直线与平面平行经典题目.doc

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1、9.2 直线与平面平行知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.点击双基1.设有平面、和直线m、n，则m的一个充分条件是A.且m B.=n且mnC.mn且nD.且m答案：D2.设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若m，n，则mn 若，m，则m 若m，n，则mn 若，则A.B.C.D.解析：

2、显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长方体的顶点，与可以相交.答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设=l，a，a，过直线a作与、都相交的平面，记=b，=c，则ab且ac，bc.又b，=l，bl.al.答案：C4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与lA.平行B.相交 C.垂直 D.互为异面直线解析：对于任意的直线与平面，若在平面内，则存在直线m；若不在平面内，且，则平面内任意一条直线都垂直于，若不在平面内，且于不垂直，则它的射影在平面内为一条直线，在平面内必有直线垂直

3、于它的射影，则与垂直，综上所述，选C.5.已知平面和直线，给出条件：；.（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE.证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四边形.MNPQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，MN平面BCE.证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NG.MGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE.

4、又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE.又面MGNG=G，平面MNG平面BCE.又MN平面MNG.MN平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】 已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.（1）求证：直线MN平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.（1）证明：PABCD是正四棱锥，ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.ADBC，ENAN=B

5、NND.又BNND=PMMA，ENAN=PMMA. MNPE.又PE在平面PBC内，MN平面PBC.（2）解：由（1）知MNPE，MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO=.由（1）知，BEAD=BNND=58， BE=.在PEB中，PBE=60，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.【例3】如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （

6、I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值解析：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点， E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED为AC1与B1C所成的角，在CED中， ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， ， 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.闯关训

7、练夯实基础1. （07福建理）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. ，n B. ，mnC. m，mnn D. nm,nm解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D2.（06福建卷）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是A.若m，mn，则n B.若m，n，则mnC.若m，n，则mn D.若m、n与所成的角相等，则nm解：对于平面和共面的直线、真命题是“若则”， 选C.3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共

8、有 ( )A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条解：如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有12条，选D.4.(06重庆卷)若是平面外一点，则下列命题正确的是A.过只能作一条直线与平面相交 B.过可作无数条直线与平面垂直C.过只能作一条直线与平面平行 D.过可作无数条直线与平面平行解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D5.如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为

9、（ C ）AKBHCG DB6.已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.答案：7.已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，AB=2，AC、BC分别和平面成45和30角，则AB到平面的距离为_.解析：分别过A、B向平面引垂线AA、BB，垂足分别为A、B.设AA=BB=x，则AC2=（）

10、2=2x2，BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，6x2=（2）2， x=2. 答案：28、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1B1C1l，AlBlC190，AAl4，BBl2，CCl3。（I）设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；xzyMGDSFCBEAA第39题图第38题图FEPDC（II）求二面角BACA1的大小；（）求此几何体的体积；解法一：（1）证明：作交于，连则因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有平面且平面，则面（2）如图，过作截面面，分别交，于，作于，连因为面，所以，则平面又因为，所以，

11、根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角因为，所以，故，即：所求二面角的大小为（3）因为，所以所求几何体体积为 解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量因为，平面，所以平面（2），设是平面的一个法向量，则则，得：取，显然，为平面的一个法向量则，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角的大小是（3）同解法一培养能力9.如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存

12、在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以 从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即

13、，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.探究创新10.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

14、（1）求证：EM平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2），求V1V2的值.（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.E为A1B的中点，EFB1B.又C1MB1B，EFMC1.四边形EMC1F为平行四边形.EMFC1.EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1， EM平面A1B1C1D1.（2）解：作B1HA1N于H，连结BH.BB1平面A1B1C1D1，BHA1N.BHB1为二面角BA1NB1的平面角.EM平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1

15、C1D1=A1N，EMA1N. 又EMFC1，A1NFC1.又A1FNC1，四边形A1FC1N是平行四边形.NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在RtA1D1N中，A1N= a， sinA1ND1=.在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a= a.在RtBB1H中，tanBHB1=.（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM，PBM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又平面MNC1平面BA1B1，几何体MNC1BA1B1为棱台.S=2aa=a2，S=aa= a2，棱台MN

16、C1BA1B1的高为B1C1=2a，V1=2a（a2+a2）= a3，V2=2a2aaa3= a3.=.思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.拓展题例【例1】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB

17、1BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.（1）证明：E、F分别为AB1、BC1的中点，EFA1C1.A1C1AC，EFAC.EF平面ABC.（2）证明：AB=CC1，AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1BAB1.又AB1BC1，AB1平面A1BC1. AB1A1C1.又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1. A1C1AB.（3）解：A1B1AB，A1B1平面ABC1.A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离.过A

18、1作A1GAC1于点G，AB平面ACC1A1，ABA1G.从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G= .评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.2、（07全国）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。()求证：EF平面SAD；()设SD = 2CD，求二面角AEFD的大小；解法一：（1）作交于点，则为的中点连结，又，故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以，而，所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面平面，所以平面（2）不妨设，则中点又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角所以二面角的大小为