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1、最新 料推荐数学学科教师辅导教案学员编号：年级：课 时 数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T： 流水行船问题应用题T：诱导公式 (2)T：作业星级1、 掌握流水行船的基本概念教学目的2、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系授课日期及时段2013 年 03 月 30 日12： 50 14： 50教学内容专题：流水行船问题应用题教学目标1、掌握流水行船的基本概念2、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系【解读：知识梳理环节要注意“诱导公式过程的推导”的讲解】知识梳理10 min.船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和
2、所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度 =船速 +水速，（ 1）逆水速度 =船速 - 水速 . （ 2）这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程. 水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l ）可以得到：1最新 料推荐水速 =顺水速度 - 船速，船速 =顺水速度 - 水速。由公式（ 2）可以得到：水速 =船速 - 逆水速度，船速
3、=逆水速度 +水速。这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（ 2），相加和相减就可以得到：船速 =（顺水速度 +逆水速度） 2，水速 =（顺水速度 - 逆水速度） 2。典例精讲27 min.例 1 ： 一艘每小时行 25 千米的客轮，在大运河中顺水航行140 千米，水速是每小时3 千米，需要行几个小时？解析：顺水速度为25328 (千米 /时 )，需要航行 140285 (小时 )例 2 ：两个码头相距 352 千米，一船顺流而下，行完全程需要11 小时 .逆流而上，行完全程需要1
4、6 小时，求这条河水流速度。解析：（ 35211-35216） 2=5（千米 /小时）例 3：解析顺水速度： 2088=26 （千米 /小时），逆水速度： 20813=16（千米 /小时），船速：（26+16 ） 2=21 （千米 /小时），水速：（ 26 16） 2=5 （千米 /小时）例 4：一位少年短跑选手，顺风跑90 米用了 10 秒，在同样的风速下逆风跑70 米，也用了10 秒，则在无风时他跑 100 米要用秒解析：本题类似于流水行船问题根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为90109 米 /秒，逆风速度为70107 米 /秒，那么他在无风时的速度为(97)28 米 /秒在无风时跑1
5、00 米，需要的时间为100812.5 秒2最新 料推荐例 5：一只小船在静水中的速度为每小时25 千米它在长144 千米的河中逆水而行用了8 小时求返回原处需用几个小时？解析： 4.5 小时例 6：（难度等级 ）一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6 千米，顺水下行需要4 小时，返回上行需要7小时求：这两个港口之间的距离?解析：（船速 +6） 4=（船速 -6） 7，可得船速 =22 ，两港之间的距离为： （ 22+6） 4=112 千米 例 7：4 小时后相遇已知水流速度是6 千米甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，/时求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？
6、解析：在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船逆水甲船的顺水速度船速 水速，乙船的逆水速度船速 水速，故：速度差(船速水速 )(船速 水速 ) 2 水速，即：每小时甲船比乙船多走 62 12(千米 ) 4 小时的距离差为12 448 (千米 )例 8：2 小时，行了 120 千米，返回原地用了4 小时 .甲船顺水航行同一段水路，用（难度等级 ）乙船顺水航行了 3 小时 .甲船返回原地比去时多用了几小时?解析：乙船顺水速度： 1202=60（千米 /小时） .乙船逆水速度：1204=30（千米 /小时）。水流速度： （60-30）2 15（千
7、米 /小时） .甲船顺水速度：12O3 4O （千米 /小时）。甲船逆水速度： 40-2 15=10 （千米 /小时） .甲船逆水航行时间：12010=12（小时）。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）,例 9180 千米的两港之间，顺水而下需用10 小时，逆水而上需用15 小时。由于：（难度等级 ）船往返于相距暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9 小时，那么逆水而行需要几小时?解析：本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是： （ 18010+18015）
8、 2=15（千米 /小时） .暴雨前水流的速度是： （ 18010-18015） 2=3 （千米 /小时） .暴雨后水流的速度是： 1809-15=5 （千米 /小时） .暴雨后船逆水而上需用的时间为：180（ 15-5） =18（小时）例 10：两港相距 560 千米，甲船往返两港需105 小时，逆流航行比顺流航行多用了35 小时乙船的静水速度是3最新 料推荐甲船的静水速度的2 倍，那么乙船往返两港需要多少小时？解析：先求出甲船往返航行的时间分别是：（105 35） 2 70 （小时），（10535） 235 （小时）再求出甲船逆水速度每小时56070 8 （千米），顺水速度每小时 560
9、3516 （千米），因此甲船在静水中的速度是每小时 （168） 212 （千米），水流的速度是每小时 （168） 24 （千米），乙船在静水中的速度是每小时12（千米），所以乙船往返一次所需要的时间是560（244） 560 （24 4） 482 24（小时）例 11：11（难度等级 ）一条小河流过 A ， B, C 三镇 .A,B 两镇之间有汽船来往 ,汽船在静水中的速度为每小时千米 .B,C 两镇之间有木船摆渡 ,木船在静水中的速度为每小时3.5 千米 .已知 A,C 两镇水路相距 50 千米 ,水流速度为每小时 1.5 千米 .某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇 ,吃午饭用去 1 小时
10、 ,接着乘木船又顺流而下到C 镇 ,共用 8 小时 .那么 A,B 两镇间的距离是多少千米 ?解析：如下画出示意图有 AB 段顺水的速度为11+1.5=12.5 千米 /小时 ,有 BC 段顺水的速度为3.5+1.5=5 千米 / 小时而从 AC全程的行驶时间为8-1=7 小时设AB 长 x 千米 ,有x50 x12.57 ,解得 x =25所以 A,B 两镇间的距离是525 千米 .例 12：）河水是流动的，在B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从A 点到 B 点，然（难度等级后穿过湖到C 点，共用3 小时；若他由 C 到 B 再到 A，共需 6 小时如果湖水也是流动的，速度等于河水速
11、度，从B 流向 C，那么，这名游泳者从A 到 B 再到 C 只需2.5 小时；问在这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A，共需多少小时？解析：设人在静水中的速度为x，水速为y，人在静水中从B点游到 C 点需要 t 小时根据题意， 有 6x (6t ) y3x(3t ) y ，即 x(32 t ) y ，同样，有2.5x2.5 y 3x(3t ) y ，3即 x (2t1)y ；所以，2t132 t ，即 t1.5 ，所以x 2 y ； (2 xy)2.5(2 yy)7.5 (小3时 )，所以在这样的条件下，他由C 到 B 再到 A 共需 7.5小时巩固练习：1， 光明号渔船顺水而下行200
12、千米要 10 小时，逆水而上行120 千米也要10 小时那么，在静水中航行320 千米需要多少小时？4最新 料推荐解析：顺水速度： 200 10 20 （千米 /时），逆水速度： 120 10 12 （千米 /时），静水速度：（20 12） 2 16 （千米/时），该船在静水中航行 320 千米需要 320 16 20 （小时）2，甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3 小时后相遇 已知水流速度是4 千米 /时求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？解析：在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船逆水甲船的顺水速度
13、船速水速，乙船的逆水速度船速水速，故：速度差(船速水速 )(船速水速 )2水速，即：每小时甲船比乙船多走428 (千米 ) 3 小时的距离差为8324 (千米 )3，一只船在河里航行，顺流而下每小时行18 千米 已知这只船下行2 小时恰好与上行3 小时所行的路程相等求船速和水速解析：这只船的逆水速度为：182312 (千米 /时 )；船速为： (1812)215 (千米 /时) ；水流速度为： 18153 (千米 /时 )4，乙两港相距360 千米，一艘轮船往返两港需35 小时，逆水航行比顺水航行多花了5 小时，现在有一艘机帆船，静水中速度是每小时12 千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？解
14、析：轮船逆水航行的时间为355220 (小时 )，顺水航行的时间为20515 (小时 ) ，轮船逆流速度为3602018 (千米 /时 )，顺流速度为3601524 (千米 /时 ) ，水速为241823 (千米 /时 )，所以机帆船往返两港需要的时间为36012336012364 (小时 )5，轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8 个小时，逆流而上行了10 小时，如果水流速度是每小时3 千米，两码头之间的距离是多少千米？解析：方法一：由题意可知，( 船速3 )8(船速3 )10 ，可得船速27 千米 /时，两码头之间的距离为27(千米 )方法二：由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相
15、同，它们用的时间比为8:10 ，那么时间小的速度大，因此顺水速度和逆水速度比就是10:8 （由于五年级学生还没学习反比例，此处教师可以渗透比例思想，为以后学习用比例解行程问题做些铺垫），设顺水速度为10 份，逆水速度为8 份，则水流速度为(108)21 份恰好是 3千米 /时，所以顺水速度是10330 (千米 /时 )，所以两码头间的距离为308240 (千米 )6，一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6 千米，顺水下行需要4 小时，返回上行需要7 小时 求这两个港口之间的距离 解析： 112 千米5最新 料推荐7， 轮船用同一速度往返于两码头之间，在相同时间内如果它顺流而下能行10千米，如
16、果逆流而上能行8千米，如果水流速度是每小时 3 千米，求顺水、逆水速度,解析：由题意知顺水速度与逆水速度比为10 :8 ，设顺水速度为 10 份，逆水速度为8 份，则水流速度为(108) 2 1 份恰好是 3 千米 /时，所以顺水速度是10 3 30 (千米 /时) ，逆水速度为8324 (千米 /时 )8，甲、乙两船分别从A 港顺水而下至480 千米外的B 港，静水中甲船每小时行56 千米，乙船每小时行40 千米，水速为每小时 8 千米，乙船出发后1.5 小时，甲船才出发，到B 港后返回与乙迎面相遇，此处距A 港多少千米？解析：甲船顺水行驶全程需要：480(568)7.5 (小时 )，乙船顺
17、水行驶全程需要：480(408)10 (小时 ) 甲船到达 B 港时，乙船行驶1.57.59 (小时 )，还有 1小时的路程 (48 千米 )，即乙船与甲船的相遇路程甲船逆水与乙船顺水速度相等，故相遇时在相遇路程的中点处，即距离B 港 24 千米处，此处距离A 港 48024456 (千米 ).注意：关键是求甲船到达B 港后乙离 B 港还有多少距离解决后，要观察两船速度关系，马上豁然开朗。这正是此题巧妙之处，如果不找两船速度关系也能解决问题，但只是繁琐而已，奥数特点就是体现四两拨千斤中的巧劲随堂检测：1，某船在静水中的速度是每小时15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8 小时，水速每小时
18、3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？分析要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米 / 小时），甲乙两地路程：188=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米 / 小时），返回时逆行用的时间：144 12 12（小时）。答：从乙地返回甲地需要12 小时。2，小刚和小强租一条小船，向上游划去， 不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2 千米，假定小船的速度是每小时4 千米，水流速度是每小时2 千米，那么他们追上水壶需要多少时间？分析此题是水中追及问题，已知路程差是2 千
19、米，船在顺水中的速度是船速+水速 . 水壶飘流的速度只等于水速，6最新 料推荐所以速度差 =船顺水速度 - 水壶飘流的速度=（船速 +水速） - 水速 =船速 .解：路程差船速=追及时间2 4=0.5 （小时）。答：他们二人追回水壶需用0.5 小时。3， 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24 千米和每小时32 千米，两船从某河相距336 千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？解：相遇时用的时间336（ 24+32）=336 56=6（小时）。追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336（ 32 24） 42（小时）。答：两
20、船 6 小时相遇；乙船追上甲船需要42 小时。4，有一船行驶于120 千米长的河中，逆行需10 小时，顺行要6 小时，求船速和水速。这题条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速。列式为逆流速： 120 10=12（千米 / 时）顺流速： 120 6=12（千米 / 时）船速：（ 20+12） 2=16（千米 / 时）水速：（ 20 12） 2=4（千米 / 时）答：船速是每小时行16 千米，水速是每小时行4 千米。5，轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了8 小时；逆流而上，行了10 小时。如果水流速度是
21、每小时3千米，求两码头之间的距离。在同一线段图上做下列游动性示意图36-1 演示：8顺流B逆流A 10图36 1因为水流速度是每小时3 千米，所以顺流比逆流每小时快6 千米。如果怒六时也行8 小时，则只能到A 地。那么7最新 料推荐A 、B 的距离就是顺流比逆流 8 小时多行的航程，即 6 8=48 千米。而这段航程又正好是逆流 2 小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算式为（ 3+3） 8（ 108） 10=240（千米）答：两码头之间相距 240 千米。6，汽船每小时行30 千米，在长176 千米的河中逆流航行要11 小时到达，返回需几小时？依据船逆流在 176 千米的河中所需航行时间是
22、11 小时，可以求出逆流的速度。返回原地是顺流而行，用行驶路程除以顺流速度，可求出返回所需的时间。逆流速： 176 11=16（千米 / 时）所需时间： 176 30+ （ 3016） =4 （小时）答：返回原地需4 小时。7，有甲、乙两船， 甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行 4 小时后与漂流物相距100千米，乙船行12 小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4 小时后，距漂流物100 千米，即每小时行100 4=25（千米）。乙船 12 小时后与漂流物相遇，所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河
23、长。列算式为船速： 100 4=25（千米 / 时）河长： 25 12=300（千米）答：河长300 千米。课后作业 ：1，一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12 小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2 倍，水流速度是每小时2 千米，从甲港到乙港相距18 千米。则甲、丙两港间的距离为 （）A.44 千米B.48 千米C.30 千米D.36 千米【答案】 A。解析：顺流速度逆流速度 =2水流速度，又顺流速度 =2逆流速度，可知顺流速度 =4水流速度 =8 千米 / 时，逆流速度 =2水流速度 =4 千米 / 时。设甲、丙两港间距离为 X千米，可列
24、方程 X8+（ X 18） 4=12 解得X=44。2. 一艘轮船在两码头之间航行。如果顺水航行需8 小时，如果逆水航行需11 小时。已知水速为每小时3 千米，那么两码头之间的距离是多少千米？8最新 料推荐A.180B.185C.190D.176【答案】 D。解析： 设全程为 s，那么顺水速度为 ，逆水速度为 ，由（顺水速度 - 逆水速度） /2= 水速，知道 =6 ，得出 s=176。3， 一只渔船顺水行 25 千米，用了 5 小时，水流的速度是每小时 1 千米。此船在静水中的速度是多少？（适于高年级程度）解：此船的顺水速度是：25 5=5（千米 / 小时）因为“顺水速度=船速 +水速”，所
25、以，此船在静水中的速度是“顺水速度- 水速”。5-1=4 （千米 / 小时）综合算式：25 5-1=4 （千米 / 小时）答：此船在静水中每小时行4 千米。4， 一只渔船在静水中每小时航行 4 千米，逆水 4 小时航行 12 千米。水流的速度是每小时多少千米？（适于高年级程度）解：此船在逆水中的速度是：12 4=3（千米 / 小时）因为逆水速度 =船速 - 水速，所以水速=船速 - 逆水速度，即：4-3=1 （千米 / 小时）答：水流速度是每小时1 千米。5， 一只船，顺水每小时行20 千米，逆水每小时行12 千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于9最新 料推荐高年级程度）解：
26、因为船在静水中的速度=（顺水速度 +逆水速度）2，所以，这只船在静水中的速度是：（ 20+12） 2=16（千米 / 小时）因为水流的速度=（顺水速度 - 逆水速度）2，所以水流的速度是：（ 20-12 ） 2=4（千米 / 小时）答略。6，某船在静水中每小时行18 千米，水流速度是每小时2 千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15 小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船逆水航行的速度是：18-2=16 （千米 / 小时）甲乙两地的路程是：16 15=240（千米）此船顺水航行的速度是：18+2=20（千米 / 小时）此船从乙地回到甲地需要
27、的时间是：240 20=12（小时）答略。7， 某船在静水中的速度是每小时15 千米，它从上游甲港开往乙港共用8 小时。已知水速为每小时3 千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船顺水的速度是：15+3=18（千米 / 小时）甲乙两港之间的路程是：18 8=144（千米）10最新 料推荐此船逆水航行的速度是：15-3=12 （千米 / 小时）此船从乙港返回甲港需要的时间是：144 12=12（小时）综合算式：（ 15+3） 8（ 15-3 ）=144 12=12（小时）答略。8， 甲、乙两个码头相距144 千米，一艘汽艇在静水中每小时行20 千米，水流速度是每小时4 千
28、米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？（适于高年级程度）解：顺水而行的时间是：144（ 20+4） =6（小时）逆水而行的时间是：144（ 20-4 ） =9（小时）答略。9， 一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8 千米，沿岸边的水流速度是每小时6 千米。一只船在河中间顺流而下， 6.5 小时行驶260 千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船顺流而下的速度是：260 6.5=40 （千米 / 小时）此船在静水中的速度是：40-8=32 （千米 / 小时）此船沿岸边逆水而行的速度是：11最新 料推荐32-6=26
29、（千米 / 小时）此船沿岸边返回原地需要的时间是：260 26=10（小时）综合算式：260（ 260 6.5-8-6）=260（ 40-8-6 ）=260 26=10（小时）答略。10， 一只船在水流速度是 2500 米 / 小时的水中航行， 逆水行 120 千米用 24 小时。顺水行 150 千米需要多少小时？ （适于高年级程度）解：此船逆水航行的速度是：120000 24=5000（米 / 小时）此船在静水中航行的速度是：5000+2500=7500（米 / 小时）此船顺水航行的速度是：7500+2500=10000（米 / 小时）顺水航行150 千米需要的时间是：150000 1000
30、0=15（小时）综合算式：150000（ 12000024+2500 2）=150000（ 5000+5000）=150000 1000012最新 料推荐=15（小时）答略。11， 一只轮船在 208 千米长的水路中航行。 顺水用 8 小时， 逆水用 13 小时。求船在静水中的速度及水流的速度。 （适于高年级程度）解：此船顺水航行的速度是：208 8=26（千米 / 小时）此船逆水航行的速度是：208 13=16（千米 / 小时）由公式船速 =（顺水速度 +逆水速度） 2，可求出此船在静水中的速度是：（ 26+16） 2=21（千米 / 小时）由公式水速 =（顺水速度 - 逆水速度） 2，可求
31、出水流的速度是：（ 26-16 ） 2=5（千米 / 小时）答略。12， A、B 两个码头相距 180 千米。甲船逆水行全程用 18 小时，乙船逆水行全程用 15 小时。甲船顺水行全程用 10 小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）解：甲船逆水航行的速度是：180 18=10（千米 / 小时）甲船顺水航行的速度是：180 10=18（千米 / 小时）根据水速 =（顺水速度 - 逆水速度）2，求出水流速度：（ 18-10 ） 2=4（千米 / 小时）乙船逆水航行的速度是：180 15=12（千米 / 小时）13最新 料推荐乙船顺水航行的速度是：12+4 2=20（千米 / 小时）乙船顺水行全程要用的时间是：180 20=9（小时）综合算式：180 180 15+（ 180 10-180 18） 2 3=180 12+ （ 18-10 ） 2 2=180 12+814