BCD7（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）A BCD8（5 分）

3、已知函数（ 0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数 f（x）的图象（）A 可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向左平移个单位而得B可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向右平移个单位而得C可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向右平移个单位而得D可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向右平移个单位而得9（5 分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A 73B 61C 55D 6310（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为 1 的正六边形，点 G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是 （）.A BCD11（ 5 分）已知抛物

4、线2的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线12C： y =4xl ， l ，直线 l1 与抛物线 C 交于 A 、B 两点，直线 l 2 与抛物线 C 交于 D、E 两点，若l1 与 l2 的斜率的平方和为1，则 |AB|+|DE|的最小值为（）A 16B20C 24D 3212（5 分）若函数 y=f（x），x M ，对于给定的非零实数 a，总存在非零常数 T，使得定义域 M 内的任意实数 x，都有 af（x）=f（ x+T）恒成立，此时 T 为 f （x）的类周期，函数 y=f （x）是 M 上的 a 级类周期函数若函数 y=f（ x）是定义在区间 0，+）内的 2 级类周期函数，且 T=

5、2，当 x 0，2）时，函数若 ?x16， 8，?x2（0，+），使 g（x2） f（x 1）0成立，则实数 m 的取值范围是 （）A BCD二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （ 5分 ） 已 知 向 量， 且， 则=.14（5 分）已知 x，y 满足约束条件则目标函数的最小值为15（5 分）在等比数列 a 中，a ?a =2a ，且 a 与 2a的等差中项为 17，设 b =an2 3147n 2n 1a2n， N*，则数列n的前2n项和为nb 16（5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB BC，AD BC，点 E 是线段 CD 上异于点 C，D 的动点

6、， EFAD 于点 F，将 DEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置，并使 PF AF，则五棱锥 PABCEF 的体积的取值范围为三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17（ 12 分）已知 ABC 的内角 A ， B， C 的对边 a，b，c 分别满足 c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点 D 满足（ 1）求 a 及角 A 的大小；（ 2）求的值18（ 12 分）在四棱柱 ABCD AB C D1中，底面ABCD 是正方形，且111， A 1AB= A 1AD=60（ 1）求证： BD CC1；（ 2）若动点 E 在棱

7、 C1D1 上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 BDB 1 所.成角的正弦值为19（12 分） “过大年，吃水饺 ”是我国不少地方过春节的一大习俗2018 年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（ 1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（ 2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布 N（，2），利用该正态分布，求Z 落在（ 14.55， 38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水

8、饺中这种质量指标值位于（ 10， 30）内的包数为 X ，求 X 的分布列和数学期望附 ： 计 算 得 所 抽 查 的 这100 包 速 冻 水 饺 的 质 量 指 标 的 标 准 差 为；2若 ZN（，），则 P（Z +）=0.6826，P（ 2Z +2）=0.954420（12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；.（ 2）若直线 l： y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，在 y 轴上是否存在点 D，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD +kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存在，试说明

9、理由21（ 12 分）已知函数 f （x）=ex2（a1）xb，其中 e 为自然对数的底数（ 1）若函数 f（ x）在区间 0 ，1上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；（ 2）已知函数 g（x）=ex（a1）x 2 bx1，且 g（ 1） =0，若函数 g（x）在区间 0，1上恰有 3 个零点，求实数 a 的取值范围请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆 C1 的参数方程为（为参数， a 是大于 0 的常数）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C2 的极坐

10、标方程为（ 1）求圆 C1 的极坐标方程和圆 C2 的直角坐标方程；（ 2）分别记直线 l ：，R 与圆 C1、圆 C2 的异于原点的交点为 A ，B，若圆 C1 与圆 C2 外切，试求实数 a 的值及线段 AB 的长选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f （x）=|2x+1|（ 1）求不等式 f （x）10|x3|的解集；（ 2）若正数 m，n 满足 m+2n=mn，求证： f （ m）+f（ 2n）16.2019 年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

11、要求的.（5分）已知集合A=x| x2+4x 0， C=x|x=2n ， n1N ，则（ A B） C=（）A 2 ，4B0 ， 2C 0 ，2，4D x|x=2n ，nN【解答】 解： A=x| x2+4x 0=x|0 x，4=x|3 43x33=x| 4 x 3 ，则 A B=x| 4 x4，C=x|x=2n ，nN ，可得（ AB） C=0， 2， 4 ，故选： C2（5 分）设 i 是虚数单位，若，x ，yR，则复数 x+yi 的共轭复数是（）A 2iB 2iC 2+iD 2+i【解答】 解：由，得 x+yi=2+i ，复数 x+yi 的共轭复数是 2i 故选： A3（5 分）已知等差

12、数列 a n 的前 n 项和是 Sn，且 a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）.A a 是常数BS 是常数C a 是常数D S 是常数551010【解答】 解：等差数列 an的前n项和是n，且 4 5 67，Sa +a +a +a =18 a4 +a5+a6+a7=2（ a1+a10）=18， a1 +a10=9，=45故选： D4（5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板 ”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A

13、BCD【解答】 解：设 AB=2 ，则 BC=CD=DE=EF=1 ， SBCI= = ，S 平行四边形 EFGH=2SBCI=2 = ，所求的概率为P=故选： A5（ 5 分）已知点 F 为双曲线 C：（ a 0，b0）的右焦点，直线 x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若 AF 的中点在双曲线上， 则双曲.线的离心率为（）A BCD【解答】 解：设双曲线 C：的右焦点 F（ c， 0），双曲线的渐近线方程为y= x，由 x=a 代入渐近线方程可得y=b，则 A （a，b），可得 AF 的中点为（， b），代入双曲线的方程可得 =1，可得 4a22acc2=0，由 e= ，可得 e

14、2+2e 4=0，解得 e=1（ 1舍去），故选： D6（5 分）已知函数则（）A 2+BCD【解答】 解：，2= costdt=，.=（）+（ cosx）= 2故选： D7（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）A BCD【解答】 解：第 1 次循环后， S=，不满足退出循环的条件，k=2；第 2 次循环后， S= ，不满足退出循环的条件， k=3；第 3 次循环后， S= =2，不满足退出循环的条件， k=4；第 n 次循环后， S=，不满足退出循环的条件， k=n+1；第 2018 次循环后， S=，不满足退出循环的条件， k=2019第 2019 次循环后， S=2，满

15、足退出循环的条件，故输出的 S 值为 2，故选： C8（5 分）已知函数（ 0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数 f（x）的图象（）A 可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向左平移个单位而得.B可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向右平移C可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向右平移D可由函数 g（ x） =cos4x 的图象向右平移【 解 答 】 解 ： 函 数个单位而得个单位而得个单位而得= sin （ 2x） ?+=sin（2x ）（0）的相邻两个零点差的绝对值为， ? = ， =2，f （x ）=sin（4x ）=cos（4x ） =cos（4x ）故把函数 g（x

16、） =cos4x 的图象向右平移个单位，可得 f（ x）的图象，故选： B9（5 分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A 73B 61C 55D 63【解答】解：展开式中所有各项系数和为 （ 2 3）（1+1）6 = 64；=（ 2x3）（ 1+ + ），其展开式中的常数项为3+12=9，所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 649=73故选： A10（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长.为 1 的正六边形，点 G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是 （）A BCD【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥PABCDEF ，底面是正六边

17、形，有一 PAF 侧面垂直底面，且 P 在底面的投影为 AF 中点，过底面中心 N 作底面垂线，过侧面 PAF 的外心 M 作面 PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心 O，设 PAF 的外接圆半径为r，解得 r=，则该几何体的外接球的半径R=，2表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4R=故选： C.11（ 5 分）已知抛物线C： y2=4x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线l 1， l2，直线 l1 与抛物线 C 交于 A 、B 两点，直线 l 2 与抛物线 C 交于 D、E 两点，若l1 与 l2的斜率的平方和为1，则 |AB|+|DE|的最小值为（）A 16B20C 24D 32

18、【解答】 解：抛物线 C： y2=4x的焦点 F（1，0），设直线 l1 ：y=k1（ ），直x1线 l2： y=k2（ x 1），由题意可知，则，联立，整理得： k12x2（2k12）x+k12，+4=0设 A （x1， y1）， B（x2，y2），则 x 1+x2=，设 D（x3，3）， （4，4），同理可得：34=2+，yE xyx+x由抛物线的性质可得：丨AB 丨=x 1+x2+p=4+，丨 DE 丨=x3 +x4+p=4+， |AB|+|DE|=8+=，当且仅当= 时，上式 “=成”立. |AB|+|DE|的最小值 24，故选： C12（5 分）若函数 y=f（x），x M ，对于给

19、定的非零实数 a，总存在非零常数 T，使得定义域 M 内的任意实数 x，都有 af（x）=f（ x+T）恒成立，此时 T 为 f （x）的类周期，函数 y=f （x）是 M 上的 a 级类周期函数若函数 y=f（ x）是定义在区间 0，+）内的 2 级类周期函数，且 T=2，当 x 0，2）时，函数若 ?x16， 8，?x2（0，+），使 g（x2） f（x 1）0成立，则实数 m 的取值范围是 （）A BCD【解答】解：根据题意，对于函数 （fx），当 x0，2）时，分析可得：当0x1时， f （x）= 2x2，有最大值 f （0）= ，最小值 f （1）= ，当 1x2 时， f（x）=f

20、（ 2 x），函数 f （x）的图象关于直线x=1 对称，则此时有f（ x），又由函数 y=f （x）是定义在区间 0，+）内的 2 级类周期函数，且 T=2；则在 6， 8）上， f （x）=23?f（x6），则有 12f（x）4，则 f（ 8） =2f（ 6） =4f（4）=8f（2）=16f（ 0） =8，则函数 f（x）在区间 6， 8上的最大值为 8，最小值为 12；对于函数，有g （x）=+x+1=，.分析可得：在（ 0，1）上， g（x ） 0，函数 g（x）为减函数，在（ 1，+）上， g（ x） 0，函数 g（x）为增函数，则函数 g（ x）在（ 0，+）上，由最小值 f （

21、 1）= +m，若 ?x1 6，8， ?x2（ 0，+），使 g（x2） f（ x1 ）0成立，必有 g（x）min f（x）max，即 +m8，解可得 m，即 m 的取值范围为（ ， ；故选： B二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（ 5 分）已知向量，且，则=【解答】 解：根据题意，向量，若，则? =2sin cos=0，则有 tan =，22或，又由 sin +cos =1，则有则 =（，）或（，），则 | |=，则= 2+ 22 ? =；故答案为：.14（5 分）已知 x，y 满足约束条件则目标函数的最小值为【解答】 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得

22、 A （ 2， 4），=，令 t=5x 3y，化为 y=，由图可知，当直线y=过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， t 有最小值为 2目标函数的最小值为故答案为：15（5 分）在等比数列 an 中，a2?a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 17，设 bn=a2n 1a2n， N*，则数列n的前2n项和为nb 【解答】 解：等比数列 a n中，2 31，且4与7的等差中项为，a ?a =2aa2a17设首项为 a1，公比为，q则：，.整理得：，解得：则：，所以： bn 2n1 2n=2n4，=aa =2则： T2n=故答案为：16（5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB

23、BC，AD BC，点 E 是线段 CD 上异于点 C，D 的动点， EFAD 于点 F，将 DEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置，并使 PFAF ，则五棱锥 PABCEF 的体积的取值范围为（0， ）【解答】 解： PFAF ，PFEF，AFEF=F， PF平面 ABCD 设 PF=x，则 0 x 1，且 EF=DF=x 五边形 ABCEF 的面积为 S=S 梯形 ABCD SDEF= （1+2） 1 x2= （3x2）五棱锥 PABCEF 的体积 V=（ 3 x2）x= （3xx3），.设 f（ x） = （3xx3），则 f （ x） = （ 33x2） = （1x2），当 0x1 时

24、， f （ x） 0， f（x ）在（ 0，1）上单调递增，又 f （0）=0， f（ 1）= 五棱锥 PABCEF 的体积的范围是（ 0， ）故答案为：三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17（ 12 分）已知 ABC 的内角 A ， B， C 的对边 a，b，c 分别满足 c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点 D 满足（ 1）求 a 及角 A 的大小；（ 2）求的值【解答】 解：（1）由 2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即 2sinBco

25、sA=sin（A+C ）=sinB，在 ABC 中， sinB0，所以又 A （ 0，），所以在 ABC 中， c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2 2bccosA=b2+c2+bc=7，所以.（ 2）由，得=，所以18（ 12 分）在四棱柱ABCD A 1B1C1D1 中，底面ABCD是正方形，且， A 1AB= A 1AD=60（ 1）求证： BD CC1；（ 2）若动点 E 在棱 C1D1 上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 BDB 1 所成角的正弦值为【解答】 解：（1）连接 A 1B，A 1D，AC ，因为 AB=AA 1=AD ， A 1AB= A 1AD=60

26、，所以 A 1AB 和 A 1AD 均为正三角形，于是 A 1B=A 1D设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 A 1O，则 A 1O BD，又四边形 ABCD 是正方形，所以 AC BD ，而 A 1O AC=O，所以 BD 平面 A 1AC 又 AA 1? 平面 A 1AC，所以 BD AA 1，又 CC1AA 1，所以 BD CC1（ 2）由，及，知 A 1B1，A D.于是，从而 A 1 AO，O结合 A 1OBD，A1，得1 底面ABCD，AC=OA O所以 OA 、OB、 OA1 两两垂直如图，以点 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A

27、（1，0，0）， B（0，1，0），D（ 0， 1，0）， A 1（0，0，1），C（ 1，0，0），由，得 D1（， ， ）111设（0， 1 ），则（ xE， E， E ） （ ， ， ），即E（ ， ， ），+1 y +1 z 1 =1 1 011 1所以设平面 B1BD 的一个法向量为，由得令 x=1，得，设直线 DE 与平面 BDB 1 所成角为 ，则，解得或（舍去），所以当 E 为 D1C1 的中点时，直线DE 与平面 BDB 1 所成角的正弦值为.19（12 分） “过大年，吃水饺 ”是我国不少地方过春节的一大习俗2018 年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种

28、品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（ 1）求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（ 2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布 N（，2），利用该正态分布，求Z 落在（ 14.55， 38.45）内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于（ 10， 30）内的包数为 X ，求 X 的分布列和数学期望附 ： 计 算 得 所 抽 查 的 这100 包 速 冻 水 饺 的 质 量 指 标 的 标 准 差 为；2若 ZN（，），则 P（Z +）=

29、0.6826，P（ 2Z +2）=0.9544【解答】 解：（ 1）所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.2（ 2） Z 服从正态分布N（ ， ），且 =26.，5 11.，95 P（ 14.55Z38.45）=P（26.5 11.95Z26.5+11.95）=0.6826， Z 落在（ 14.55，38.45）内的概率是 0.6826根据题意得 X B（4， ），； X 的分布列为X01234P20（12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）若直线 l： y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，在 y 轴上是否存在点 D，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD +kBD 为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由【解答】 解：（1）由已知可得解得 a2， 2 2，=2 b =c =1所求椭圆方程为.（ 2）由得（ 1+2k2） x2+8kx+6=0，则 =64k224（ 1+2k2）=16k2 240，解得或设 A （x1， y1）， B（x2，y2），则，设存在点 D（0，m），则，所以=要使 kAD +kBD 为定值，只需 6k4k（ 2 m）=6k8k+4mk=2（2m1），k 与参数 k 无关，故 2m1=0，解得，当时， kA