2013考研数三真题及解析.docx

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1、.2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1 8 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（ 1）当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o(x2 ) o( x3 )（ B ） o( x) o( x2 ) o( x3 )（ C） o(x2 ) o( x2 ) o(x2 )（ D ） o(x) o( x2 ) o( x2 )（ 2）函数| x |x1的可去间断点的个数为（）f (x)x(x1)ln | x |（ A ） 0（ B ） 1

2、（ C） 2（ D ） 3（ 3）设 Dk 是圆域 D ( x, y) | x2y21 位于第 k 象限的部分，记 I k( y x)dxdy k 1,2,3,4 ，Dk则（）（ A ） I1 0（ B ） I 20（ C） I30（ D ） I 40（ 4）设 an 为正项数列，下列选项正确的是（）（ A ）若 anan 1 ,则( 1)n 1 an 收敛n 1（ B ） 若( 1)n 1 an 收敛，则 an an 1n 1;.（ C） 若an 收敛，则存在常数P 1,使 lim nP an 存在n 1n（ D ）若存在常数 P1 ，使 lim nP an 存在，则an 收敛nn 1（ 5

3、）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ABC ,则 B可逆，则（ A ）矩阵（ B ）矩阵（ C）矩阵（ D ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价1a1200（ 6）矩阵aba 与0b0相似的充分必要条件为1a1000（ A ） a0,b2（ B ） a 0,b为任意常数（ C） a 2,b 0（ D ） a 2, b为任意常数（ 7）设 X 1， X 2， X 3 是随机变量，且X1 N(0,1) ， X2 N( 0,2 2）， X3 N (5,3 2 ) ,Pj

4、P 2X j2( j 1,2,3), 则（）（ A ） P1P2P3（ B ） P2 P1 P3（ C） P3 P1 P2（ D ） P1 P3 P2（ 8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，则 P XY2();.（ A ） 112（ B ） 18（ C） 16（ D ） 12二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .（ 9）设曲线 yf ( x) 和 y x2x 在点 (0,1) 处有公共的切线，则lim nfn_。nn2（ 10）设函数 zz( x, y) 由方程 ( z y) xxy 确定，则z (1, 2)

5、_ 。x（ 11）求ln xdx _。1 (1 x) 2（ 12）微分方程 yy1 y0 通解为 y_。4（ 13 ） 设 A (aij )是 三 阶 非 零 矩 阵 ， | A | 为 A 的 行 列 式 ， Aij为 a 的 代 数 余 子 式 ， 若ijaijA ij0(i, j1,2,3), 则 A_（ 14）设随机变量X 服从标准正态分布 X N(0,1) ,则 E( Xe2 X ) = _。三、解答题：15 23 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（ 15）（本题满分10 分）当 x0 时， 1cosx cos2x cos

6、3x 与 axn 为等价无穷小，求n 与 a 的值。（ 16）（本题满分10 分）1设 D 是由曲线 yx3 ，直线 x a(a 0) 及 x 轴所围成的平面图形， Vx,Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy10Vx ，求 a 的值。（ 17）（本题满分10 分）设平面内区域 D 由直线 x3y, y 3x 及 x y8 围成 .计算x2dxdy 。D（ 18）（本题满分10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 /件，价格函数为 P 60Q，（ P 是单价，单位：1000元， Q 是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求：（ 1）该商

7、品的边际利润。;.（ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（ 3）使得利润最大的定价 P。（ 19）（本题满分 10 分）设函数 f ( x) 在 0, 上可导，f(0) 0且 limf()2 ，证明xx（ 1）存在 a 0 ，使得 f ( a) 1（ 2）对（ 1）中的 a ，存在(0, a), 使得 f ()1 .a（ 20）（本题满分11 分）设 A1a01，当 a,b 为何值时，存在矩阵C 使得 ACCA B ，并求所有矩阵C 。1, B1b0（ 21）（本题满分11 分）22a1b1设二次型 f x1, x2 , x32a1x1a2 x2b1 x1b2 x2 b3 x3

8、a2 ,b2a3 x3，记。a3b3（ I）证明二次型f 对应的矩阵为2 TT；（ II ）若, 正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2 y12y22 。（ 22）（本题满分11 分）设 X ,YX 的边缘概率密度为fXx3x2 , 0x 1,x 0x 1 的是二维随机变量，0,其他.，在给定 X条件下， Y 的条件概率密度3 y2,0yx,fY Xy xx30,其他 .（ 1）求 X ,Y的概率密度 fx, y ；（ 2）Y 的边缘概率密度fY y .（ 23）（本题满分11 分）2设总体 X 的概率密度为fxx3e x, x0,其中为未知参数且大于零，X1, X2，

9、LX N 为来自总体0,其它 .X 的简单随机样本 .（ 1）求 的矩估计量；（ 2）求 的最大似然估计量 .;.2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1 8 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（ 1）当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o(x2 ) o( x3 )（ B ） o( x) o( x2 ) o( x3 )（ C） o(x2 ) o( x2 ) o(x2 )（ D ） o(x) o( x2 ) o( x2

10、)【答案】 D【解析】 o( x)o( x2 )o(x) ，故 D 错误。（ 2）函数f (x)| x |x1的可去间断点的个数为（）x(x1)ln | x |（ A ） 0（ B ） 1（ C） 2（ D ） 3【答案】 C【解析】由题意可知f ( x) 的间断点为 0, 1。又limf ( x)limx x1limex ln x1limx ln xx( xx(x 1) ln xx( x1x 0x 01) ln x x0x 01)ln xlimf ( x)lim(x)x1ex ln( x)1limx ln( x)1x( x1) ln(x)lim1) ln(x)x( x 1)ln(x 0x 0

11、x0 x( xx 0x)lim f (x)xx1exln x1x ln x1lim1) ln xlimlim2x 1x 1 x( xx 1 x(x 1) ln xx 1 x( x 1)ln xlimf (x)(x) x1lim1)ln(x)x1x 1 x(xexln( x)1x ln( x)limx)limx 1 x(x 1) ln(x 1 x(x 1)ln( x)故 f (x) 的可去间断点有2 个。;.（ 3）设 Dk 是圆域 D ( x, y) | x2y21 位于第 k 象限的部分，记 I k( y x)dxdy k 1,2,3,4 ，Dk则（）（ A ） I1 0（ B ） I 20

12、（ C） I30（ D ） I 40【答案】 B【解析】令 xr cos , yr sin，则有I k( yx)dxdy1(r sinr cos ) d1 (cos sin )rdrD k03故当 k 2时，,，此时有 I 220. 故正确答案选 B 。23（ 4）设 an 为正项数列，下列选项正确的是（）（ A ）若 anan 1 ,则( 1)n 1 an 收敛n 1（ B ） 若( 1)n 1 an 收敛，则 an an 1n 1（ C） 若an 收敛，则存在常数P 1,使 lim nP an 存在n 1n（ D ）若存在常数 P1 ，使 lim nP an 存在，则an 收敛nn 1【答

13、案】 D【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，1p收敛 ，且 lim nP an 存在，则an 与1p 同n 1 nnn 1n 1 n敛散，故an 收敛 .n 1（ 5）设矩阵A,B,C 均为 n 阶矩阵，若ABC ，且 C 可逆，则（）（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价;.（ C）矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（ D ）矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价【答案】（B ）【解析】由 CAB 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有 ACB 1 ，从而A 的列向量组

14、也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。1a1200（ 6）矩阵aba与 0b0 相似的充分必要条件为1a1000（ A ） a0, b2（ B ） a 0,b为任意常数（ C） a 2,b 0（ D ） a 2, b为任意常数【答案】 (B)1a11a1200【解析】由于 aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与 0b0相似的1a11a10001a1充分必要条件为aba 的特征值为 2,b,0 。1a11a1又EAaba(b)(2) 2a 2 ，从而 a0,b为任意常数 。1a1（ 7）设 X 1， X 2， X 3 是随机变量，且X1 N(

15、0,1) ， X2 N( 0,2 2）， X3 N (5,3 2 ) ,PjP2X j2( j1,2,3), 则（）（ A ） P1P2P3（ B ） P2 P1 P3（ C） P3 P1 P2（ D ） P1 P3 P2【答案】（A ）;.【解析】由 X1 :N 0,1 , X 2 :N 0,2 2 , X 3 : N 5,32知，p1P 2 X12 P X12 2 2 1 ，p2P 2 X 22 P X 22 2 1 1，故 p1p2 .由根据 X 3 : N 5,32 及概率密度的对称性知， p1 p2p3 ，故选（ A ）（ 8）设随机变量X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分

16、布分别为，则 P XY2()（ A ） 112（ B ） 18（ C） 16（ D ） 12【答案】（C）【解析】 PXY2PX1,Y1P X2,Y0P X3,Y1 ，又根据题意 X ,Y 独立，故P XY2PX1 P Y1PX2 P Y0P X3 P Y11，选（ C） .6二、填空题： 914 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .（ 9）设曲线 yf ( x) 和 yx2x 在点 (0,1)处有公共的切线，则 lim nfn_。nn2【答案】2【解析】 yx2x 在 (1,0)处的导数是 y (1)1 ，故 f(1)1, f (1)0 ，nf (12) f (

17、1)2nlim nf ()limn2f (1)(2)2nn2n2n 2n2（ 10）设函数 zz( x, y) 由方程 ( zy) xxy 确定，则z(1, 2)_ 。x;.【答案】 22ln 2【解析】原式为 ex ln( z y)xy, 左右两边求导得： xyln( z y) xzx y,令 x 1, y 2zy得 z 0, zx2(1 ln 2)（ 11）求ln x dx _。1(1 x) 2【答案】 ln 2【解析】ln x1ln x1ln xx(1x)2dxln xd (1 x)1 x +x(1x) dx1 x +ln1 xln x2 dxlimln xxln x+ lnxln 21

18、+ ln(1 x)x1 x1 x1 x1 x x 1（ 12）微分方程 yy10 通解为 y_。y41 x【答案】 e2C1 xC 2【解析】特征方程为210,11 xC1 x C24(二重根 ) ，所以通解为 ye22（ 13 ） 设 A(aij ) 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， | A | 为 A 的 行 列 式 ， Aij为 a 的 代 数 余 子 式 ， 若ijaijA ij0(i, j1,2,3), 则 A_【答案】1【解析】由 aijAij0可知， ATA*Aai1 Ai 1 ai 2 Ai 2ai 3 Ai 3a1 j A1 ja2 j A2 ja3 j A3 j33aij2a

19、ij20j 1i1从而有 AATA*A2,故 A =-1.（ 14）设随机变量 X 服从标准正态分布X N(0,1) ,则 E( Xe2 X ) = _。【答案】 2e2【解析】由X : N 0,1 及随机变量函数的期望公式知;.xe2 x1x2112E Xe2 Xe 2 dxx 24xe 2dx 2e2 .22三、解答题：15 23 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（ 15）（本题满分10 分）当 x0 时， 1cosx cos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。【解析】因为当x0时， 1cosx co

20、s2x cos3x 与 axn 为等价无穷小1cos x cos2x cos3 x所以 limaxn1x0又因为：1 cos x cos2x cos3x1cos xcosxcosx cos2 xcosx cos2xcosx cos2 x cos3x1cos xcosx(1cos2x)cosx cos2 x(1cos3x)即 lim1cos x cos2x cos3 x1 cos xcos x(1 cos2x)cos x cos2 x(1 cos3 x)axnlimaxnx0x01 cosxcos x(1 cos2x)cos x cos2x(1cos3x)lim(axnnaxn)x0ax1 x2

21、o( x2 )1 (2 x)2o( x2 )1 (3x)2o(x2 )lim( 2axn2n2n)x0axax所以 n2且 1491a72a2a2a（ 16）（本题满分10 分）1设 D 是由曲线 yx3 ，直线 xa(a0) 及 x 轴所围成的平面图形，Vx,Vy 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy 10Vx ，求 a 的值。【解析】由题意可得：a15Vx3 a3( x3 )2 dx05a167Vy2x x3dxa 30775因为： Vy10Vx所以6 a 3103a 3a7775（ 17）（本题满分10 分）;.设平面内区域D 由直线 x3y, y3x 及 x

22、y8 围成 .计算x2dxdy 。D【解析】x2 dxdyx2dxdyx2dxdyDD1D223 x68xx2dx x dyx2dx xdy03234163（ 18）（本题满分10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 /件，价格函数为 P 60Q，（ P 是单价，单位：1000元， Q 是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求：（ 1）该商品的边际利润。（ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（ 3）使得利润最大的定价 P。【解析】（ I）设利润为 l ，则 lPQQ2(20Q 6000) 40Q60001000边际利润 l 40Q500（ II ）当 P

23、50时，边际利润为20，经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20(III) 令 l 0, 得 Q20000 ，此时 PQ40601000（ 19）（本题满分10 分）设函数 f ( x) 在 0, 上可导，f(0)0且 limf( )2 ，证明xx（ ）存在a0，使得 f ( a)11（ 2）对（ 1）中的 a ，存在(0, a), 使得 f ()1 .a3【答案】（ I）证明： limf ( x)2,X ,当 xX时，有 f ( x)，x2f (x)在0, X 上连续，根据连续函数介值定理，存在a0, X ，使得 f (a) 1（ II ） f ( x) 在 0, a 上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，f (a)f (0)f ()a1,(0, a) ，故(0, a)，使得 f (1)a（ 20）（本题满分11 分）;.设 A1a01，当 a,b 为何值时，存在矩阵C 使得 ACCAB ，并求所有矩阵 C 。1, B1b0【解析】由题意可知矩阵