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1、第八章圆锥曲线方程一、知识框架二、重点难点重点 ：椭圆的定义及相关概念，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；双曲线的定义及相关概念，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，等轴双曲线与共轭双曲线的定义；抛物线的定义及圆锥曲线的统一定义，抛物线的标准方程，抛物线的几何性质；难点 :利用椭圆的第一定义和第二定义解题，椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的方程；对与渐近线有关的问题的讨论，对定义、 方程、几何性质中的隐形条件向显性结论转化；抛物线的几何性质。三、知识点解析1、椭圆及其标准方程（ 1）定义：1）文字定义：第一定义： 平面内与两个定点F1 , F2 的距离的和等于常数（大于 | F1F2 | ）的点的
2、轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距；注 意： | 2a | | F1F2 | 非 常重要。因为当| 2a | | F1F2 | 时 ，其 轨迹为线段 F1 F2 ；当| 2a | | F1F2 | 时，其轨迹不存在；第二定义：平面内到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数e(0e1) 的点的轨迹；定义中定点不在定直线上是前提， 定点为椭圆的一个焦点， 定直线是此焦点的相应的准线， e 为椭圆的离心率；2）符号定义：（ 2）方程：第 1页共 8页1）标准方程：焦点在x 轴上： x2y21(a b 0, b2a2c2 ) ；焦点在y轴a2b2上： y2x21(a b
3、 0, b2a2c2 ) ；a2b22）参数方程：xa cosy，是参数；b sin3）注意：标准方程中的常数b 源于 b2a2c2，常数 a 和 b 决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件；焦点 F1( c,0), F2 (c,0) 的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型；也就是说， 知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置， 其标准方程具有多种类型；任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。2、椭圆的简单几何性质x2y2b0)E :2b2 1(aa1）范围： | x |
4、a,| y |b ；2）对称性：关于x, y 轴对称，关于原点中心对称；3）顶点：长轴端点A1 (a,0), A2 (a,0) ，短轴端点 B1(0,b), B2 (0, b) ；4）离心率： ec(0,1) ；a5）准线： l1 : xa2a2,l 2 : x；cc6）焦半径： P(x, y)E ， r1| PF1 | aex, r2| PF2 |a ex 。3、双曲线及其标准方程（ 1）定义：1）文字定义：第一定义： 平面内与两个定点F1, F2 的距离的差的绝对值是常数（小于 | F1 F2 | ）的点 M的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，| F1
5、F2 |2c ；注：若 | 2a | | F1 F2 |，则 M 点无轨迹；若 | 2a | | F1 F2 |，则 M 点的轨迹为以焦点F1 , F2 为端点（向两端出发） 的两条射线；第 2页共 8页第二定义：平面内到定点F 的距离和它到定直线l ( Fl ) 的距离的比是常数e(e1) 的点 M 的轨迹就是双曲线，定点 F 为双曲线的一个焦点，定直线 l 是双曲线的相应于这个焦点的准线，常数 e 是双曲线的离心率；2）符号定义：（ 2）方程：1）标准方程：取过焦点F1 , F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，设焦距 | F1F2 |x2y21(a 0, b0) ，
6、这里 F1 , F2 的2c ， M ( x, y) 为双曲线上任一点，则ba22坐标为 F1 (c,0), F2 (c,0), c2a2b2 ，这个方程称为焦点在x 轴上的双曲线的标准方程；如果双曲线的焦点在y 轴上，焦点坐标为 F1 (0, c), F2(0, c),y2x21(a0, b 0) ，则b2a2这个方程称为焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；xa sec2）参数方程：；y b tan（ 3）等轴双曲线：实轴、虚轴长相等的双曲线就是等轴双曲线；（ 4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，他们的离心率满足111 。e1 2e224、双曲
7、线的简单几何性质x2y21(a0, b0)H :b2a21）范围： | x |a, yR ；2）对称性：关于x, y 轴对称，关于原点中心对称；3）顶点：轴端点A1 (a,0), A2 (a,0) ；4）离心率： ec(1,) ；a第 3页共 8页5）准线： l1 : xa2,l 2 : xa2；cc6）焦半径： P(x, y)H ： P 在右支上， r1| PF1 | aex, r2 | PF2 |( a ex) ； P在左支上， r1 | PF1 |aex,r2| PF2 |a ex 。5、抛物线及其标准方程（ 1）定义： 1）抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线 Z 的距离相等的点的
8、轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线Z 叫做抛物线的准线。其中，定点F 不在定直线 Z 上；2）圆锥曲线的统一定义：平面内动点M 与定点 F 的距离和它到定直线Z 的距离的比等于常数 e ，则当 0e1 时，动点 M 的轨迹是椭圆；当 e1 时，动点 M 的轨迹是双曲线；当 e 1时，动点M 的轨迹是抛物线；其中定点F 不在定直线 Z 上；定点 F 为圆锥曲线的一个焦点，定直线Z 为此焦点相应的准线，常数e 为离心率；（ 2）方程：1）标准方程： y22 px( p0) （开口向右），y22 px( p 0) （开口向左），x22 py( p 0) （开口向上），x22py ( p0
9、) （开口向下）；2）参数方程：x2 pt 2（ t 为参数）。y2 pt6、抛物线的简单几何性质四、例题1、椭圆及其标准方程2、椭圆的简单几何性质例 1 已知 F1 为椭圆的左焦点，A, B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，第 4页共 8页当 PF1F1A ， PO / AB （ O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。解析 求椭圆的离心率，即求c ，只需求 a, c 的值或 a, c 用同一个量表示。本题没有具a体数值，因此只需把 a, c 用同一量表示，由PF1F1 A， PO / AB 易得 bc, a2b。221 c2解 设椭圆方程为x2y21(ab0) ，F1 (c,0)
10、, c2a2b2，则 P( c,2 ) ，aba即 P(b2) 。c,aAB / PO, kABkOPbb2ab2c22b， 即a, b c ，acec2 。a2说明 由题意准确画出图形， 利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键。x2y 2b0)的 焦 点 为 F1, F2例2如 图 所 示 ， 设 E :2b2 1(a， 且aP E, F1PF22，求证：PF1F2 的面积 Sb2 tan。解析 有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题，设 | PF1 |r1,| PF2 |r2 ，则 S1 r1r2 sin 2，消去 r1, r2 可解。21 r1r2 sin 2解 设 |
11、 PF1 |r1,| PF2 |r2，则 S，又 | F1F2 |2c ，2由余弦定理有(2 c) 2r12r222r1r2 cos 2(r1 r2 )22r1r2 2r1r2 cos2(2 a)22r1r2 (1cos 2) ，于 是 2r1r2 (1 cos2)4a24c24b2， 所 以 r1r212b2， 这 样 即 有cos2S1 r1r2 sin 2b2 tan。2例 3 若椭圆 ax2by21与直线 x y1 交于 A, B 两点， M 为 AB 的中点，直线 OM（ O 为原点）的斜率为2，且 OAOB ，求椭圆的方程。2解析 欲求椭圆方程，需求a, b ，为此需要得到关于 a
12、, b 的两个方程，由OM 的斜率为第 5页共 8页2 ， OAOB 易得 a, b 的两个方程。2解设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x1x2 , y1y2 )22( a b) x22bxb10 。x1x2b, y1y21x1x2aa，2ab22bkOM2 , b2a2OA OB,y1y21, x1 x2y1 y20 。x1x2x1 x2b1 , y1 y2(1x1 )(1x2 )ab2bb1 a1 ，y1 y21 (x1x2 ) x1 x21abababb1a10,ab2abab由得a2(21),b22(2 1)2( 2 1)x22 2( 2 1) y21
13、。xy 1，。 由by2ax21baM (,)。，所以方程为说明直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，但不是真的求出x1, y1 , x2, y2 ，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。3、双曲线及其标准方程4、双曲线的简单几何性质例 1 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线x2y21有共同的渐近线，且916过点 ( 3,2 3) ；（ 2）与双曲线 x2y21 有公共焦点，且过点(3 2, 2) 。164x2y 21 ，求双曲线方程，即求a,b，为此需要关于a, b的两解析 设双曲线方程为b2a2个方程，由题意易
14、得关于 a, b的两个方程。第 6页共 8页b4解 （ 1 ）设双曲线的方程为x2y21，由题意得a3，解得a2b2(3)2(23)21a2b2a29 ,b24 ，所以双曲线的方程为x2y21 ；4944（ 2）设双曲线的方程为x2y21，由题意求c 25。又双曲线过点(32, 2) ，a2b2(32) 2221 。 又a2b2(25) 2 ，a212,b28 ， 所 以 双曲 线 的方 程 为a2b2x2y21 。128例 2如图所示，已知F1 , F2 为双曲线x2y21(a 0,b 0) 的焦点。过 F2做垂直于a2b2x 轴的直线交双曲线于点P ，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程
15、。解析 求双曲线的渐近线方程，只需求a, b 的值域或 a, b 的关系式。解 设 F2 (c,0)( c 0), P(c, y0 ) ，则c2y021，解得 y0b2| PF2b2a2b2,|，aa在 Rt PF2F1 中， PF1F230 ， | F1F2 |3 | PF2 |，即 2c3 b2。a将 c2a2b2 代入，解得 b22a2 ，渐近线方程为：y2x 。例 3如图所示， 在双曲线 y2x21 的上支上有三点 A(x1, y1 ), B(26,6), C( x3 , y3 ) ，1213它们与点 F (0,5)的距离成等差数列。（1）求 y1y3 的值；（ 2）证明：线段AC 的
16、垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标。1c1213 5，故F为双曲线焦点，设准线为l，离心率为e ，由题得（ ）解2 | FB | | FA | FC | ，分别过A, B,C 做 x 轴的垂线 AA2 , BB2 ,CC 2 ，交 l于 A1 , B2 , C1 ，则由双曲线的第二定义有| FB |e | BB1 |， | FA |e| AA1 | ， | FC |e| CC1 | ，代入得：第 7页共 8页2e | BB1 |e | AA1 |e| CC1 | ,即 2 | BB1 | AA1 | CC1 | ，于是两边均加上准线与x 轴距离的 2 倍，有 2 | BB2 | AA2 |
17、CC2 | ，此即 2 6y1y3 ，可见 y1y312 ；（ 2 ） 证 明AC 的 中 垂 线 方 程 为 yy1y3x1x3 ( xx1x3 ) ， 即2y1y32y6x1x3xx12x32) ， 由 于A,C均 在 双 曲 线 上 ， 所 以 有y1y32( y1y3)y1 2x12y32x32y12y2 2x12x2212131,131，相减得13。1212于是有x12x32131312 13，故变成 yx1x3x25，易知此y1y3( y1y3 )y1y32121225直线过点 D (0,) 。5、抛物线及其标准方程6、抛物线的简单几何性质例 1求满足焦点在x 2 y40上的抛物线
18、的方程，并写出准线方程。解 令 x0 ，得 y2；令 y0 ，得 x4 ，抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,2) 。当焦点为 (4,0)时， p4p8，抛物线方程为：y216 x ，准线为： x4 ；2当焦点为 (0,2) 时， p2p4 ，抛物线方程为：x28y ，准线为： y 2 。2例 2已知定点 A(0, t )(t0)，点 M 是抛物线 y2x 上一动点， A 点关于 M 的对称点是 N 。（1）求 N 点的轨迹方程； （ 2）设（ 1）中所求轨迹与抛物线y2x 交于 B, C 两点，求当 ABAC 时 t 的值。x0ytx0xyt解 （ 1）设 M (x0 , y0 ), N ( x, y) ，则 x0, y0，2, y0，适222合方程 y2x ，即 ( yt )22x 为所求轨迹方程；（ 2）由( yt )22x ，得 y22ty t 20 。8t 20，所以交点存在。y2x设 B( x1, y2 ), C ( x2 , y2 ) ， 若 ABAC ， 则 kABkAC1， 即y1t y2 t1 ，x1x2( y1 t )( y2t)y12y22 ，由韦达定理得 t 22, t2 。第 8页共 8页