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1、,最新教学推荐 ,第 37 讲直接证明与间接证明 解密考纲 对利用综合法、分析法、反证法证明数学命题常与数列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查一、选择题1用反证法证明命题：若a b c 为偶数，则“自然数a，b， c 恰有一个偶数”时正确反设为 (D)A自然数a， b， c 都是奇数B自然数a， b， c 都是偶数C自然数a， b， c 中至少有两个偶数D自然数 a， b， c 中都是奇数或至少有两个偶数解析 由于“自然数，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数，c都是奇数或a ba b至少有两个偶数”，故选D2分析法又称执果索因法， 若用分析法证明： “设 ，且 0，求证b2aca b
2、 cab c0B a c0C ( a b)( a c)0D ( a b)( a c)QB P QC D由a的取值确定P Q22解析 不妨设 P Q，要证 P Q，只要证 P Q，只要证 2 72a 72 72a 3 4aaaa只要证 a2 7a a27a 12，只要证 0 12， 0 12 成立，Q成立P4要使 333成立，则 ，应满足 (D)aba babA abbB ab0 且 abC ab0 且 a0 且 ab 或 ab0 且 ab0，且 ab 1，若 0 cqB p0，则三个数 y y， z z，x x( C )yzxzx yz yA都大于 2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至
3、少有一个不大于2y yz zx xy xy zx z解析 因为 x 0，y 0，z0，所以 x z x y z y x y z y z x6，当且仅当x z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选 Cy二、填空题7设 3 22， 27，则 ，的大小关系为 _.aba ba b解析 a3 22，b 27两式的两边分别平方，可得 a211 46，b2 11 4 7，显然6 7. a b.8用反证法证明命题“若实数a，b， c， d 满足 ab c d1， acbd1，则 a， b，c， d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_a，d全是负数 _.b c解析
4、 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d 中没有一个是非负数，即a， b， c，d 全是负数”9设 a， b 是两个实数，给出下列条件：2 2 a b1； a b 2； a b2； a b 2； ab1.其中能推出“ a， b 中至少有一个大于1”的条件是 _ _( 填序号 ) 2,最新教学推荐 ,12解析 若 a 2，b 3，则 a b 1，但 a1， b 1，故推不出；若 ab 1，则 a b 2，故推不出；若 a 2， b 3，则 a2 b2 2，故推不出；若 a 2， b 3，则 ab 1，故推不出；对于，即 ab 2，则 a， b 中至少有一个大于 1，
5、反证法：假设a1且 b1，则 ab2与 a b 2 矛盾，因此假设不成立，故a，b 中至少有一个大于1，故能推出三、解答题10(2017 江苏徐州模拟) 如图， AB， CD均为圆 O的直径， CE圆 O所在的平面，BFCE，求证：(1) 平面 BCEF平面 ACE；(2) 直线 DF平面 ACE.证明(1) 因为 CE圆 O所在的平面， BC? 圆 O所在的平面，所以CE BC因为 AB为圆 O的直径，点C在圆 O上，所以 AC BC因为 AC CE C， AC， CE? 平面 ACE，所以 BC平面 ACE.因为 BC? 平面 BCEF，所以平面BCEF平面 ACE.(2) 由 (1) 知
6、 AC BC，又因为 CD为圆 O的直径，所以 BD BC因为 AC， BC， BD在同一平面内，所以ACBD因为 BD?平面 ACE， AC? 平面 ACE，所以 BD平面 ACE.因为 BF CE，同理可证BF平面 ACE，因为 BD BF B， BD， BF? 平面 BDF，所以平面 BDF平面 ACE.因为 DF? 平面 BDF，所以 DF平面 ACE.11设 an 是公比为q 的等比数列(1) 推导 an 的前 n 项和公式；(2) 设 q1，证明数列 an1 不是等比数列3,最新教学推荐 ,解析(1) 分两种情况讨论当 1 时，数列 a 是首项为a1 的常数列，所以S 1 1 1,
7、 1 1.qna a aanan当 q1时， Sna1 a2, an 1an?qSn qa1qa2, qan 1 qan .将上面两式相减得(1 )n1 ( 2qa1) (a32) , ( nn 1) n 1 q Saaqaaqaqaa1n11 qnn ?n a qa a.qa S1 q1 qnna ， q 1，a1q11nqa a综上， S n，综上， S q1n1 q1 qna， 1.1 qq(2) 证明：设n是公比 q1 的等比数列，假设数列n是等比数列，则(21)2 a a1a ( a1 1)(a31) ，即 ( a1q 1)2 ( a1 1)( a1q2 1) ，整理得 a1( q
8、1) 2 0得 a10 或 q 1均与题设矛盾，故数列 an 1 不是等比数列12已知二次函数 f ( x) ax2 bx c( a0) 的图象与 x 轴有两个不同的交点若f ( c) 0，且 0x0.1(1) 证明： x a是函数 f ( x) 的一个零点；1(2) 试比较 a与 c 的大小解析(1) 证明： f ( x) 的图象与x 轴有两个不同的交点， f ( x) 0 有两个不等实根x1， x2.c f ( c) 0， x1c 是 f ( x) 0 的根又 x1x2a，1 11 x2 a a c ， x a是 f ( x) 0 的一个根1即 x a是函数 f ( x) 的一个零点1 1(2) 假设 a0，由 0x0 ，111知 f a 0，这与 f a 0 矛盾， a c.1 1又 a c， ac.4