《概率论与数理统计试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计试题及答案.docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、.考试时间120分钟班级姓名学号题号一二(1) 二 (2)二 (3)二 (4) 二 (5)三四五总分成绩成绩评卷人一. 填空题（ 每题 3 分，共24 分 ）1 设A 、 B为随机事件，P (A)=0.5 ， P(B)=0.6 ，P(B A)=0.8 .则 P(B U A).2. 三人独立的破译一个密码， 他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=.3.设 随 机 变 量 X :( ,2 ) ， YeX ， 则 Y 的 分 布 密 度 函 数为.4.设随机变量 X : (, 2 ) ，且二次方程 y24 yX0 无实根的概率等于 0.5， 则.5.设 D ( X
2、 ) 16, D (Y)25 ， X Y0.3，则 D ( XY) =.6.掷硬币 n 次，正面出现次数的数学期望为.7.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1 两，标准差是 0.1 两 . 则 100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.8. 设 X1 , X2 ,L X5 是 来 自 总 体 X : (0,1) 的 简 单 随 机 样 本 ， 统 计 量C( X1X2 ) / X32X 42X 52 t(n) ，则常数 C =,自由度 n.二 计算题 （共 50 分）成绩评卷人1.（ 10分）设袋中有m 只正品硬币， n 只次品硬币
3、 ( 次品硬币的两面均有国徽) ，从袋中任取一只硬币， 将它投掷 r次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？.成绩评卷人2.（ 10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为f ( x)(1/ 5)e x/5x 00其它某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟，他就离开 . 他一个月到银行 5 次 .以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求 P Y1 .成绩评卷人3.10分）设二维随机变量( X ,Y )在边长为 a 的正方形内（服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：(1) 求随机变量 X , Y 的边缘概
4、率密度；(2) 求条件概率密度f X |Y (x | y) .成绩评卷人4.（ 10 分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从(160, 20 2 ) 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.成绩评卷人5.（ 10 分）某车间生产的圆盘其直径在区间( a, b) 服从均匀分布 , 试求圆盘面积的数学期望 .成绩评卷人三 . （10分）设 X1, X 2 ,LX n 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为x1f ( x; ,)e,x0,其它其中,0 是未知参数，x1, x2 ,L , xn 是一组样本值，求：（ 1） , 的矩法估
5、计；（ 2） , 的极大似然估计 .成绩评卷人四 . （ 8 分）假设?是 的无偏估计，且有D( ?) 0 试证?2( ?) 2 不是2 的无偏估计 .成绩评卷人五 . （ 8 分）设 X1 , X2 ,L, X n1 是来自总体X N (1 ,12 )的一组样本， Y1,Y2 ,L , Yn2是来自总体 Y N (2 ,22 ) 的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为S12 , S22 ，且设1 , 2 , 12 ,22 均为未知 . 欲检验假设 H22，H 1 :22，显著性水平事先给定 .0 : 1212试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.评分标准一：填空题 :(
6、 每小题 3分 )1. 0.7;2. 0.6;3.1/(2y).exp1/(22 ).ln y 2y0 ;4. 4; 5. 53; 6. n/2; 7.(2) ; 8.3/ 2 , 3.二：计算题1. 解：记 A: 取得正品硬币；B ：投掷 r次，每次都得到国徽；取 A, A 作为样本空间的划分 .P( A | B)P(B | A)P( A) / P(B | A)P( A)P( B | A) P( A)m1mn. 2rmm1nm n2rmn .2rm n.2. 解：某一次在窗口等待时间超过10 分钟的概率记为P ，P(1/ 5) e( x/5) dx e 210注意到顾客每月到银行五次也就是进
7、行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为 e 2.所以 Y B(5, e 2 ) ，即PYkC5k (e 2 ) k (1e 2 )5 kk 0,1,L,5PY11 P y01 (1e 2 )53. 解：y| x | a / 2yxa /2a /2y| x |a /2(1)a /2|x|2dy22 (a / 2 | x |) | x | a / 2fX ( x)f ( x, y)dy1/ aa /2|x|a0其它由对称性a /2|y|2dx2fY ( y)f (x, y)dxa/2| y|1/ aa2 (a / 2 | y |) | y | a / 20其它(2) 当 | y |a /
8、2 时，有.f (x, y)1| x |a /2yfX |Y (x | y)2a2| y |fY ( y)0其它4.解：记取出的四只电子管寿命分别为X1, X2 , X3 , X 4 ，所求概率为P ，则PPmin(X1, X 2 , X 3, X 4 )180P X i180 41P X i180 4i1,2,3, 41(1)40.000635.解：记圆盘面积为S ，圆盘直径为R ，则 S(1/ 4)R2 ，由随机变量函数的数学期望的计算方法有b(1/ 4) r2 (1/ ba)drE(S)a(/12)( b2aba2 )三：解：（ 1）矩法估计量xxxE( X )xf ( x)dxx e
9、dxxe|edxxe|22x2x2xxE( X)f ( x) dxdx|2xedxxex e22()()22令E( X )()XE( X 2 )()22A2解之得, 的矩法估计量 :?XA2X 2 , ?A2X 2（ 2）极大似然估计.11nL( ,)xin )min x1,L , xn n exp(i11 (nln Lnlnxin)min x1 ,L , xni1ln Ln故 ln L 是?min x1 ,Lxn 0,的递增函数，故由ln L0 得?xmin x1,L , xn ，所以极大似然估计量为? min X1,L X n ， ?X min X1 ,L , X n 四：证明：由方差的计
10、算公式有：E( ?2 ) E(?)2 D ( ?) E( ?) 2，再由 ?是的无偏估计可得：E( ?2 ) D ( ?)2易见当 D ( ?)0 时， ?2( ?)2 不是2 的无偏估计 .五：构造检验统计量FS12，2S2当 H 0 为真时， FS122 F (n1 1,n2 1),S222/22当 H 0 不真而 H 1 为真时，由 FS1S111，即一个 F (n11,n21)22/2 .2S2S222的统计量乘以一个小于1 的数， FS12S12偏2 有偏小的趋势 . 所以当 F2S2S2小时我们拒绝 H 0 而接受 H 1 ，拒绝域的形式是 : FS12K .S22.由 H 0 为真时 FS12 F (n1 1,n2 1)确定常数 K ，得拒绝域为：2S2S2F1F1(n11,n2 1) .S22.