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1、.,风险厌恶,熊和平 2012年秋季,.,一、风险厌恶的定义,风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用函数定义给定财富水平和效用函数，定义风险厌恶。如下述定义： 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连,.,定义:凹性,A function f:RR is concave iff:,px+(1-p)y,f(EX),Ef(X),x,y,.,凹函数的定义,定义：称函数 f:RR为凹函数当且仅当,.,风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险喜好；直线为风险中性。 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期望效用
2、函数，那么相应的效用函数 是凹的,.,风险厌恶的定义,基于公平博弈的定义： 定义：记 为一个不确定的支付。如果 ，则称 为一个公平博弈。 风险厌恶：称效用函数 的参与者是（严格）风险厌恶的，如果 定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时，参与者是（严格）风险厌恶的。,.,An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001) zero- mean risk=fair gamble,.,基于效用函数的定义： 风险态度的定义： 若对于风险投资 投资者满足： 风险
3、厌恶 风险偏爱 风险中性,.,Risk aversion,An agent is risk-averse if and only if his utility function is concave, i.e., iff u is negative. Example: u(w)=ln(w).,.,Jensen inequality,.,例子： 100元 （概率为3/4） L -40元 （概率为1/4） E(L)=1003/4+(-40) 1/4=65元 选L而不是65元 E(u(L)u(E(L) 选65而不是L E(u(L)u(E(L) 对两者的态度相同 E(u(L)=u(E(L),.,二、风
4、险厌恶的度量,通常我们假设所有经济人为风险厌恶者，接下来我们希望知道如何量化风险厌恶，从而能够比较不同参与者或同一参与者在不同情况时的风险厌恶程度。,.,风险态度的图象： u(.) 风险厌恶 风险中性 风险偏爱 W,.,风险厌恶的度量： 图形分析,Ex,.,风险厌恶及其度量： 两种风险厌恶的度量方法; Markowtz 度量风险溢价 确定性等价（certainty equivalent) 风险溢价（risk premium),.,具体地：,.,Arrow-Pratt度量：,.,Arrow-Pratt度量： 风险容忍系数 （absolute risk tolerance),.,两种方法的比较：
5、例子（Copeland）： 某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策： （1） 50% $10 A 50% -$10 (2) 80% -$1,000 B 20% -$10,000,.,Arrow-Pratt度量 Markowtz 度量 请问你有何结论？,.,回到王江教材,绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所要求的风险溢价 ，定义为： 在小风险博弈下泰勒展开得到 绝对风险厌恶：,.,相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数的博弈和风险溢价： 这里，博弈的盈亏为 ，与总财富成比例 展开得,.,风险厌恶的例子,线性或风险中性效用： 负指数效用函数： 平方效用函数
6、： 幂指数效用函数：,.,风险厌恶的比较： 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的彩票: for any X,w0: Eu2(w0+X)=u2(w0) Eu1(w0+X) u1(w0). NSC:,三、风险厌恶的比较,.,More risk aversion,.,主要结论,定理：下面的命题是等价的： 1、 2、 是凹的； 3、 使得 4、 对所有的w和公平博弈成立,.,递减的绝对风险厌恶【Decreasing absolute risk aversion (DARA)】,It is widely accepted that p
7、is a decreasing function of w0. This is true if and only if A(w0) is decreasing in w0. DARA is equivalent to:,.,其他概念,绝对风险厌恶递增（IARA） 相对风险厌恶递减(DRRA) 相对风险厌恶递增(IRRA),.,四、典型的效用函数(静态),CARA: u(z)=-exp(-Az); A(z)=A CRRA: u(z)=z1-g/1-g; A(z)=g/z LN: u(z)=ln(z) A(z)=1/z Quad: u(z)=cz-0.5z2; A(z)=(c-z)-1 They
8、all belong to the HARA family:,.,二次效用函数： CARA或指数效用函数： CRRA效用函数：,.,HARA（hyperbolic absolute risk aversion) 效用函数： CRRA CARA,.,度量你的风险厌恶程度,假定你当前财富为100，面临50%-50%机会获得或失去财富的 a%. 你愿意支付多少来消除该风险? 假定 CRRA + estimate g from above eq.,.,Estimation of relative RA,.,典型的效用函数(动态),最简单情形：跨时可加 或 跨时依赖： habit formation(见
9、Chan&Kogan，2002） spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）,.,递归效用 Epstein 和Zin（1989、1991）,.,参考文献：,Machina ,M.1987. Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives 1: 281-296 Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic Literature :332-382 Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of decision under risk. Econometrica 47: 263-291,