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1、研究生课程报告二阶倒立摆的控制二阶倒立摆的控制指导老师：屈桢深问题描述小车质量 0.8kg，摆杆 1 质量 0.3kg, 摆杆长度 1.0m；摆杆 2 质量 0.1kg, 摆杆长度 0.5m。要求：设计 NN 控制器，满足指标要求： 0.2Hz 正弦信号幅值裕度 10%, 相角裕度 2 阶倒立摆。一阶倒立摆建模小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。小车在轨道上可以自由滑动。单级倒立摆系统数学模型.N 和 P 分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：M xFbx
2、N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：Nd2xl sinm2dtNmxmlcos ml 2 sin把这个等式代入式中，得到系统的第一个运动方程：Mm xbxmlcosml2 sinF为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：Pmgd2l cosm2dtP mgmlsinml 2 cos力矩平衡方程如下：PlsinNl cos I方程中力矩的方向， coscos ,sinsin ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和 N，得到第二个运动方程：.Iml 2mgl sinml x cos假设与 1（单位是弧度）相比很小，即1，则可进行近似处理：,
3、d2cos1,sin0dt用 u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：Iml 2mglmlxMm xbxmlu对方程（ 7）进行拉普拉斯变换，得到：Iml 2 (s) s2mgl (s)mlX ( s)s2Mm X (s)s2bX (s) sml (s)s2U (s)推导时假设初始条件为0 则摆杆角度和小车位移的传递函数为：(s)mls2X (s)(Iml2 )s2mgl摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：( s)mlA(s)Iml 2 s2mgl摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：.(s)ml s22 )qF (s)4b( Iml3(M m)mgl2bmglsqsssqqq
4、 (Mm)( Iml 2 )m2l 2以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100&( Iml2)b22xx0m gl20&m)Mml2I (Mm)Mml&xI ( Mx&0001&0mlbmgl(Mm)0m)Mml2I (Mm)Mml 2I ( M0Iml2I (Mm)Mml 20umlI (Mm)Mml 2xx100&0y0 xu00100&以小车加速度 作为输入的系统系统状态空间表达式：x&0100x000001&xx&u 00010&003g0&34l4l.xyx1000&0ux00100&2 系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：XAXBuyCXDu系统状态完全可控的条
5、件为：当且仅当向量组 B , AB ,., A n 1 B是线性无关的，或 nn 维矩阵 B ABA n 1 B 的秩为 。n系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵CBCABCA 2 BCA n 1 B D 的秩等于输出向量 y 的维数。应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行可控性分析即可。二阶倒立摆建模在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆的系统，如图所示。.图 1 直线两级倒立摆物理模型下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。拉格朗日方程为：L q, q&T q,q&V q, q&dLLdtq&qfiTTM Tm1 Tm2 Tm3Tm1Tm
6、1 Tm1Tm2Tm2 Tm21&2TMMx2.1dxl1 sin2dl1 sin2Tm111m1dtdt212&122&mlcosml&m xx11111 11 122Tm11211221222J p 123ml111ml11 16Tm11&2&122 &2Tm1Tm1m1 xm1 l1 x1 cos3m1 l1 12同样可以求出1 m221 m22Tm2d ( x2l1 sin1l 2 sin 2d (2l1 cos1l2 cos2 )2dt2dt1&21&2m21 cos1l2 2 cos 2m22l1 1 sin1l2 2 sin2x 2l12212112212&2Tm2J2 223m
7、2l 226m2l 2 2212&Tm2Tm2Tm2m2&1 cos1 l 22 cos 2x2 x 2l12122422&2m2 4l113l224l1l 21 2 cos21因此，可以得到系统的总动能为：.TTMTm1Tm 21212&22 &22Mx&2m1 x&m1l1x& 1cos13m1l1112&m22l11 cos 1l22 cos22x2x122422&m24l1&l 2&4l1l2cos21321221系统的总势能为：V Vm1 Vm 2 Vm 3m1 gl1 cos 1m2 g 2l1 cos 1l 2 cos 2从而拉格朗日算子：LTV12122222Mx&m1 x&m
8、1l1x&1cos 1ml11&1231 mx&22x& 2l&cosl& cos221112221m4l224224l l& cos2&l&2113221 21221m1gl1 cos 1m2 g2l1 cos 1l 2 cos2由于因为在广义坐标1 ,2 上均无外力作用，有以下等式成立：dLLdt&011dLLdt&022对 1 , 2求解代数方程，得到以下两式.&(3(2gm sin14gm sin14m g sin13m g cos(21)sin2112326m2 l1 cos( 12 )sin(24m2 l2 sin( 122m1 &xcos 112 ) &12 ) &24m2 &x
9、cos 14m3 x&cos 13m2 &xcos( 12 )cos2 ) /(2l1( 4m1 12m2 12m39m2 cos2 ( 12 )&(4 m (m3(mm )l2l(3g sin6l&2sin()3&xcos)29212312211122222 )(6m2l22sin( 12 )3m2l1 l 2 cos( 1&23(m12(m2m3 )( g sin1x&cos 1 ) /(16m2 (m13(m2m3 )l12l224m22l12l 22 cos2 ( 12 )9表示成以下形式：&f ( x,2,x&,&,&, &x)11112&f2 (x,1,& & & &22 , x,
10、1 ,2, x)取平衡位置时各变量的初值为零，A( x, 1 , 2, x&, &1, &2,&x)(0,0,0,0,0,0,0)0将（ 23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:K11f10A 0xf13( 2 gm14gm24gm3 )K12A 03m212m3 )l112( 4m1.K13f19m2 gA 02( 4m13m212m3 )l12K14f10& A0xK15f10& A01K16f10& A 02K17f13( 2m1m24m3 )& A 02( 4m1 3m2 )l1x带入式，得到线性化之后的公式&1 K12 1K13 2K17&x将式在平衡位置进行泰勒级数展开，
11、并线性化，令K 21f 2A 00xKf 22g( m12m2 )22A 04m2 l216( m13m2 )l219K 23f 2A 04g(m13m2 )3(4m2 l16(m13m2 )l2 )229K 24f 2& A 0xK25f 2& A 0100.f2K26& A 002f22(m12m2 )4 (m1 3m2 )K 27A 0163&x(m1 3m2 )l 24m2l 29带入（ 22）式，得到&K22 1K23 2 K27&x2即：&K12K13&112K17x&K22K23&212K27 x现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程u&x取
12、状态变量如下：x1xx21x32x4&xx5&1x6&2由（ 33），（41），（42）式得到状态空间方程如下：.x&000100x011x&000010x022&000001x30x3&000000x4ux41x&50K12K13000x5K17&0K 22K 23000x6K 27x6其中直线两级倒立摆系统参数为：M小车质量2.32kgm1 =0.3kg ； m2 =0.2kg ；1 为摆杆 1 与垂直向上方向的夹角2为摆杆 2 与垂直向上方向的夹角； l1 =1m；l 2 =0.5m； F 为作用在系统上的外力由以上方程，将以下参数代入即可。M0.8m10.3m20.2g9.8l11l2
13、0.5神经网络建模本文采用的神经网络采用4-5-3 结构的三层前馈网。 输入变量为.xx1x2 x3x1e tx2et(0-1)de tx3dte txin tyout t网络隐含层的局部诱导域和输出分别为v1jM1jin Oi0nni 0(0-2)Oi0nv1jnj 1,2,3,., Q其中， w 为隐含神经元的突触权值， w0 表示神经元的偏置， Q 为隐含神经元的节点数，隐含神经元的激活函数取双曲正切函数xtanh xexex(0-3)exex网络输出层的诱导局部域和输出分别为Qvk2 nwkj2 n O1j n(0-4)j0Ok2 nfvk2 nk1,2,3(0-5)k pO12nki
14、O22n(0-6)kdO32n考虑到输出参数不能为负值，所以激活函数采用非负函数.f x11 tanh xexex(0-7)2e x控制率为M c t kp e t ki e t kdde t(0-8)dt采用 BP 学习算法，对网络的突触权值进行迭代修正，并附加一个使搜索快速收敛的全局极小的动量项。定义系统的代价函数为。12(0-9)te t22ttdwkj2 twkjwkj2 t(0-10)dtk2 t O1jndwkj2 tdt其中，yita 是学习率， alpha 是动量因子，根据微分链式规则，局部梯度可计算如下k2 ttvk2t(0-11)tyouttutOk2tyout tutOk
15、2tvk2t由于输出对控制量的偏导未知，所以用符号函数近似表示，由此带来的计算不精确的影响尽量由调整学习率来补偿。由控制方程不难得到.M c t K pid X kp e t ki e t dt kdde t(0-12)dtM ct(0-13)Ok2xk tt将所有公式整合，不难得到神经元k 的局部梯度为k2 t e t sgnyouttxk t f vk2 t(0-14)Mct由此可得，网络输出层神经元的突触权值调整的修正公式为wkj2 tk2 t O1j twkj2 dt(0-15)同理，可得隐含层神经元的突触权值学习算法。w1ji t1j t Oi0 tw1ji t dt(0-16)其中
16、，神经元 j 的局域梯度为31jt v1j tk2 t wkj2 t(0-17)k1至此，本文采用的神经网络原理已介绍完成，考虑到本次仿真过程采用的变时间步长仿真方式类似于连续仿真，故在上文公式中将神经网络中所有离散部分连续化。现将网络工作过程归纳如下。初始化确定网络结构，确定输入层节点数 M 和隐含层节点数 Q，并给出各层突触权值的初值，选择学习率和动量因子；采样得到 xin 和 yout，并计算此时误差e；.计算神经网络各层神经元的输入和输出，输出即为 PID 的三个可调参数 Kp、Ki 、 Kd;计算控制器的输出u；进行神经网络的学习，在线调整突触权值矩阵，实现PID参数的自适应调整；进行下一步迭代运算直至仿真完成。仿真结果PID 仿真曲线与神经网络PID 实验仿真曲线为：-34 x 10神经网络3传统 PIDdar2/角拉 1欧0-1501001500时间 /s.-5x 102神经网络传统 PIDd 1a r/角 0拉欧 -1 -2100105110115120125时间 /s从仿真曲线来看两种控制方式都达到了预期目标。两实验的仿真曲线都约在60s 左右达到平衡位置， 而后期结果来看， 第一个仿真在 120S 左右不如第二个仿真结果。.