《高一数学教案：任意角的三角函数8.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学教案：任意角的三角函数8.docx（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、任意角的三角函数（一）主要知识：1角的概念的推广； 象限角、 轴线角； 与角终边相同的角为2k(kZ ) ；2角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式l| r 、扇形面积公式S1 lr ；23任意角的三角函数（二）主要方法：1本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论（三）例题分析：例 1若,(0,) ，且 sincos0，则（C ）2( A)( B)(C )( D )22例 2（ 1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？3（ 2）如果是第二象限的角，判断sin(cos) 的符号
2、cos(sin)解：（ 1）2k2k, kZ ， 2k2k23, kZ ，336当 k3n( nZ ) 时， 2n32n, nZ ，是第一象限的角，63当 k3n1(nZ ) 时，2n22n5 ,nZ ，是第二象限的角，3363当 k3n2( n Z ) 时， 2n432n3,nZ ，是第三象限的323角是第一，二，三象限的角31cos00sin1（ 2）是第二象限的角，sin(cos)0， cos(sin )sin(cos)0 ，0cos(sin)例 3已知锐角终边上的一点P 坐标是(2sin 2,2cos 2)，则（ C ）( A) 2( B)2(C) 22( D )22例 4扇形 AOB
3、 的中心角为2，半径为 r，在扇形 AOB 中作内切圆O1 及与圆第1页共17页O1 外切，与 OA,OB 相切的圆 O2 ，问 sin为何值时，圆 O2 的面积最大？最大值是多少？解：设圆 O1 及与圆 O2 的半径分别为 r1 , r2 ，(rr1 )sinr1r1r sin1 sin则，得，(r1r2 )cos()r1r2r2r1 (1sin)21sin r2r1 (1 sin )r sin(1sin)，1sin(1sin)2 022，0，令 tsin1(1t2) ，r2t 23t213)21131时，t22(4，当t，即sint843圆 O2 的半径最大，圆O2 的面积最大，最大面积为
4、64（四）巩固练习：1设 02，如果 sin0 且 cos20 ，则的取值范围是（D）( A)3( B) 32(C )43(D ) 57224442已知的终边经过点(3a9, a2)，且 sin0,cos0，则 a 的取值范围是 ( 2, 9 33若 sintancot (2) ，则（B）2( A) (,)( B) (,0)(C ) (0,)( D ) (,)244442第2页共17页同角三角函数的基本关系与诱导公式（一）主要知识：1同角三角函数的基本关系式：（ 1）倒数关系：tan cot；1（ 2）商数关系：sin,cotcostan；cossin（ 3）平方关系： sin 2cos21
5、2诱导公式，奇变偶不变，符号看象限（二）主要方法：1利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；2学会利用方程的思想解三角题，对于sincos ,sincos ,sincos三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值（三）例题分析：例 1化简 tan(cossinsintan)csccot分析：切割化弦是解本题的出发点sin(cossin)sinsincossin解：原式coscos1sinsin例 2化简（ 1） sin(4)cos() ；4（ 2）已知2,cos(9311)，求 cot() 的值52解
6、：（ 1）原式sin()cos()sin()sin() 0 42444（ 2） cos() cos(9)3 ， cos3 ，552， sin4sin4， tancos，53 cot(11)cot( 3)tan4223例 3 （1）若tan2， 求值 cossin； cossin2sin 2cos2sincos（ 2）求值 1sin6 xcos6 x 1sin 4 xcos4 x1sin12解：（ 1）原式cos3 22 sin121cos11 ， cos21tan 23第3页共17页原式cos2(2 tan2tan1)21 3（ 2） sin6 xcos6 x(sin 2 xcos2 x)(s
7、in 4 xsin 2 x cos2 xcos4 x)(sin 2 xcos2 x)23sin 2 xcos2 x 13sin 2 x cos2 x又 sin 4 xcos4 x(sin 2 xcos2 x)2原式1sin 6xcos6x31sin 4xcos4x2例 4已知 sin ,cos 是方程 4x2 4mx求角2sin 2 x cos2 x12sin 2 x cos2 x 32m10 的两个根，2，2sincosm解：sincos2m1，代入 (sincos)212sincos，416( m22m1)0得 m13 ，又 32， sincos2m10，224sincosm1 3， si
8、n3 ,cos1，又32，522226（四）巩固练习：1若 f (cos x) cos2 x ， f (sin15 )（D）( A) 1( B)13( D )3(C )22222已知 sincos1 (0) ，则 tan3 54第4页共17页三角函数的求值（一）主要知识：三角函数求值问题一般有三种基本类型：1给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2给值求值， 即给出一些三角函数， 而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角（二）主要方法：1寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的
9、三角函数值；3一些常规技巧： “1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等（三）例题分析：例 1已知 sinm3 ， cos42m （），则 tanCm5m52（）( A) 4 2m(B)m 3( C )5(D )m 342m1235或124略解：由 ( m3) 2( 42m) 21 得 m8 或 m0 （舍）， sin5，m5m513tan512例 2已知 cos(75)1 ，是第三象限角， 求 cos(15) sin(15 ) 的3值解：是第三象限角， k 36025575k 360345 （ kZ ）， cos(75)1， 75是第四象限角，3sin(75)1(1)222，33原式co
10、s(15)sin(15)sin(75 )cos(75 )2213例 3已知 sinsin 21 ，求 3cos2cos42sin1 的值解：由题意， sin1sin 2cos2，原式3sinsin 22sin1 sin1 cos21 sinsin22例 4已知 8cos(2)5cos0 ，求 tan() tan的值解： 2()，()， 8cos()5cos()a0 ，得 13cos()cos3sin()sin， 若 cos()cos0， 则tan() tan13 ，3若 cos()cos0 ， tan()tan无意义第5页共17页说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()，2() () ，
11、 2()等，解题过程中应充分利用这种变形例 5已知关于 x 的方程 2x2( 3 1) x m0 的两根为 sin,cos ,(0,2) ，求：（1） sincos的值；（ 2）m 的值；（3）方程的两根及此时的值1cot1 tansincos31解：（ 1）由根与系数的关系，得2，sincosm2原式sin 2cos2sin 2cos2sincos31 sincoscossinsincos223，sincos3m3，（ 2）由平方得： 1 2sin cos24，即423故 m2（ 3）当 2x2(31)x30 ，解得 x13 , x21，222sin3sin12 或2，cos1cos322
12、x (0,2) ，3或6（四）巩固练习：1若 cos130a ，则 tan 50（ D）1a2( B)1 a2(C )a1a2( A)a1a2(D )aa2 (1 tan 20 )(1tan 21 )(1tan 24 )(1 tan 25 )（B）( A) 2( B) 4(C ) 8(D ) 16三角函数的最值（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：第6页共17页 ya sin xb ，设 tsin x 化为一次函数 y atb 在闭区间 t1,1上的最值求之； ya sin xb cos xc ，引入辅助角 (cosa,sinb)
13、 ，a2a2b2b2化为 ya2b2 sin( x ) c 求解方法同类型； ya sin 2 xb sin xc ， 设 t sin x ， 化 为 二 次 函 数 yat 2btc 在t 1,1上的最值求之； ya sin x cos xb(sin xcos x)c ， 设 tsin xcosx 化 为 二 次 函 数ya(t 21)btc 在闭区间 t 2, 2 上的最值求之；2at 2 ya tan xbcot x ，设 tb法求值；当 ab0 时，tan x 化为 y用t还可用平均值定理求最值； ya sin xb 根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”c sin x
14、d法或“数形结合” （二）主要方法： 配方法； 化为一个角的三角函数；数形结合法； 换元法；基本不等式法（三）例题分析：例 1求函数 ysin xcos(x) 的最大值和最小值6解： ysin x cos x cossin xsin3 sin x3 cos x3 sin( x6) 6622当 x2k， ymax3 ，当 x2k23(kZ ) ， ymin33例 2求函数 y(sin x2)(cos x2) 的最大、最小值解： 原函 数 可化 为 ：y sin x cos x2(sin xcos x)4，令sin xcos xt (| t |2)，则t 21，sin x cos x2yt212t
15、 41 (t 2) 23 222 t22,2，且函数在2,2上为减函数，当t2 时，即x2k(kZ ) 时，ymin922 ；当 t2时，即42x2k3(kZ ) 时， ymax922 42例 3求下列各式的最值： （ 1）已知 x(0,) ，求函数 y3 sin的最大值；2213sin（ 2）已知 x(0,) ，求函数 ysin x的最小值sin x解：（ 1） y13231 ，当且仅当 sin3时等号成立故3sin323sin第7页共17页ymax122 ，在 (0,1)（ 2）设 sin x t (0t 1) ，则原函数可化为 yt上为减函数，当 t1时， ymin3t说明： y sin
16、 xasin x0 ， a 1时，不能用均值型三角函数求最值，当sin x不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解例 4求函数 y2cos x (0 x) 的最小值sin x1解：原式可化为y sin x cos x 2 (0 x ) ，引入辅助角 ， tan ，得 y1y2 sin( x)2 ， sin( x)2，由 |2| 1，得 y3 或1 y21y 2y3 又1 cosx1， 2 cos x0，且 sin x0 ，故 y0 y3 ，故ymax3 3例 5 高考A 计划考点 32，智能训练 10：已知 sin sin ，则 2ycoscos的最大值是解 ： (sinsin ) 2(c
17、oscos)22 cos()3y2， 4y252cos() ，故当 cos()1时， ymax1342（四）巩固练习：1已知函数 yA sin( x) 在同一周期内，当x时，取得最大值1 ，当4192x 时 ， 取 得 最 小 值， 则 该 函 数 的 解 析 式 是92（ B ）( A) y2sin( 1 x) (B) y1 sin(3 x) (C ) y1 sin(3 x) (D )1362626sin( 3x)y262若方程 cos2 x2 3 sin x cos xk 1 有解，则 k 3,1 三角函数式的化简与证明（一）主要知识：1三角函数式的化简要求： 通过对三角函数式的恒等变形
18、（或结合给定条件而进行的恒等变形） ，使最后所得到的结果中：所含函数和角的名类或种类最少；第8页共17页各项的次数尽可能地低； 出现的项数最少； 一般应使分母和根号不含三角函数式；对能求出具体数值的，要求出值2三角恒等式的证明要求： 利用已知三角公式通过恒等变形 （或结合给定条件运用三角公式） ，论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整（二）主要方法：1三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是： 异名函数化为同名三角函数， 异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化2三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式无条件的等式证明的基本方法是化繁
19、为简、左右归一、 变更命题等， 使等式两端的 “异” 化为“同”；有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等（三）例题分析：例 1化简：（ 1）3 tan123；2 12sin12 (4cos2)（ 2） (cot2tan)(1tantan2) ；2(1sincos)(sin2cos)（ 3）22cos2(0) 3 sin123cos1223( 1 sin123 cos12 )解：（ 1）原式222sin12cos12 (2cos 2 121)sin 24 cos2423 sin(1260 )43 1 sin 481cos21cossin1cos（ 2）原式)(1(sinsincossin)2cos(11cos)2cot(111) 2cscsincoscos(2cos 22cossin)(sincos)（ 3）原式222222(1cos)2cos(cossin )(sincos)222222 2cos 222cos(sin2cos2)cos(cos)22222| cos|cos|22 0， 022， | cos|cos，cos22原式第9页共17页例3 证明： （ 1）tan2 x cot2 x2(3cos 4x