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1、最新资料推荐球的体积和表面积 学习目标 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一球的体积公式与表面积公式431.球的体积公式V3R (其中 R 为球的半径 ).2.球的表面积公式S 4R2.思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面.知识点二球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆 .2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径 .题型一球的表面积和体积例 1(1) 已知球的表面积为64，求
2、它的体积；500(2) 已知球的体积为3 ，求它的表面积 .解 (1) 设球的半径为 R，则 4R2 64，解得 R 4，4343256所以球的体积V3R343.(2) 设球的半径为 R，则 43R3 5003，解得 R 5，所以球的表面积 S4R2 4 52100.跟踪训练 1一个球的表面积是 16，则它的体积是 ()6432A.64 B. 3C.32 D.3答案D1最新资料推荐解析设球的半径为R，则由题意可知4R2 16，故 R 2.所以球的半径为2，体积 V 43R332 3 .题型二球的截面问题例 2平面 截球 O 的球面所得圆的半径为1.球心 O 到平面 的距离为2，则此球的体积为(
3、)A. 6 B.4 3 C.4 6 D.6 3答案 B解析如图，设截面圆的圆心为O，M 为截面圆上任一点，则 OO 2，O M 1.OM 2 2 1 3.即球的半径为3.434 3.V (3)3跟踪训练 2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3， 5， 15，则它的外接球表面积为_.答案9解析如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x， y，z，则由已知，xy 3，x 3，得 yz 5，解得 y 1，zx 15，z 5.所以球的半径R1AB1x2 y2 z2 3，222所以 S 球 4R2 9.题型三球的组合体与三视图例 3某个几何体的三视图如图所示，求
4、该几何体的表面积和体积.2最新资料推荐解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2 的正方体， 上部是半径为1 的半球， 该几何体的表面积为S 12 4 126 22 12 24 .该几何体的体积为V 23 14 13 823.23跟踪训练3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解设正方体的棱长为a.正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图 (1) 所示，则有2r1 a，即 r1 a，所以 S1 4r21a2. 2球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的
5、对角面得截面，2如图 (2) 所示，则2r 22a，即 r2 2 a，3最新资料推荐所以 S2 4r222 2a .正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图 (3) 所示，则有2r33a，即 r 332a，所以 S3 4r223 3a .综上可得S1S2S3 1 23.轴截面的应用例 4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.分析分别表示出取出铁球前后水的体积 由水的体积不变建立等式 求出所求量 .解如图， O 是球的最大截面，它内切于 ABC，球的半径为 r
6、.设将球取出后，水平面在MN 处， MN 与 CD 交于点 E.则 DO r， AD 3r， AB ACBC 2 3r ，12123.CD 3r.由图形知 V 圆锥 CE V 圆锥 CD 3ME CE 3AD CD CE3 CD3r)23r 3r3，又 V 圆锥 CD (3V 圆锥 CE V 圆锥 CD V 球 O 3r3 43r3 53r3，35r3333 3r CE (3r) ， CE15r .球从容器中取出后，水的深度为3 15r.1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是()A.36 ，144 B.36 ， 36C.144 ，36D.144 ， 144 4最新资料推荐2.若球的体积与其表
7、面积数值相等，则球的半径等于()1A. 2B.1 C.2 D.33.两个半径为1 的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_.4.若球的半径由R 增加为 2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍.5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.一、选择题1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 ()48A. 3B. 3C.43D.3232.一个正方体的八个顶点都在半径为1 的球面上，则正方体的表面积为 ()A.8B.82C.83D.423.两个球的半径之比为1 3，那么两个球的表面积之比为 ()A.1 9B.1 27C.1 3D.1 14.设正方体的表面积为24 cm2
8、，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是()33238343A.6 cmB. 3 cmC.3 cmD. 3 cm5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ， R，则球的表面积为 ()A.4 (r R)2B.4 r2R2C.4 RrD. (R r) 26.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()324A.3B.4 C.2 D. 37.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个5最新资料推荐球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为 ()500 3866 3A. 3cmB
9、. 3cm1 372 32 048 3C.cmD.cm33二、填空题8.一个几何体的三视图( 单位： m)如图所示，则该几何体的体积为_ m3.99.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为2 ，则正方体的棱长为 _.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是_.11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同 )后，水恰好淹没最上面的球(如图所示 )，则球的半径是_cm.三、解答题12.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中
10、 BAC 30)13.一个高为16 的圆锥内接于一个体积为972 的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1) 圆锥的侧面积；(2) 圆锥的内切球的体积 .6最新资料推荐当堂检测答案1.答案B243解析球的半径为3，表面积S 4336，体积 V3336.2.答案D解析设球的半径为R，则 4R2 4 3，所以 R 3.3R3.答案3 2解析设大球的半径为R，则有 4R3 2 4 13，33R3 2， R 32.4.答案84解析球的半径为 R 时，球的体积为 V1 4R3，表面积为 S1 4R2，半径增加为2R 后，球34332322的体积为 V2 3(2R) 3 R，表面积为S24(2R) 16R
11、.2323223 R16R所以V 8，SV1S14R2 4，433R即体积变为原来的8 倍，表面积变为原来的4 倍 .5.答案3解析由三视图可知， 该几何体为一个半径为1 的半球，其表面积为半个球面面积与截面面1积的和，即 4 3.课时精练一、选择题1.答案C7最新资料推荐解析由题意可知， 6a2 24， a 2.设正方体外接球的半径为R，则43 43.3a 2R， R 3， V 球 3R2.答案A解析 球的半径为1，且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2 4，即 a24.324正方体的表面积为6a 6 8.3.答案A解析由表面
12、积公式知，两球的表面积之比为R12 R22 1 9.4.答案D解析由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为433 cm.5.答案C解析方法一如图，设球的半径为r1，则在 Rt CDE 中，DE 2r1，CE R r， DC R r.由勾股定理得4r12 (Rr )2 (R r)2，解得 r1 Rr.故球的表面积为S 球 4r2 4Rr.1方法二如图，设球心为O，球的半径为r 1，连接OA， OB，则在Rt AOB 中， OF 是斜边 AB 上的高 .由相似三角形的性质得OF 2BF AF Rr，即 r 12Rr，故 r 1 Rr，故球的
13、表面积为S 球 4Rr.6.答案D解 析 正 四 棱柱 的底面 边 长为1 ， 侧棱 长 为2 ， 正 四棱 柱 的体 对 角线 的长为1 1 2 22.又 正四棱柱的顶点在同一球面上， 正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径， 球的半径 R 1.故球的体积为V43R3 43.7.答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC 8 6 2(cm) ， BM 12AB 12 8 4(cm).设球的半径为R cm，则 R2 OM 2 MB2 ( R 2)2 42， R 5，453500 3).V 球 3(cm38最新资料推荐二、填空题8.答案918解析将三视图还原为实物图
14、后求解.由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、 1，所以 V43 278 2 1 3 6 9 18.9.答案3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a，球半径为 R，则 43R3 92， R 32， 3a 3， a 3. 10.答案 814解析由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为 R，球心为O，正四棱锥底面中心为E，则 OE |4R|，所以2 (2)229(4 R)R ，解得 R .所以球的表面4281积 S 4R 4 .11.答案4解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r ，容积为
15、 r2 6r 6r3 ，高度为8 cm 的水的体积为8r2,3 个球的体积和为 34r3 4r3，由题意得6r3 8r234r3，解得 r 4(cm).三、解答题12.解如图所示，过 C 作 CO1AB 于 O1.在半圆中可得 BCA 90， BAC 30， AB2R，AC 3R， BC R， CO1322R， S 球 4R ，S圆锥 AO 侧 3R3R3R2，1229最新资料推荐S圆锥 BO1侧 332，2 R R2 RS 几何体表 S 球 S圆锥 AO 侧 S圆锥 BO 侧1111R2 3R21132R2.22故旋转所得几何体的表面积为113R2.213.解(1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于 O， O1 内切于 ABC.设 O 的半径为 R，由题意，得43R3 972，3所以 R 729， R9，所以 CE18.连接 AE，因为 CE 是直径，所以CA AE，2所以 CA CECD 18 16 288，所以 CA 122，2因为 AB CD ，所以 AD CDDE 16 2 32，所以 AD 42，S 圆锥侧 42 122 96.(2) 设内切球 O1 的半径为 r，因为 ABC 的周长为 2 (122 4 2) 322，所以 S112 16，解得 r 4，ABC r 322 822所以内切球 O1 的体积 V 球 4r3256.3310