余数问题(教师版).docx

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1、.余数问题知 精 一、 余除法的定 及性 一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b0） ,若有 ab=q r，也就是 a bqr,0rb；我 称上面的除法算式 一个 余除法算式。 里：(1)当 r0 ：我 称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完全商(2)当 r 0 ：我 称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的 余除法 解模型 : 是一堆 ，共有a 本， 个 a 就可以理解 被除数， 在要求按照b本一捆打包，那么b 就是除数的角色， 打包后共打包了c 捆，那么 个c 就是商，最后 剩余d 本， 个 d 就是余数。二、三大余数定理：1.余

2、数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a，b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7除以 5 的余数，即 2。.2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以c 的余数，等于a，b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1

3、，所以 2316除以 5 的余数等于 31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。例如： 23， 19 除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 2319除以 5 的余数等于34除以 5 的余数，即 2.3.同余定理若两个整数a、 b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模 m 同余，用式子表示为： ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作： a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数m 得到的余数相同， 则 a，b 的差一定能被m 整除。用式子表示为：如果有ab ( mod m

4、)，那么一定有abmk， k 是整数，即m|(a b)经典例题【例 1】用某自然数a 去除 1992 ，得到商是46，余数是 r ，求 a 和 r 【解析】 因为 1992 是 a 的 46 倍还多 r , 得到 1992 46 43.14 ，得 199246 43 14 ，所以 a43 ， r14 【例 2】 甲、乙两数的和是 1088 ，甲数除以乙数商11余 32 ，求甲、乙两数【解析】 ( 法 1)因为 甲乙 1132 ，所以 甲乙乙 11 32乙 乙 12 321088 ；【解析】 则乙(1088 32)1288 ，甲 1088乙 1000 【解析】 ( 法 2)将余数先去掉变成整除性

5、问题，利用倍数关系来做： 从 1088 中减掉 32 以后， 1056 就应当是乙数的(11 1) 倍，所以得到乙数1056 12 88，甲数108888 1000 .【例 3】一个两位数除310，余数是 37，求这样的两位数。【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题- 即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273 ，说明 273 是所求余数的倍数，而273=3713，所求的两位数约数还要满足比37 大，符合条件的有39，91.

6、【例 4】有两个自然数相除，商是17 ，余数是 13 ，已知被除数、除数、商与余数之和为2113 ，则被除数是多少？【解析】 被除数除数商余数被除数除数 +17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（ 2083-13 ）（ 17+1） =115，所以被除数 =2083-115=1968 。【例 5】有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，书不够问：第二组有多少人?【解析】 由 48

7、412 ，48 5 9.6 知，一组是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ，484 12知，二组是 13、 14 或 15 人，因为二组比一组多5 人，所以二组只能是15 人，一组 10 人【例 6】一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11所得的余数是 6，求这个两位数【解析】 因为一个两位数除以 13 的商是6，所以这个两位数一定大于 13 6 78 ，并且小于 13(6 1) 91；又因为这个两位数除以11余 6，而 78 除以 11 余 1，这个两位数为78 583 【例 7】有一个大于1 的整数，除 45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，

8、这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差， 也就是说它是任意两数差的公约数1014556 ，59 45 14 ，.(56,14) 14 ， 14的 数有 1,2,7,14 ，所以 个数可能 2,7,14 。【例 8】22003 与 20032 的和除以7 的余数是 _【解析】 找 律用 7 除 2， 22， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ，的余数分 是2， 4， 1， 2，4，1，2， 4， 1， ,2 的个数是 3 的倍数 ，用7 除的余数 1； 2 的个数是3 的倍数多 1 ，用7 除的余数 2；

9、 2 的个数是3 的倍数多 2 ，用7 除的余数为 4因 2200323 6672 ，所以22003 除以 7 余 4又两个数的 除以7 的余数，与两个数分 除以7 所得余数的 相同而2003 除以 7 余 1，所以 20032除以7 余 1故 22003 与 20032的和除以 7 的余数是 4 1 5 【例 9】求 2461 135604711的余数【解析】 因 为 2461 11 223.8 ，135 11 12.3 ，6047 11 549.8 ，根据同余定理 ( 三) ， 2461 135 6047 11的余数等于 8 3 8 11 的余数，而 8 3 8 192 ，1921117.

10、5 ，所以 2461135604711 的余数 5【例 10】 求 31997 的最后两位数【解析】 即考 31997除以 100 的余数由于100425 ，由于 3327 除以 25 余 2，所以39除以 25 余 8，310除以 25 余 24，那么 320除以 25 余 1；又因 32除以 4 余 1， 320除以 4 余 1；即3201能被 4和 25 整除，而 4 与 25 互 ，所以 3201 能被 100 整除，即 320除以 100 余1，由于 199720 9917 ，所以 31997除以 100 的余数即等于317除以 100 的余数，而 367295243 除以 100余

11、 43，1762517的余数等于除以 100 余 29， 33(3 )3，所以 3除以 1002929 43 除以 100 的余数，而 2929 4336163 除以 100 余 63，所以 31997除以 100 余63，即 31997的最后两位数 6320082【例 11】 22008 除以 7 的余数是多少？31， 2008 3 6691 ，所以 2200823 669136692 ，其【解析】 2 8 除以 7 的余数 (2 )除以 7 的余数 ： 166922 ； 2008 除以 7 的余数 6， 20082除以 7 的余数2除以 7 的余数， 200821 3 等于 61；所以 2

12、2008 除以 7 的余数 ： 2.课后作业.【作业 1】 5122 除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。【答案】 79【作业 2】明明在一次计算除法时， 把被除数 171 错写成 117，结果商少 3 而余数恰恰相同，这题中的除数是多少？【答案】 18【作业 3】两数相除，商4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是 _【解析】 因为被除数减去8 后是除数的4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为（ 415 4 8 8）（41） 79 ，所以，被除数为 79 4 8 324 。【作业 4】 1013 除以一个两位数，余数是12 求出符合条件的所有的两位数【解析】

13、1013 12 1001 ，10017 1113 ，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”, 所以舍去 11，答案只有 13,77,91。【作业 5】 求 478 296 351除以 17 的余数【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351除以 17 的余数分别为2，7 和 11， (2 7 11)17 9.1 【作业 6】一个大于1 的数去除290， 235， 200 时，得余数分别为a ， a2 ， a5 ，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知， 这个自然数去除2

14、90，233，195 时，得到相同的余数 （都为 a ）既然余数相同， 我们可以利用余数定理， 可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是 290233 57 的约数，又是 233 195 38 的约数，因此就是 57 和 38 的公约数 , 因为 57 和 38的公约数只有 19 和 1，而这个数大于 1，所以这个自然数是19.【作业7】有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人4 本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4 本，书不够问：第二组有多少人?【解析】 由 484 12 ，48 5

15、9.6 知，一组是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ，484 12知，二组是 13、 14 或 15 人，因为二组比一组多 5 人，所以二组只能是15 人，一组 10 人【作业 8】 某个大于 1 的自然数分别除442，297， 210，得到相同的余数，则该自然数为。【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。因为该自然数能整除 442297145 ，也能整除 442210232 ，同样能整除29721087 。所以可知这个自然数必定是145，232，87 的公约数。而这三个数大于1 的公约

16、数只有29。所以可知这个自然数为29。【作业 9】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即(10ab) （10b a)9 （ a b）整除所以只能有能被 7ab 7 ，那么 ab 可能为 92和 81，验算可得当 ab92 时， ba29 满足题目要求， ab ba 92 29 2668【作业 10】 学校新买来118 个乒乓球， 67 个乒乓球拍和33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为1186751和 67 33 34的公约数，所求答案为17.