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Chapter 7(4),函数展开成幂级数,教学要求:,了解函数展开成Taylor级数的充要条件;,(3) 会用已知的幂级数展开式将一些简单函数 间接展开成幂级数.,一、Taylor(泰勒)级数,是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下该幂级数收敛于函数f(x)?,1. Taylor(泰勒)级数的形式,Proof.,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,定义,2. Taylor(泰勒)级数的存在性,Proof.,必要性,充分性,二、直接法展开函数成幂级数,步骤：,Example 1.,Solution.,Example 2.,Solution.,Example 3.,Solution.,牛顿二项展开式.,注意:,三、间接法展开函数成幂级数,方法：,(1)利用已知 幂级数展式.,(2)利用求导求积恒等变形等运算转化为已知幂级数 展式来展开.,(3)端点情况的收敛性重新考虑.,Example 4.,Solution.,由于在-1，1处收敛，arctan x在-1，1处连续，所以,Example 5.,Solution.,Example 6.,Solution.,Example 7.,Solution.,作业布置： Page 317 Ex2（1）（8） Ex3 （2）,