《点线面位置关系(知识点加典型例题).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点线面位置关系(知识点加典型例题).doc（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为LAALBL = L ，A ，BCBA公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面P
2、L（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角的范围是 00acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与b所成的角的大小只由a、b
3、的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0，)； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a针对性练习：1.若直线a
4、不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）A. 内所有的直线都与a异面； B. 内不存在与a平行的直线；C. 内所有的直线都与a相交； D.直线a与平面有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空间四边形ABCD中，若，则与所成角为A、 B、 C、 D、4. 给出下列命题：（1）直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；（2）直
5、线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）35正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点P为ABC所在平面外一点，PO平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ABC的（ ） （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心ABCDA1B1C1D17.如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角 C1BDC的大小为（ ） （A）300
6、（B）450 （C）600 （D）9008.直线a,b,c及平面,下列命题正确的是（ ）A、若a，b,ca, cb 则c B、若b, a/b 则 a/ C、若a/,=b 则a/b D、若a, b 则a/b9.平面与平面平行的条件可以是（ ）A.内有无穷多条直线与平行； B.直线a/,a/C.直线a,直线b,且a/,b/ D.内的任何直线都与平行10、 a, b是异面直线，下面四个命题：过a至少有一个平面平行于b； 过a至少有一个平面垂直于b；至多有一条直线与a，b都垂直；至少有一个平面与a，b都平行。其中正确命题的个数是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知直线a/平
7、面，平面/平面，则a与的位置关系为 . 12已知直线a直线b, a/平面,则b与的位置关系为 .13如图，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形ABCP14.、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断： m n m n 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15如图，PA平面ABC，平面PAB平面PBC 求证：ABBC PABC 16在三棱锥S-ABC中，已知AB=AC，O是BC的中点，平面SAO 平面ABCABOCS求证：SAB=SAC17如图，P
8、A平面ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF平面PBC；（2）求二面角PBCA的大小；（3）求三棱锥PAEF的体积.ABCPEF参考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若则17.（2）452.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、
9、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a ab = P b a b2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行练习巩固：
10、1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(d ) A.平行B.异面 C.相交 D.平行或异面2、下列结论中，正确的有(a ) 若a,则aa平面,b则ab平面平面,a,b,则ab平面,点P,a,且Pa，则aA.1个B.2个 C.3个D.4个3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AEEB=CFFB=13，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内D.不能确定4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是(d ) A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,b
11、D.过A且平行a,b的平面可能不存在5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面,则b与的位置关系是( ) A.bB.bC.b与相交D.以上都有可能6、下列命题中正确的命题的个数为(a ) 直线l平行于平面内的无数条直线，则l;若直线a在平面外，则a;若直线ab,直线b,则a;若直线ab,b平面，那么直线a就平行于平面内的无数条直线.A.1B.2 C.3 D.47、下列命题正确的个数是(a ) (1)若直线l上有无数个点不在内，则l(2)若直线l与平面平行，l与平面内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面内一直线b平行，则aA.0个
12、B.1个 C.2个 D.3个8、已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d若m,m,则;若,则;若m,n,mn,则;若m、n是异面直线，m,m,n,n,则.A.和 B.和 C.和 D.和9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有(c) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10、对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l，M，使得l,l,M,M. 其中可以判断两个平面与平行的条件有（b）A.1个 B.2个
13、C.3个 D.4个二、填空题 【共4道小题】1、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MNPQ(MN平面AC，PQ=平面PMN平面AC，MNPQ).易知DP=DQ=.故. 答案：2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是_. 参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内3、若直线a和b都与平面平行，则a和b的位置关系是_. 参考答案与解析:相交或平行或异面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E
14、为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_. 参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BDAC=O，连结BD1，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点， OE为BDD1的中位线.OEBD1.又平面ACE，OE平面ACE，BD1平面ACE.答案：平行三、解答题 【共3道小题】1、如图，直线AC，DF被三个平行平面、所截.是否一定有ADBECF；求证：.参考答案与解析:解析：平面平面，平面与没有公共点，但不一定总有ADBE. 同理不总有BECF.过A点作DF的平行线，交，于G，H两点，AHDF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面,于AD，GE，HF.根据两平面平行的性
15、质定理，有ADGEHF.AGED为平行四边形.AG=DE.同理GH=EF.又过AC，AH两相交直线之平面与平面,的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BGCH.在ACH中，.而AG=DE，GH=EF，.2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证：SA平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证. 证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以M
16、NSA.因为MN平面MDB，所以SA平面MDB.3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC， 则P为AC的中点，连结AB1，M、N分别是A1A与A1B1的中点，MNAB1.又平面PB1C，平面PB1C，故MN面PB1C. 4、如图，在正方体中，分别是棱，的中点，求证：平面答案：证明：如图，取的中点，连接，平行且等于，平行且等于，平行且等于，则为平行四边形，平面，平面，平面5、如图，在四棱锥中，是平行四边形，分别是，的中点求证：平面答案：证明：如图，取的中点，连接，
17、分别是，的中点，可证明平面，平面又，平面平面，又平面，平面2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面
18、角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。一 选择题1. 已知直线，和平面，有以下四个命题：若，则； 若，则与异面；若，则； 若，则其中真命题的个数是（ ）2. 已知直线，有以下几个判断：若，则；若，则；若，则；若，则上述判断中正确的是（）3. 已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面
19、的无数条直线一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是（ ）A4. 在正方形中，分别是及的中点，是的中点，沿，及把，折起使，三点重合，重合后的点记作，那么在四面体中必有（）面面 面面5. 直线不垂直于平面，则内与垂直的直线有（）条条无数条内所有直线6. 已知三条直线，三个平面，下面四个命题中，正确的是（）7. 在空间四边形中，若，为对角线的中点，下列判断正确的是（ ）平面平面平面平面平面平面平面平面8. ，是四个不同平面，若，则（）且 或这四个平面中可能任意两个都不平行 这四个平面中至多有一对平面平行9. 设，是异面直线
20、，下列命题正确的是（ ）过不在，上的一点一定可以作一条直线和，都相交过不在，上的一点一定可以作一个平面和，垂直过一定可以作一个平面与垂直过一定可以作一个平面与平行10. 设平面平面，且，直线，直线，且不与垂直，不与垂直，那么与（）可能垂直，不可能平行可能平行，不可能垂直可能垂直，也可能平行不可能垂直，也不能垂直二 填空题11已知直线，和平面，且，则与的位置关系是_12. 是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断： ；以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_13. 设为平行四边形对角线的交点，为平面外一点且有，则与平面的关系是_14. 设三棱
21、锥的顶点在底面内射影（在内部，即过作底面，交于），且到三个侧面的距离相等，则是的_心. 4、 如图所示，是圆的直径，是异于，两点的圆周上的任意一点，垂直于圆所在的平面，则，中，直角三角形的个数是_ 三 解答题16已知平面，满足，求证：17. 如图，已知平面，直线满足，试判断直线与平面的位置关系并证明18. 如图所示，为正方形，平面，过且垂直于的平面分别交，于，求证： 19. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，求证：是异面直线与的公垂线20. 如图，直角所在平面外一点，且，点为斜边的中点(1)求证：平面；(2)若，求证：面21. 如图所示，平面平面，在上取线段，分别在平面和平面内，且，求长
22、答 案一 选择题BBBAC;DDBDB二 填空题11. 12. （2）（3）（4）（1）或（1）（3）（4）（2）13. 垂直14. 内心15. 4三 解答题16解：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线17解：在内作垂直于与交线的直线，因为，所以因为，所以又因为，所以即直线与平面平行18答案：证明：平面，又，同理19答案：证明：底面，已知，面又，且是矩形，又，平面又，平面是异面直线与的公垂线20答案：证明：（），为的中点，连结在中，则，又，面（），为的中点，又由（）知面， 于是垂直于平面内的两条相交直线面21答案：解：连结，是直角三角形在中，在中，长为