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1、.函数周期性的几个重要结论1、 f ( xT )f( x) (T0 )yf (x) 的周期为T ， kT ( kZ ) 也是函数的周期2、 f ( xa)f(x b)yf ( x) 的周期为 Tba3、 f ( xa)f (x)yf ( x) 的周期为 T2a4、 f ( xa)1yf ( x) 的周期为 T2af ( x)5、 f ( xa)1yf (x) 的周期为 T2af ( x)6、 f ( xa)1f ( x)yf (x) 的周期为 T3a1f (x)7、 f ( xa)1yf (x) 的周期为T2af ( x)18、 f ( xa)1f (x)yf (x) 的周期为 T4a1f (
2、 x)、 f ( x2a)f ( xa)f ( x)yf ( x)的周期为T6a910、若 p0, f ( px)f ( pxp ) ,则Tp .2211、 yf (x) 有两条对称轴 xa 和 xb (b a)yf ( x) 周期 T2(b a)推论：偶函数 yf ( x) 满足 f (ax)f (ax)yf ( x) 周期 T2a12、 yf (x) 有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ba)y f (x) 周期 T2(ba)推论：奇函数yf ( x) 满足f (ax)f ( ax)yf ( x) 周期 T4a13 、 yf ( x)有一条对称轴xa 和一个对称中心 (b,0) (ba)
3、f (x) 的 T4(ba).抽象函数的对称性1 若函数 y f(x) 关于直线 x a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（ 1） f(a x) f(a x)（ 2） f(2a x) f(x)（ 3） f(2a x) f( x)2 若函数 yf(x) 关于点（ a， 0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（ 1） f(a x) f(a x) （ 2） f(2a x) f(x)（3） f(2a x) f( x)易知， y f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a 0 时的特例函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x) 定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a) 1/f(x)f(x a) 1/f(x)函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T 2|a b|性质 6、若函数 yf(x) 同时关于点（ a， 0）与点（ b，0）中心对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T2|a b|性质 7、若函数 yf(x) 既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T 4|a b|.